книги / Управление колебаниями
..pdfСИСТЕМЫ С ПЕРЕМЕННЫМИ ■ПАРАМЕТРАМИ |
1 1 1 |
|
нении (2.1.19) и опуская звездочки, получим уравнение управляемых колебаний в виде
Ф + о _ ,ф = еа-1 ( 7бф3 — и— 2а'ф ),
(2.4.1)
ф(0) = ф°, ф(0) = ф°.
Здесь точка означает производную по безразмерному времени £, штрих — производную по медленному времени т = е£, о(т) — медленно изменяющаяся безразмерная дли на маятника, и — управляющая функция, ограниченная неравенствами щ ^ и < и2.
Заменой (2.2.51) вида ф = а з т ‘1|), ф = ахгт cosф урав нение (2.4.1) приводится к стандартной форме (2.2.52)
■а = — е(и — '/6а3 sin3 ф+ 3/ 2а~,/2а' acos ф)сг,/2 cos -ф,
ф= о“ ,/2 +
+ вЫ—7б«3 sin3 ф4- 3/ 2о_,/2а' a cos ф)а_,/2а_1 sin ф,
а(0) = а°, ф(0) = ф°. |
□ (2.4.2) |
Поставим для системы (2.4.2) задачу оптимального быстродействия, аналогичную (2.3.43)
М = а(0) — а = О, J = 0 ->- min, щ < и < н2. (2.4.3)
Управление и с ограничениями (2.4.3) можно предста вить в виде
и.= 7 2(ц2 + щ)— 72(112 — H i)v , М < 1 .
Применяя методику усреднения § 3 и следуя решепшо примера (2.3.41) из п. 5 § 3, получим апалогичпо (2.3.42) оптимальное управление в виде
v* = sign [(а — а°) cos ф], cos ф = а1/2а_1ф.
Приближенную зависимость амплитуды колебании |(т) получим в виде
X
I = а°о-м + "‘в.
112 гШРАВЛЕНИЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ |ГЛ. 2
Время оптимального |
быстродействия 0 |
определяется |
из условия |(0) = а, т. о. является корнем уравнения |
||
|
е |
|
act3'4(0) — а° = |
J '1- sign (а — а°) j |
а1/4 (т) clx. |
|
|
(2.44) |
Отметим, что это уравнение не для /всяких законов из |
||
менения длины маятника о(т) при заданных параметрах |
||
а0, а, к, -«1,2 имеет решение. Действительно, рассмотрим частную задачу гашения колебаний при убывающей с по стоянной скоростью длине подвеса, т. е.
а = 0, о = 1 — Ут, У = const > 0.
Тогда уравнение (2.4.4), определяющее 0, имеет вид
= т и — (1 — г с » 5' 1)-
Максимум по 0 выражения в квадратной скобке ра вен единице, что соответствует о(0) = 0. Поэтому условие
разрешимости последнего уравнения для 0 |
есть а °< |
|
*^4(«2 — щХбяУ)-1. Очевидно, что при У < 0 |
(длина ма |
|
ятника не уменьшается) задача гашения колебапий всег |
||
да имеет решение. |
|
|
2. |
Управляемые вращения динамически симметрично |
|
го твердого тела. Рассмотрим теперь задачу оптимальпого по быстродействию гашения экваториальной составляю щей угловой скорости динамически симметричного твер дого тела при помощи малых управляющих моментов. Уравпеппя движения в оскулирующих перемеппых (2.1.29) имеют вид (2.1.30). Считается, что управление «з выбрано в соответствии с (2.1.26), что обеспечивает до
стижение заданной величины ю3 Ф 0 осевой составляю щей угловой скорости юз. Требуется выбрать функции « 1,2, приводящие в нуль экваториальную составляющую угловой скорости за минимальное время, т. е.
а(,Т) — ИТ) = 0, Г -н min.
Исследуем задачу для некоторых конкретных систем управления, отвечающих изображенным на рис. 2.3 обла стям U возможных значений управления.
§ 41 |
СИСТЕМЫ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ |
113 |
Л. Управление при помощи одной фиксированной па ры двигателей (рис. 2.3, а), область U— отрезок.
Б. Управление при помощи двух фиксированных пар (рис. 2.3, б), область U — прямоугольник.
В. Управление при помощи пары поворотных (вернь ерных) двигателей (рис. 2.3, в), область U — круг.
Л. В этом случае (см. рис. 2.3, а) введем скалярпое управление и0
щ — щ cos a, U2 = юоsin а, |
.0 . |
I I |
п |
1«о1 ^ |
и0— const, а = const. |
Так как правая часть системы (2.1.30) не зависит от фазовых переменных а, Ь, то отвечающие пм сопряжен ные переменные равны ра, Рь= const. Оптимальное управ ление ио для системы (2.1.30) получим при помощи (2.3.4), (2.3.6), (2.4.5)
щ = и0 sign cos (ср — а -|- у),
(2.4.6)
cos Y = Р аР ~г , sin у = РьР"1, Р = (ра 4* РъУ
Подставляя (2.4.5), (2.4.6) в систему (2.1.30) и усред няя по фазе <р, получим уравнения для усредненных фа зовых переменных с постоянными правыми частями
а = |
e2n-1u,°cos у, |
а(0) = |
о)5, |
a. (Z1) = 0, |
Ъ= |
‘ |
Ь(0) = |
o)S, |
(2.4.7) |
е2я -1п° sin у, |
Ь(Т) = 0. |
Здесь и далее для усредненных переменных сохране ны прежние обозначения.
6 ф. Л. Черноусько, Л. Д. Акуленко, Б. Н, Соколок
УПРАВЛЕНИЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ [ГЛ. 2
Разрешая краевую задачу (2.4.7), получим единствен ное решение
cosy = — |
sin у = — (ojj/o)!, |
|
|
mo |
(2.4.8) |
=e = e r = - f - ^ .
Условие трансверсальностн (2.3.18) для решения (2.4.8), как и в примерах (2.3.41) из п. 5 § 3 и (2.4.3) из п. 1 § 4, удовлетворяется за счет выбора параметра и. Само же решение (2.4.8) единственно и от этого парамет ра не зависит.
Подставим формулы (2.4.8) и (2.4.6) в (2.4.5), поло жим в них <р = 0, а затем заменим начальные значения ш?, ш® на текущие. Получим управление в форме син теза
и* = — н° cos ос sign (0 Хcos ос -f 0 2 sin а), |
|||
, |
— н° sin а sign (ох cos а + |
(2.4.9) |
|
и2 = |
02 sin а). |
||
Отметим, |
что уравнения |
фазовой |
траектории (2.4.7) |
и время быстродействия 0 из |
(2.4.8) в первом приближе |
||
нии от параметра а не зависят, что объясняется эффек том усреднения по осевому вращению тела.
Б. Аналогичное решение получается в случае, когда система управления создает моменты сил вдоль каждой
пз связанных осей (см. рис. 2.3, б) |
|
|
|||
|M2J < H2, |
UI, и2 = |
const > 0. |
|
||
При помощи пзложеппого пыше подхода определяем |
|||||
ui = uj sign cos (ф -f- у), |
u\ = |
u\sign sin (ф + y), |
(2.4.10) |
||
cosy — pap г, sin у = |
pbp-1, |
pu b= |
const. |
||
|
|||||
После усреднения краевая задача принципа максиму ма принимает вид, толщественный (2.4.7), с заменой
=и\ + По. |
(2.4.11) |
Выражения для у и 0 совпадают с (2.4.8), где также нужно сделать замену (2.4.11). Из формул (2.4.10) ана логично (2.4.9) получим синтез оптимального управления
§ 4J |
СИСТЕМЫ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ |
115 |
|
в виде |
|
|
|
|
и\ = — и\sign ©lt |
= — и\sign ©2. |
|
В. В случае поворотного двигателя область U задана неравенством
и\ -\- и\< ип-, и0 = const > 0.
Применяя развитую выше методику, совершенно ана логично находим
Щ -■=— и0©!©!1, |
Щ = — и0©^©^1, |
0 = еТ = © 1/м °, ©а. = |
©1 — U°x = ©° ( l — Т 0 - 1 ), |
|
(2.4.12) |
©5 |
(й° |
Г |
/ |
©! = — ©л. sin ф, ©2 = |
©j. cos ф, |
ф = I v (е?) dt'. |
|
fl)0j |
WJi |
о |
|
Здесь V ( T ) определено в (2.1.27). Отметим, что полу ченное оптимальное решение (2.4.12) является точным, е. оно справедливо для случая, когда параметр е в (2.1.24) не мал. Без затруднений он переносится также па случай переменного ограничения и° = и°Ш. При этом управления и фазовая траектория остаются прежними
(2.4.12). Время оптимального быстродействия Т опреде ляется из условия обращения функции a±(t) в нуль, т. е. из уравнения
|
|
t |
|
|
(о± (Т) = 0, ©j. (*) = ©5. - |
J u°{t')dt'. (2.4.13) |
|
|
|
о |
|
Предполагается, что уравнение |
(2.4.13) |
имеет поло |
|
жительное решение. |
|
осциллятора. Ис |
|
3. |
Управление движением плоского |
||
следуем при помощи развитой выше методики задачу оптимального управления квазилинейной колебательной системой с двумя степенями свободы. Рассмотрим движе ние плоского осциллятора массы m под действием малых векторов управляющего (ц>) и возмущающего (/') воздей
ствий. В полярных координатах (г, |
ф), где г — расстоя |
ние до центра притяжения (г> 0 ), |
ф — полярный угол, |
8*
Ц б УПРАВЛЕНИЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ [ГЛ.
уравнения движения примут вид [126, 136]
Г = 1>г , иг = Уфг - 1 — с п п г 1 + Wrm ~ l + / г Н г 1,
у = УфГ"1, |
Уф = |
— угУфГ-1 -t- uyn.-1 + |
/ф !»-1, |
(2.4.14) |
|
Г (0) = 7’°, |
Vr (0) = У?, |
Ф (0) = ф°, |
Уф (0) = |
y j. |
|
Здесь у г, |
уФ— радпальпая п трансверсальная |
состав |
|||
ляющие вектора скорости; |
wr, w? — составляющие векто |
||||
ра управлений; / г, / Ф— то же для вектора возмущающих
воздействий; с > 0 — коэффициент |
возвращающей |
силы; |
г°, у?, ф°, Уф —начальные данные. |
Пусть I > 0 — |
некото |
рая характерная для системы (2.4.14) величина, имеющая размерность длины, наирнмер, г°. Введем новые безраз мерные переменные по формулам
t = v-1£* |
(v = с1/2щ-1/2), |
|
(<> 4 15) |
|||
г = r*Z, |
уг = vr*vl, уф = yv*vZ. |
|||||
|
||||||
После замены (2.4.15) |
система (2.4.14) |
будет |
иметь |
|||
прежний вид, но перед величинами w и / ' |
будет |
стоять |
||||
множитель (v2lm)~l = |
(cZ)-1. |
Предположим, |
что |
имеют |
||
место равенства |
|
|
|
|
|
|
Ф— ес*иг>ф, |
/г,Ф= |
|
(2.4.16) |
|||
где и, / — безразмерные |
управляющие п возмущающие |
|||||
функции порядка единицы, е — малый параметр. |
|
|||||
Отметим, что к системе (2.4.14) приводятся уравнения малых пространственных колебаний маятника постоян ной длины (сферический маятник) с управляемым поло жением подвеса.
Опуская звездочку в обозначениях (2.4.15) п исполь зуя равенства (2.4.16), перепишем возмущенные уравне
ния движения плоского осциллятора |
(2.4.14) в виде |
||||
г = |
Уг, |
Уг = |
уфг-1 — Г+ |
eur + |
Е/г, |
ф = |
УфГ-1, Уф = |
— угУфГ-1 + |
еиф+ |
(2.4.17) |
|
е/ф. |
|||||
Начальные |
значения |
переменных |
в (2.4.17) берутся |
||
из (2.4.14) и по порядку величин равны единице. Возму
щающие функции /г, /Ф могут зависеть от |
уг, уф и |
2я-периодичны по угловой переменной ф. |
|
§ 41 |
СИСТЕМЫ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ |
117 |
Система (2.4.17) имеет вид (2.1.1). Приведем ее к стан дартному виду управляемой системы с вращающейся фа зой (2.1.6). Для этого воспользуемся известным общим решением невозмущеппой системы, взяв следующий на бор интегралов движения
V, («? + !*) + > /,> *-я, |
™ф= лг, |
|
гг = Ez, ср = 6 + arctg [(tg ф |
со) (1 — ш2)-1/2]. |
‘ ' |
Здесь Е — интеграл полной энергии колебаний, N — кипетический момент, б — угловая постоянная, ф — фаза колебаний. Величины z, а>и ф в (2.4.18) равны
z = |
l + ©sin2i|>, со = (1 - N 2E-2)1'2, (2419) |
|
|
ф = £ + фо |
(фо = COTlSt). |
Из (2.4.18), (2.4.19) следует, что |
||
|
Д (1 - о ))^ г 2<Я (1 + 0). |
|
Величины |
Е, N (или |
©), б, “фо есть постоянные ин |
тегрирования. В справедливости интегралов (2.4.18),
(2.4.19) |
можно |
убедиться |
дифференцированием в силу |
|
невозмущеппой |
системы |
|||
(2.4.17) |
при е = 0. |
|
||
Формулы (2.4.18), (2.4.19) |
||||
дают явные выражения для |
||||
функций r = |
r[t) |
И ф = ф(£). |
||
Дифференцированием по |
t |
|||
получаем радиальную и тран |
||||
сверсальную |
составляющие |
|||
вектора скорости |
|
|
||
г = vr{t)= (aEmz~m cos 2ф, |
|
|||
v^ |
Nr- i = N{Ez)~l/2. |
|
||
Траектории невозмущеппой системы представляют со бой эллипсы (рис. 2.4), наибольшая ось которых состав ляет угол 6 — п/4 с Ох.
Выберем теперь в качестве новых переменных вели чины Е, N, б, ф. При помощи методики п. 1 § 1 данной главы получим управляемую систему с вращающейся
118 УПРАВЛЕНИЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ [ГЛ. 2
фазой типа (2.1.6) |
|
|
|
|
||
■ Ё = |
ей,. (иг+ /,) 4* вУф (Мф 4" /ф), |
N = ег (н-ф 4- /ф), |
||||
6 = |
— |
iLz-5LlZ—cos |
(cos ф 4- wsin ф) |
— -jj- j, |
||
E (0) = |
E°, N{0) =• №, |
6 (0) = 6°, \|) (0) = |
\p°. □ |
(2.4.20) |
||
Начальные условия (2.4.20) находятся при помощи |
||||||
соотношений (2.4.18), (2.4.19) и условий (2.4.14) |
|
|||||
|
|
Я® - « ( » ? * + » ? ) 4 - И Н » , |
№ = г ° 4 , |
|
||
6° = |
ф® - arctg [(tg ф° 4- со0) (1 - |
со02)- 1/2], |
(2.4.21) |
|||
sin 2ф° = (г03 — Е°)!«\°.
Велпчппы i|)° и 6° из (2.4.21) определяются с точ ностью до я. Правая часть системы (2.4.20) псриоднчпа по яр с периодом я. Вместо какой-либо из переменных Е или N можно взять медленную переменную о, которая изменяется согласно уравнению
1 |
‘ - - S T |
(О |
|
Ниже предполагается, что медленная переменпая со |
|
изменяется в |
пределах o)i < «о < о)2, где coi > 0, 0 2 < 1, |
т. е. траектория точки есть невырожденный эллипс. Рассмотрим задачу оптимального управления типа
(2.2.1), (2.2.2) с закрепленным временем Т = 0е-1. А имен но, зададим единственное граничное условие и функцио
нал в виде |
|
Е (Т) = Я*, / = J (и? 4- и%) dx |
min . (2.4.22) |
0 |
(иг-иф) |
Здесь Е *> 0 — заданное значение энергии колебаний, т = еt.
Заметим, что функционал (2.4.22) часто имеет смысл энергии, расходуемой на управление. Далее для опреде ленности будем рассматривать систему (2.4.20) для воз мущающих функций (/г, /ф) вида /f = аг3, /„ = 0, о = const, характеризующих кубическую нелинейность возвращаю щей силы.
§ 4J |
СИСТЕМЫ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ |
119 |
||
Из условия максимума функции Гамильтона находим |
||||
(см. (2.2.3), (2.2.4)) |
|
|
|
|
|
ит=№ (pEvr + |
pbftr + |
rWV). |
l |
|
u%= %(рЕиф+ |
pNr + |
PbhФ+ Рф/яЦф). |
' k' |
Здесь |
pE, PN, Pt, p* — соответствующие сопряженные |
|||
нерсмсииые, а /вг, /«Ф, /фг, /Фф— коэффициенты при и, и и, в уравнениях (2.4.20) для б, г|).
Укажем априорные свойства краевой задачи принципа максимума. Отметим, что правые части системы (2.4.20) не зависят от б. Поэтому и функция Гамильтона задачи (2.4.20) — (2.4.22) не зависит от б, а вследствие нулевого граничного условия имеем р6 = 0. Так как г|>не входит в соотношения (2.4.22), то из условия (2.2.27) вытекает, что в рассматриваемом первом приближении р* = 0. Тогда, усредняя по i|) согласно (2.2.17), получим выражение для гамильтониана первого приближения
|
К |
= 1 / Л Ол е |
+ |
T)w ) + |
1/ 2|-1т)е 'Пл * |
|
||
Здесь |
использованы |
соотношения |
(2.4.20), |
(2.4.23), |
||||
а также равенства |
|
|
|
|
|
|
||
<*>?> = |
6(1 — и!-1). |
<г*>~5, |
<4> = |
ц. |
||||
|
<V > |
= И-. <*V’3> - |
0, |
Рф = |
Рб = 0, |
|
||
в"которых |, (.1 — усредненные значения Е, N, а лв, л*г— |
||||||||
соответствующие усредненные |
сопряженные переменные. |
|||||||
Так как |
|
д/с„ |
|
1 |
|
|
|
|
*1». |
|
|
|
|
|
|||
и |
г ------- S i? --— т ч л * - ч »(в )-о . |
|||||||
то г\ц= 0. После этого усреднения краевая задача с га мильтонианом ко интегрируется в элементарных функ циях
ш = {Vii° - Т 0 -1 {V T ^~V E .t )\\
* ) f . ч » - 0 .
(2.4.24)
120 |
УПРАВЛЕНИЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ (ГЛ. 2 |
Если подставить найденные функции (2.4.24) в ус редненные уравнения (2.4.20), то переменные б, ф в пер вом приближении определяются квадратурами. При по мощи формул (2.4.23), (2.4.24), (2.4.18), (2.4.19) находим выражения для оптимальных управлении в первом при ближении
Отметим, что управление (2.4.25) коллпнеарно векто ру скорости, т. е. направлено по касательной к траектории. Чтобы соотношения (2.4.25) определяли программное уп равление в виде иг (£), мф (t), в них нужно подставить т|я(т) из (2.4.24), а также определить фазу ф(£) в первом приближении согласно (2.2.25), (2.2.26). В результате вы числений получим
(2.4.26)
о
Отметим, что коэффициент о, характеризующий не линейность возвращающей силы, нс вошел в решение (2.4.24), по фигурирует в формуле (2.4.26) для фазы ф. Этот результат аналогичен результату, полученному в п. 5 § 2 главы 2 для одномерного осциллятора с нелнпейным кубическим возмущением. Коэффициенты соот ветствующих формул (2.2.65) и (2.4.26) отличаются в два раза, что обусловлено числом степепей свободы систем.
Аналогично изложенному на основе усредпепиого га мильтониана /«о могут быть исследованы в первом при ближении и другие задачиоптимального управления эле ментами орбиты (2.4.18), (2.4.19) с функционалом (2.4.22). Заметим, что в некоторых случаях удается свести реше ние задачи оптимального управления с дополнительными ограничениями на управляющие функции к конечным уравнениям относительно неизвестных параметров усред ненной краевой задачи. Ряд результатов, связанных с по строением оптимального управления одночастотными ко лебательными системами с несколькими степенями сво боды, получен в работе [12].