книги / Управление колебаниями

В главе 1 рассмотрены некоторые способы прпменсния теории малого параметра к задачам оптимального управления. § 1 имеет вводный характер: здесь приво­ дятся постановка задачи оптимального управления и не­ обходимые условия принципа максимума, рассматрива­ ются различные способы выделения малого параметра. В § 2 рассмотрен класс слабо управляемых систем, раз­ вит алгоритм приближенного решения задачи по степе­ ням малого параметра, исследовано явление локальной оптимальности управлений. Оценка точности метода по функционалу, траектории и управлению содержится в § 3. В § 4 изложен пример приближенного решения за­ дачи оптимального управления для слабо управляемой системы. В § 5 метод малого параметра применяется для построения синтеза в одной задаче управления дви­ жением твердого тела вокруг центра масс. В § 6 приве­ дены некоторые общие замечания о применении метода возмущений в задачах оптимального управления. Резуль­ таты §§ 2, 4 были впервые опубликованы в работе [226], § 3 — в статье [138], § 5 — в статьях [17, 22].

§1. Постановка задачи

\.Задача оптимального управления. Исследуется управляемый процесс, описываемый системой дифферен­ циальных уравнений с начальными условиями

тор-фупкцпя, t0— начальный момент времени, а — вектор начального фазового состояния.

пространстве. Функции uit) предполагаются кусочно не­

дважды непрерывно дифференцируемой. Первое равенст­ во (1.1.3) служит условием, определяющим момент вре­ мени Т окончания процесса. Предполагается, что функ­ ция h такова, что при допустимых траекториях xit) она монотонно зависит от £ (в некотором интервале времени), и поэтому условие h —0 определяет для каждой допу­ стимой траектории единственный момент времени Т ^ t0. Второе (векторное) равенство (1.1.3) представляет собой дополнительные краевые условия в момент Т (если г = = 0, то эти условия отсутствуют). Все эти условия пред­ полагаются независимыми и непротиворечивыми.

Отметим, что разбиение граничных условий в (1.1.3) на условие окончания процесса h = 0 и дополнительные граничные условия q = 0 довольно условно и неединст­ венно; не всегда удается выделить условие окончания процесса, для которого имеет место монотонность h по £. Однако такое разбиение удобно для приближенного или

ничениям на управление (1.1.2) и доставляют минимум функционалу / из (1.1.4).

2.Принцип максимума. Применим к поставленной

задаче оптимального управления принцип максимума Л. С. Полтрягпна [176], представляющий собой необхо­ димые условия оптимальности.

Здесь и'далее д/дх — оператор градиента по фазовым координатам х, d/dt — полная производная вдоль траек­ торий системы С1.1.1), скобки означают скалярное про­ изведение векторов. Очевидно, что arn+i — t, и поэтому аргумент t у функций /, /о, h, q, F можно заменить на я„+1. Тогда система 01.4.1) будет автономной, а функцио­ нал (1.1.4) примет вид J= x<jLT).

Относительно гладкости правых частей системы (1.1.1) , (1.1.5) предполагается, что функции /, / 0 опреде­ лены и непрерывны по совокупности переменных х, #п+ь и и непрерывно дифференцируемы по гг, xn+i для всех х, xn+i, u^U .

Введем вектор сопряженных переменных ф(£) =

= (фь ..., фп), а также сопряженные переменные i|>n+i(J)

ифоШ, причем положим, как обычно, фо — —1. Функция Гамильтона Я ' и сопряженные уравнения для системы (1.1.1) , (1Л.5) примут вид

(1. 1. 6)

+

С учетом краевых условий (1.1.3) условия транс­ версальности запишутся в виде (момент окончания

процесса Т не фиксирован)

которое затем разрешим относительно %

Полные производные по t здесь имеют тот же смысл, что и в равенстве (1.1.5). Введем видоизмененные сопря­ женные переменные и гамильтониан

ловия (1.1.7) можно с учетом .(1.1.9) записать в виде

( 1.1.10)

Согласно принципу максимума, задача оптимального управления свелась к краевой задаче для двух га-мерных вектор-функций x(t) и pit). Оптимальное управление u(t) определяется из условия супремума функции # ' по и,М', что*1iu эквивалентноолюпиа ю д условиюy^iu am u супремума функцииутхцаш. ллН поиз (1.1.10), т. е.

Система уравнений краевой задачи задается диффе­ ренциальными соотношениями (1.1.1), (1.1.10), а крае­ вые условия — равенствами (1.1.1), (1.1.3), (1Л.Ю). Не­ известная управляющая вектор-фунщия и исключается при помощи равенства (1.1.11). Параметр X определяется равенством (1.1.8), а момент времени Т и параметры Х\ неизвестны и определяются в процессе решения краевой задачи.

3. Задачи управления с малым параметром. Решение задач оптимального управления строится обычно при помощи принципа максимума Л. С. Понтрягипа, метода дипампческого программирования, классического вариа­ ционного исчисления или других методов теории опти­ мальных процессов. При этом точное решение задач оп­ тимального управления может быть построено сравни­ тельно редко, лишь для определенных классов задач. Большое развитие получили численные методы оптималь­ ного управления, см., например, книги и обзоры [43, 44, 56, 57, 73, 79, 101, 117, 118, 120, 143, 149, 150, 175, 179, 205, 209, 231—233, 2351 и другие. Однако даже при ис­ пользовании современных ЭВМ численное построение оптимальпых управлений для сложных динамических сис­ тем представляет значительные трудности, особенно в том случае, когда требуется найти управление в виде синтеза.

В то же время многие прикладные задачи оптималь­ ного управления в явном или неявном виде содержат малые параметры, характеризующие относительную ма­ лость тех или иных воздействий или факторов. Поэтому могут быть развиты эффективные приближенные или асимптотические методы построения оптимальных уп­ равлений, основанные на идее малого параметра. При этом могут быть использованы такие широко известные методы теории колебаний, как методы теории возмущепий, метод усреднения, асимптотические методы разде­ ления медленных и быстрых движений и т. д. (см., например, [29, 46, 58, 64, 121, 139, 148, 1541). С по­ мощью этих методов удается в ряде случаев получить приближенное оптимальное управление в форме програм­ мы или синтеза. Отметим, что полученные при помощи приближенных методов результаты можно также при­ менять при построении начального приближения для численных методов.

Введение малого параметра е оправдано в тех слу­ чаях, когда невозмущенная задача (при е = 0) может быть решена аналитически или численно значительно более просто, чем возмущенная. Например, это имеет место, когда система близка к линейной пли неуправ­ ляемой, или в ней выявляются медленные и быстрые переменные, допускающие разделение движений.

Рассмотрим некоторые способы вхождения малого па­ раметра е в задачу оптимального управления (1.1.1)— (1.1.4). Пусть функции /, h, q п F могут быть представ­ лены в виде разложешгй

Точками обозначены высшие члены разложепнй. Со­ ответствующая невозмущенная задача оптимального уп­

что решение этой задачи существует, единственно и мо­ жет быть построено. Тогда возникает вопрос об оценке погрешности, вызванной отбрасыванием возмущающих членов порядка е в 01.1.12), а также проблема построе­ ния приближенного решения задачи оптимального управ­ ления с учетом малого параметра, т. е. вычисление по­ правок к невозмущенному решению.

Этот естественный прием исследования широко ис­ пользуется при линеаризации систем, когда функция f в (1.1.12) содержит линейные члены по х, и, а нелиней­ ности входят в виде возмущений. Подобные задачи рас­ сматривались, например, в работах [17, 22, 28, 99, 104, 105, 117, 201, 241, 247, 252].

Примеры подобного подхода для нелинейной порож­ дающей задачи оптимального синтеза будут изложены в § 5 данной главы.

Другой случай возникает тогда, когда в (1.1.12) функция f не зависит от управляющего воздействия и

*) Значок □ перед номером формулы означает, что данный

помер относится к группе формул, перед первой из которых стоит значок ■ .

равляемую, а отличие между управляемым и неуправ­

гут привести к существенному изменению фазовых перемепиых. Такая ситуация характерна для многих задач управления колебательными системами, когда малые управляющие силы вызывают большие изменения ампли­ туды или энергии колебаний или вращений в течение длительного времени (за много периодов колебаний). Для исследования таких систем можно эффективно ис­ пользовать асимптотические методы нелинейной механи­ ки (методы усреднения), изложенные в монографиях [46, 47, 64, 145, 148]. Применению асимптотических ме­ тодов типа усреднения к задачам оптимального управле­

мального управления в таких системах посвящена зна­ чительная часть данной монографии (главы 2—5).

Управляемая система (1.1.1) называется сингулярно воз­ мущенной, если при е = 0 ее порядок уменьшается. Та­ кая ситуация возникает, если некоторые (например, первые s) из компонент вектора f могут быть представ­ лены в виде

п п — s дифференциальных уравнений. Для исследования

Z ф. Л. Черноусько, л . Д. Акуленко, В. Н. Соколов

подобйых задач оптимального управления обычно исполь­ зуют асимптотические методы типа пограничного слоя и теорию обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных [62, 154, 204]. Отметим, что множество U в (1.1.2) также может зависеть от переменных х, t и от малого параметра. В ряде случаев простым преобразованием в пространстве управлений его можно перевести в постоянное множест­ во. Например, пусть множество U(x, t, е) задано нера­ венствами

|гг,| cf(x, t, e), i = 1, ..., m,

где с,- — известные положительные фупкцип. При помощи

преобразования м4= с,1М £ = 1, — т, где щ — повыс уп­ равления, это множество переводится в постоянное мно­

§2. Слабо управляемые системы

1.Вывод уравнепнй движения и приближенное ре­ шение задачи. Будем рассматривать задачу управления

(1.1.1) при е = 0 будет неуправляемой. Ее общее решение будем считать известным. При е < 1 систему (1.1.1) ес­ тественно назвать слабо управляемой,

Для равенств (1.1.1), (1.1.3), (1.1.4) выпишем еще уравнения первого приближения с учетом соотношений (1.2.3)

решение системы нулевого приближения х = fix , t) пз (1.2.3) предполагается известным и заданным в явном виде

Функции gk являются независимыми первыми интег­ ралами системы нулевого приближения.

Для траектории x°(t) в нулевом приближении имеем, задачу Коши, задаваемую первыми двумя равенствами (1.2.3) . Ее решение выражается через функции ф, g, введенные равенствами (1.2.5), (1.2.6)

Момент Т° окончания процесса и функционал /° в этом приближении определяются третьим и пятым равен­ ствами (1.2.3). Будем считать, что четвертое равенство (1.2.3) , т. е. краевые условия g = 0 нулевого приближе­ ния выполняются автоматически. Это тождество можно рассматривать как дополнительное условие, наложенное на функцию д°(ж, t).