книги / Управление колебаниями

$21 ЗАДАЧИ С ФИКСИРОВАННЫМ ВРЕМЕНЕМ 33

ijj = <pi + 0(e) (см. (2.2.25)), которое справедливо вследст­ вие гладкости и периодичности функций Л/, g и G по ф.

Так как по предположению поставленная задача оп­ тимального управления имеет решение для всех е е (О, е<>], то существует решение системы (2.2.27), быть мо­ жет, не единственное. Как следует из (2.2.24), (2.2.27), величины |°, ф° определяются однозначно. Из последппх двух уравнений (2.2.27) (п-мерного и скалярного), ли­ нейных относительно Z-вектора Я (l^ n + 1), определя­ ется Я как функция неизвестных г)°, 0 и параметров а0, Р°. Подставляя Я в оставшиеся п + 1 — I уравнений, по­ лучаем систему п + 1 уравнений относительно п + 1 не­ известных параметров TJ° , 0°. Если решение ц°, ,p = pi единственно, то построенные функции (2.2.23), (2.2.25) определяют оптимальное решение задачи с погрешностью 0(e). Если же нелинейная система относительно rj°, (5 допускает более одного решения, то оптимальное реше­ ние (траектория и управление) отбирается из условия минимума (среди этих решений) функционала (2 .2 .2 ), вычисленного с погрешностью 0 (e)

е

Л = g(Si, 9I) le-e + | <G*>(t, Slt%, fc)dO. (2.2.28)

Здесь функция <G*> определена выше (см. (2.2.23)), т дано в (2.2.26). Подстановка функций gi, гр, <рц и па­ раметра Pi в выражение (2.2.4) для и* дает оптималь­ ное управление первого приближения в виде программы

Отметим, что функции gi, <j(i, T J I зависят от 0 и от начальных данных 6о, а°, ф°, а ташке от параметров в, 0, То; величина Pi от 0 не зависит. Чтобы получить при­ ближенное оптимальное управление в форме синтеза, нужно в (2.2.29) сделать замену 0, а0, тр0 на 0, я, ф.

Таким образом, построенные выражения для пере­ менных gi, ф1, rii, Pi, функционала J\ из (2.2.28) и оп­ тимального управления и* из (2.2.29) дают решение пер­ вого приближения поставленной задачи оптимального управления (2 .1 .6 ), (2 .2 .1 ), (2 .2 .2 ).

84 УПРАВЛЕНИЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ [ГЛ. 2

приближения (2 .2 .1)), (2 .2 .1 0 ), удовлетворяющего уравпопендям ц краевым условиям с погрешностью (Кея1.) для г<=[?о, 2’]. Это решение может быть построено .при. помо­

(/4-1)-го приближения (2.2.20) для |, ср, 11, {J. Усреднен­

их правые части по степеням е вплоть до eJ п прирав­ няем коэффициенты при одинаковых степенях е°, е1, ...

..., в'. Получим зацепляющуюся последовательность дифференциальных уравнений. На первом шаге имеем систему (2.2.22). Для 2 получаем линейные неодно­ родные уравиеппя с однородными краевыми условиями

шаге известны: они определяются через коэффициенты А‘о, А|, ..., hi- 1 п пандеипые па предыдущих шагах фупкцпп |i, ip, . . Например,

Здесь через a(j) обозначена сумма первых / членов разложения (2.2.15)

Искомые величины а, *ф, р, q будем строить в виде

Подставим в (2.2.40) представление (2.2.41) п выра­ жения (2.2.30), (2.2.39), (2.2.42), разложим полученпые равенства в ряды по е и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях е. Получим следующие выражения для коэффициентов разложений (2.2.42)

Здесь функция Оо дана формулой (2.2.17). Последующие коэффициенты вычисляются аналогично. Таким об­ разом, построено решение (2.2.42) (/ + 1)-го приближе­ ния. Его можно представить в виде

Решение (2.2.44), в котором |ь % дапы в виде (2.2.23), а ф! — соотношением (2.2.25), для медленных переменных я, р, q содержит плавные функции t, на ко­ торые налагаются малые быстрые вибрации с амплиту­ дой ~ в и частотой V ( T ) . Чтобы выделить эти вибрации, в добавках (2.2.44) указана 2я-периодическая зависи­ мость от быстрой переменпой (pi, которая содержит член в^фй! (см. (2.2.25), (2.2.26)), изменяющийся за время

Подставляя представления (2.2.47) в (2.2.46), разла­ гая по степеням е п приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е‘ при i.= 0 , 1 , ..., получим для каждого i систему уравнении: относительно коэффициен­ тов разложений (2.2.47), Отметим, что вследствие 2я-пе- рноднчпости к гладкости функций Ah xVjy Ph Q} и N относительно cpi оказывается возможным разложение в е-окрсстлостп значения q>i(©) — е_|. На первом шаге имеем решение, определенное из системы (2.2.27)

Будем предполагать,, что решение (2.2.48) является единственным и простым (соответствующий якобиан от­ личен от пуля) для всех значений cpi(0). Тогда при до­ статочно малом е > 0 решение (2.2.47) системы (2.2.46) существует н единственно. Этот факт следует из извест­ ных теорем о неявных функциях. Последующие коэф­

фициенты t?, ср?, i ^ 2 разложений (2.2.47) определяются явными соотношениями типа (2.2.48) через коэффици­ енты, вычисленные на предыдущих шагах. 'Для нахож­

дения величин г)?, Pi получаем лппенпую неоднородную систему с матрицей, определитель которой отличен от пуля, а правые части определяются через известные ко­ эффициенты.

Таким образом, развитая методика при выполнении указанных выше требований гладкости позволяет па асимптотически большом пптервале врсмепп £e[£0l Г], определить решение краевой задачи принципа максимума (2.2.9), (2.2.10) с любой заданной степенью точности но малому параметру. Оптимальная фазовая траектория а, i|) дается соотношениями (2.2.41). Про­ граммное управление и мптгмалы-юе значение функцио­ нала с погрешностью 0(ej+l) согласно (2.2.4), (2.2.2),

(2.2.44) имеют вид

т

+ е j G (т, fl(;+1), i|r(j+1), uj+1) dt.

go УПРАВЛЕНИЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ [ГЛ. 2

Оптимальное управление в форме синтеза получается при помощи формул (2.2.49), если в выражениях для p(J+D, ?(j+D сделать замену 0о->-0 , а0 -*а, “ф0 -ф.

Отметим, что в прикладных задачах управления обычно достаточно ограничиться первым приближением, алгоритм вычисления которого задается соотношениями (2.2.23)—(2.2.29).

Отметим некоторое различие в терминологии, приня­ той в главах 1, 2. Первым приближением метода воз­ мущений на конечном интервале времени (глава 1 ) называется разложение решения, учитывающее члены порядка е в уравнениях движения, что приводит к погрешности порядка е2. Первое приближение метода усреднения также учитывает члены порядка е, что, од­ нако, дает погрешность порядка е па большом интер­ вале времени ~ е-1.

5. Пример управляемой системы с одной степенью свободы. В качестве примера приложения развитой вы­ ше методики рассмотрим некоторые задачи оптимально­ го управления колебательными системами с одной сте­ пенью свободы типа (2.1.7). Уравнение движения скалярпо и имеет вид

стота. Возмущающая функция / предполагается доста­ точно гладкой. После замены (2.1.8), в данном случае

уравнение (2.2.50) приводится к системе (см. (2.1.9))

■

■а—еу- 1 (т)[/ (т, asin ф, av (т) cos ф, и) — av' (т) cos ф] соэф,

Ф= v (т) + ед-iv - 1 (т) [av' (т) сов ф —

— / (тд a sin ф, av (т) cos ф, и)] sin ф,