книги / Управление колебаниями

Здесь Ait) = dfix^it), t)/dx — матрица пХп с компо­ нентами dj\ (a;0(£), t)/dxj, А* (t)— транспонированная ей матрица. Решение задачи (1.3.8) обозначим через р°(£). Введем обозначения

Из общих соображений следует, что на ограниченном интервале времени справедливы оценки

x'it) = x°(t) + 0(e), p'it) = p°(t) + 0(e).

Так как при этом g'it, и) = g°(t, и) + 0(е), то естест­ венно искать приближенное к оптимальному ifit) управ­ ление и°(£) из соотношения (см. (1.3.7), (1.3.9))

максимум (1.3.10). Из леммы (см. [65], стр. 172) следует, что существует измеримая функция u°(t), для которой равенство (1.3.10) выполняется почти всюду. Эта функ­ ция будет допустимым управлением. Функция u°(t), оп­ ределяемая из (1.3.10), может быть неединственной; в этом случае берется произвольная измеримая функция, удовлетворяющая (1.3.10). Ниже оценивается близость по функционалу управлений u4t) и ifit).

2. Вспомогательные утверждения. Пусть выполнены следующие условия:

1)функции fix, t) и fix, t, и) дважды непрерывно дифференцируемы по х и непрерывны по t, и;

2)функция hix, t) дважды непрерывно дифференци­

близости приближенного решения регулярно возмущен­ ной задачи Коши (см., например, [224]). Двукратная дифференцируемость функций /° и /* по ж (условие 1))

позволяет представить решение жй(£)*с точностью до членов порядка е2; уравнение (1.3.14) также получается разложениями метода теории возмущений. Факт равно­

достигает терминальной поверхности hix, t) = 0, причем

Смысл и доказательство леммы 1.3.2 достаточно оче­ видны. Все траектории системы (1.3.1) лежат в е-окрест- ности траектории x°it), которая вследствие (1.3.11) с не­ нулевой скоростью пересекает терминальную поверх­ ность (4.3.2) в момент времени Т°. Поэтому при доста­ точно малых е* все траектории системы (1.3.1) также достигают терминальной поверхности в момент времени

Ти , отличающийся от Г° на величину порядка е <= [0, е*]. Лемма 1.3.3. Для е ^ [0, е*] и всех допустимых uit)

справедлива равномерная оценка

а постоянная Ъ2 по завысит от выбора е и u(t). Доказательство леммы 1.3.3 проводится па основании

7 « = 7’°+ еТ’и -fs 2. . ,;в результате подстановки в (1.3.17)

для Ти получается выражение (1.3.16). Равномерность оценки (1.3.15) устанавливается па основе непрерывной дифференцируемости функции ф°Ш и условий (1.3.11), (1.3.12).

Лемма 1.3.4. Для всех допустимых управлений u(t) и е ^ [ 0 ,-8 *] справедлива оценка (&з — постоянная)

| / ; - [ Р ( 1 0 ( 2 ">), Г ) - е ( р 0 ( Г ) , 4 (2 '»))]| < 6 ,в 2.

(1.3.18)

Доказательство леммы 1.3.4 основано па двукратной дифференцируемости функции Fix, t) (услопие 4)) и оценке (1.3.13). Действительно,

= f ( * " ( г 0), г*) +

(1.3.8) для р<47°) приводит к оценке (1.3.-18).

Лемма 1.3.5. Равномерно по £ e [i0, Т*] при доста­ точно малом значении е справедлива равномерная оценка

3 Ф. л. Чериоусыю, Л. Д. Акуленко, D. И. Соколоо

34 МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА [ГЛ. i

Доказательство леммы 1.3.5 следует непосредственно из оценки решения системы (1.3.5), (1.3.6) на основании

Доказательство леммы 1.3.6 стропм при помощи оценок (1.3.13), (1.3.19) и условия 1). Из mix следует существо­ вание некоторой постоянной Ь7> 0 такой, что

\gR{t, и) — g°U, и)| < й7е, £е [*0) т 0е], н<=77.

Отсюда находим

£®U, ue(l)) — g°(t, u,e(t))^ b 7e, g°(t, U°(t)) — ge(t, U°(t)) < b7R.

Кроме того, из (1.3.7) следует

ge{t, и°Ш) —gz(t, игШ) < 0 .

Складывая последние три неравенства, получим

g°(£, и°(£)) — g°(£, иеШ) < 2 &7е.

Отсюда, так как функция u°(t) удовлетворяет условию (1.3.10), следует оценка (1.3.20).

3.Теорема 1.3.1. При выполнении условны 1 )—5) для

ее (0 , е*] справедлива оценка

где а, —постоянная.

Доказательство теоремы 1.3.1 следует из устаповлепиых лемм 1.3.1—1.3.6. Обозначим

д *‘ <‘ ) = *!•№ - Ч ч о -

Иодстаним теперь в подынтегральное выражение ра­ венства

р° = — Л*р°,

Ад:1 = Akxx+p(x°(t), tt u°(t)) — / lGr°(£), t, ue(t)).

Получим соотношение уОв

В нервом интеграле (1.3.22) подынтегральное выраже­ ние имеет порядок е в силу леммы 1.3.6. Во втором интег­ рале промежуток интегрирования имеет порядок е, а подынтегральное выражение заведомо равномерно ограни­ чено. Отсюда следует справедливость оценки (1.3.21).

Изложенное выше доказательство следует работе [138]. Независимо аналогичный результат приведен в [164]. Оценка (1.3.21) показывает, что найденное согласно про­ цедуре § 2 приближение ю° ( 0 к оптимальному управлению ue(t) приводит к отличию 0 (б2) в смысле минимизируемо-, го функционала

§ 4. Пример слабо управляемой системы

1.Постановка задачи о полете на максимальную даль­

ность. В качестве примера приложения общего подхода § 2 рассмотрим модельную задачу о полете на максималь­ ную дальность в атмосфере. Численное решение этой за­ дачи было получено методом последовательных приближе­ ний в работе [1 2 2 ], а излагаемое ниже приближенное аналитическое решепие построено в [226]. Летательный аппарат (материальная точка) совершает плоское движение в атмосфере. Обозначим через Do его начальную скорость, 3*

через g — постояппое ускорение силы тяжести, через т —

массу аппарата п выберем величины l = v0g~\ VQg~l и т в качестве единиц длины, времени и массы соответственно. Связь между размерными и безразмерными переменными примет вид

ны, а звездочками обозначены соответствующие размерные величины. Помимо веса па аппарат действуют аэродина­ мические силы: сила сопротивления R и подъемная сила Г, равные

ские коэффициенты, зависящие от угла атаки а. Пусть управление может осуществляться углом сс, а также пло­

чественно моделирует изменение геометрии крыла или выдвижение закрылков.

Перепишем равенства (1.4.2), вводя безразмерные пе­ ременные

R = Bmgpv2SCx, Y = Bmgpv2SCy,

Здесь ро — плотность атмосферы на начальной высо­ те, р — безразмерная плотность, S — безразмерная величи­ на, принимающая значение Si = 1 и S2= Sl/Sx>» 1, а без­ размерный параметр в характеризует отношение аэродина­ мических сил к силе тяжести. Запишем уравнения движе­

§ 4] ПРИМЕР СЛАБО УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ 37

нии аппарата в безразмерных переменных (1.4.1), проек­

Здесь 0о — заданный начальный угол наклона траекто­ рии (начальная скорость в безразмерных переменных рав­ на единице). Поставим вариационпую задачу: достичь максимальной дальности полета х\ в момент, когда высота х2 вновь обратится в нуль. Управляющими функциями являются угол атаки a(f), от которого зависят С* п Су (эти зависимости конкретизируются ниже), и величина Sit), при­ нимающая дискретные значения Si и S2. Сформулированпая задача укладывается в общую постановку §§ 1 , 2 , если параметр е является малым, что и предполагается в дальнейшем.

2. Построение приближенного решения. В обозначе­ ниях (1 .2 .1 ) имеем

а краевые условия q = 0 из (1.1.3) здесь отсутствуют, т. е.

г = 0. Функции /л и fl при к = 1, 2, 3, 4 равны коэффи­ циентам при е° = 1 и е в правых частях системы (1.4.4). При решении следуем общей схеме, изложенной в § 2, см.

п.п. 2 , 3.

1.Положим е = 0 в уравнениях (1.4.4) и найдем общее

решение системы нулевого приближения, описывающее движение без сопротивления

Правые части эти равенств есть функции срл из (1.2.5). Разрешая равенства (1.4.7) относительно постоянных с{,по-

Функции 6’х(а), Су(а) определяют параметрически уравнение поляры аппарата — кривой в плоскости Сх, Су. Равепство (1.4.20) показывает, что при оптимальном выбо­ ре угла атаки ait) касательпаяк поляре аппарата в лю­

т а xiCv/Cx), а ао — угол атаки, при котором оио достигает­ ся. Зависимости (1.4.21) принимались в работе [122] при численном расчете задачи о полете на максимальную дальность. Они обладают следующими свойствами, типич­ ными для некоторых симметричных тел: 1) функции Сх, Cv периодичны по а с периодом л; 2) С*(а) — четная, а Су{а) — нечетная функции от а; 3) при малых а функции

Первое равенство (1.4.22) с учетом неравенства из (1.4.22) однозначно определяет угол атаки а на интервале [0, л). Прибавление к а углов, кратных л, несущественно в силу отмеченной периодичности функций (1.4.21). Пос­ леднее равенство (1.4.22) определяет S согласно (1.4.18). Пусть для определенности а о< л /4 , 0о< л /4 (другие случаи рассматриваются аналогично). Учитывая еще не­ равенство t < Т° = 2 sin 0о, из первого равенства (1.4.22)