книги / Управление колебаниями

§ 5] ТОРМОШЕНИЕ ВРАЩЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА 51

в которой оиухцеиы члены порядка eft+I в оптимальном управлении. Это приводит к погрешности того же поряд­ ка в определении оптимальной траектории. Поэтому фа­ новая точка 2 будет находиться в eh+l-окрестности нача­ ла координат 2 = 0 в момент времени T(z°, е), являю­ щийся временем оптимального быстродействия.

Переходим к определению приближенной оптималь­

В силу (1.5.29) функция L(h) является многочленом степепп к —1 от е. Запишем уравнение для величины Ы = I, вытекающее из (1.5.31), (1.5.32)

что при достаточно малом е величина I монотонно убыва­ ет и обращается в нуль. Таким образом, приближения к оптимальному управлению обеспечивают приведение си­ стемы в начало координат (торможение твердого тела). Время торможения для приближений (1.5.28), (1.5.29) отличается от оптимального времени T(z°, е) на величи­ ны порядка е',+1 и может быть с указанной точностью определено из (1.5.26).

Решение системы (1.5.31) будем искать в виде z = lx\ (см. п. 2). С учетом (1.5.33) для вектора ц получим ана­ логично (1.5.9) систему

§ 2, или последовательными приближениями.

Изложим рекуррентную схему последовательных при­ ближений. Пусть известно решение системы (1.5.33),

4+

r|(j-i)(£, е). Тогда /-е приближение для I и Т]3 находится квадратурами, вытекающими из (1.5.33), (1.5.34)

t

Ih(j) (t, e) = 11? + S J Ф з° (Ли- D ( * , e) . *0 -1 ) (T >e)> e) f c -

о

Для определения функций rji, r)2 в j - u приближепии в левые части уравнений (1.5.34) для TJI, цг подставляются величины (1.5.35). В правые части этих уравнений, со­ держащие множитель е, подставим (/ — 1 )-е приближения для I, T J. Получаем

rli(j) + D h i ) е) Лзо') (^>е) ЛгО)=r £®i(j-ft) (^?е)»

ЛгО) — Dl(j) {tyе) т|зо) (tyе) тщ л = еФ5й_1} ( е), (1 .5 .3 6 )

ЛШ)(0) = Л?» ЛгШ (0) = 'Пг-

Через Ф(1 (}-1 ), Фа(}_!) здесь обозначены компоненты вектор-фупкции Ф(к) из (1.5.34), в которую вместо TJ, I подставлены (; —1 )-е приближения е), Z(j-h(f, е).

Решение соответствующей (1.5.36) однородной систе­ мы имеет вид, аналогичный (1.5.11)

ЛгО) = С1i C0S *j — c2j Sin Sjy 1l2(j) = Clj Sin Sj -|- Coj COS Sj,

(1.5.37)

i

sj («, e) = D j lU) (т, e) лЫ}) (т, г) dx.

о

Применяя метод вариации постоянных С\}, Сг,-, получим на осповапии (1.5.37) искомые решения неоднородной си­ стемы (1.5.36) в виде квадратур

■ Лкj) ft*е) = Л? cos Sj — r|2 sin Sj + t

-Ь f |Ф?о-1 ) (т, е) cos [.?; (t, е) — s} (т, е)] —

— Фги-д) (*. е) sin [sj (i, в) - Sj (т, е)] 1 <2т,

Так как в системе (1.5.31) уже отброшены члены по­ рядка e,t+1 п выше, то в процессе итераций во всех вычис­ лениях члены таких порядков также следует опустить.

тимальной траектории функцию z(k)(i, е )= i(k)U, e)r|(ft)(f, е). Обоснование схемы последовательных приближений и оценка погрешности метода по степеням малого парамет­ ра е получаются известным способом па основе теории об операторе сжатия (см., например, [100, 224]). Подста­ новка функций z(k)U, е) в (1.5.27)— (1.5.30) дает прибли­ женное выражение оптимального управления в форме программы (как функции от t, е) с погрешностью 0(ьк+1). Таким образом, приближенное решение задачи оптималь­ ного быстродействия для системы (1.5.3) с заданной сте­ пенью точности по е полностью построено. Простым рас­ четом при помощи соотношений (1.5.4) получается иско­ мое решение задачи оптимального по быстродействию торможения вращений твердого тела в исходных пере­

метших 0 1 , 0 2 , 0 3 -

5.Пример. Рассмотрим конкретную механическую

модель момента возмущающих сил N{, £ = 1, 2, 3, в систе­ ме (1.5.1). Пусть твердое тело близко к динамически сим­ метричному, а коэффициенты М, Ь2 в (1.5.1) также близ­ ки друг к другу. Другими словами, имеем

h = /(1 + e6L), b { = Ml + ePi), e < 1,

(1.5.39)

/ 2 = / ( 1 + еб2), &2 = Ml + ep2).

ЗдесЬ I и h — главные центральные моменты инерции тела вокруг осей, соответствующих индексам 1 , 2 ; через

размерные величины порядка единицы. Кроме того, пред­ положим, что на твердое тело действует малый тормозя­ щий момент сил вязкого трения с компонентами

по главным осям инерции. Здесь Лц— неотрицательно определенная матрица постоянных коэффициентов.

Уравнения управляемого движения твердого тела (ди­ намические уравнения Эйлера) п рассматриваемом случае имеют вид (см. (1.5.1))

к возмущениям Nt гироскопические и диссипативные мо­ менты из правой части системы (1.5.42)

Второе слагаемое в T\— фупкция ГьЫ — вычисляет­ ся подобно (1.5.47) п выражается в элементарных функ­ циях. Имеем

лмана задачи оптимальпого по быстродействию торможе­ ния вращений системы (1.5.41) в предположениях (1.5.39), (1.5.40). Оптимальный закон торможения и первом при­ ближении как функция фазовых координат может быть получек на основе (1.5.30) при помощи вектора произ­ водных [>\ = d'i\/dz. Дальнейшее исследование движения управляемой системы (1.5.41) в первом приближении по е, т. о. вычисление фазовой траектории z(i,(£, е) может быть осуществлено при помощи методики п. 4.

Отметим одпо качественное свойство полученного ре­ шения. Так как А;,-— неотрицательно определенная мат­ рица, то таким же свойством обладает и матрица Я,-,- (см.! (1.5.45)). Следовательно, квадратичная форма (1.5.46) для /'ь неположительна, и поэтому соответствующая поправ­ ка еТiv к времени быстродействия также неположитель­ на. Таким образом, наличие моментов диссипативных сил может лишь уменьшить время торможения твердого тела.

§ 6 . Замечания о методе возмущении для вариационных задач1

1. Метод возмущений для классической вариацпоииой задачи. Выше изложены некоторые варианты метода воз­ мущений для задач оптимального управления. Рассмот­ рим применение обычного метода возмущений в такой задаче оптимального управления, в которой ограничения па управление несущественны и которая по существу эквивалентна некоторой задаче классического вариацион­ ного исчисления. Пусть уравнения движения управляе­ мой системы имеют вид

где х — л-мерыый вектор фазовых координат, и — тл-мер- ный вектор управляющих функций, е — параметр, f — за­ данная n-мерная функция своих аргументов, to и Т — заданные моменты начала и окончания процесса. В эти моменты должны выполняться краевые условия

где g{, hs— заданные функции. Числа г, s удовлетворяют ограничениям (1.6.2), а в остальном произвольны. Тре-

буется выбрать управляющую функцию uit) на интерва­ ле Uo, Г] так, чтобы удовлетворить условиям (1 .6 .2 ) и доставить минимум интегральному функционалу

что задача оптимального управления (1.6.1)— (1.6.3) без ограничений на управление допускает единственное ре­ шение в некотором интервале [0 , бо! изменения пара­ метра Б.

Приведем необходимые условия оптимальпостн. Обо­ значим через pit) re-мерный вектор сопряженных леременпых, удовлетворяющий системе уравпепий

иусловиям трансверсальности

иV . 5М ж('о)’ е)

Р(*сW — oi i

(1-0.5)

v дкЛх{Г),г)

Р ('П =

j=i

Здесь Xi, p.j — неопределенные множители Лагранжа. Функция Гамильтона Н задачи (1.6.1)— (1.6.3) имеет вид

Hip, х, t, и, б) = ip, fix, t, и, б)) — Gix, t, и, б). (1.6.6)

Условие ее максимальности по и при отсутствии огра­ ничений на управление приводит к соотношениям

служащим для исключения и из системы (1 .6 .1 ), (1 .6 .4 ). Представим зависящие от г функции f, G, gt, h} в

виде разложений