книги / Управление колебаниями

§41 ПРИМЕР СЛАБО УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ 41

стает от а(0) до я/4. Отметим, что углу атаки а = л/4 от­ вечает согласно (1.4.21) максимальное значение коэффи­ циента подъемной силы Cv. Кусочно постоянная функция

переключение п тем большие значения принимает угол а в один и тот же момент времени.

Приведенные результаты хорошо согласуются с резуль­ татами работы [122]. В работе [122] получено численное решепис поставленной задачи для случая постоянной ат­ мосферы и в широком диапазоне (от 0 , 1 до 3) изменения

чески совпадают, и даже при е = 0,5 отличие между ними составляет примерно 1 0 % во всем диапазоне изменения К. Момент переключения, определяемый условием (1.4.23), также хорошо согласуется с результатами расчетов (при­ мерно с той же точностью).

Приближенное аналитическое решение (1.4.22) полу­ чено при произвольной зависимости плотности атмосферы от высоты. Задавая эту зависимость, при помощи квадра­ туры (1.2.9) нетрудно найти и поправку к траектории, обусловленную действием аэродинамических сил. Отметим, что траектория и функционал при этом будут определены с погрешностью порядка е2, т. е. на порядок в точнее, чем управление.

§ 5. Приблнжепный спптез управления вращепиями твердого тела

1. Постановка задачи оптимального торможения. В ка­ честве примера применения метода малого параметра (теории возмущений) для приближенного построения син­ теза рассмотрим управляемые вращения твердого тела, близкого к динамически симметричному. Динамические уравпеппя Эйлера имеют вид

Здесь постоянные /, /з — главные центральные момен­ ты инерции твердого тела при отсутствии возмущений (0< 1з,<21), — проекции вектора угловой скорости па главные центральные оси инерции, 6 <и{ — управляющие моменты, bi = const > 0 , и,- — управляющие функции, под­ чиненные ограничению

Проекции момента возмущающих сил ДО{= МД©i, ©2, ©з) есть достаточно гладкие функции переменных ю{ в некоторой окрестности начала координат, включающей шар

G>1 + + ©з < ©о, ©о = ( « ? + ©22 -Ь ©з2) 1/2.

В частности, если тело близко к динамически симмет­ ричному, т. е.

/, = Д 1 + 6 i), h = Я 1 + б2), 6 i>2«: 1 ,

то функции Nt содержат гироскопические возмущения ви­ да 7(6i — бг)©1 ©2. Конкретные модели возмущающих мо­ ментов N{ (i = 1, 2, 3) рассматривается ниже. Далее пред­ полагается, что величина возмущений мала по сравнению с моментом сил управления. Это предположение можно

формализовать введением малого числового параметра е, полагая N{= eb{fu i= 1 , 2 , 3 .

Для возмущенной управляемой системы (1.5.1), (1.5.2) поставим задачу оптимального по быстродействию тормо-

§ 51 ТОРМОЖЕНИЕ ВРАЩЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА 43

жештя вращений. Требуется перевести фазовую точку системы из начального состояния (1.5.1) в пачало коорди­ нат ыДУ') - 0, i “ l, 2 , 3, за' минимальное время Т. Для итого необходимо найти закон управления в виде синтеза щ = о)2, оз3), оптимальную фазовую траекторию

как функцию времени t н начальных данных со?,а.также минимальное значение времени торможения как функцию

начальных данных: Т = Т (со?, со?, ю?).

Отметим, что исследованию управляемых движений твердого тела относительно центра масс посвящено значи­ тельное число работ (см. главу 5). Приведенная постанов­ ка задачи оптимального торможения представляет самосто­ ятельный интерес, но может рассматриваться и как со­ ставная часть более общей задачи управления, например, переориентации твердого тела в абсолютном пространст­ во. Выбранное ограничение па управление (1.5.2) соответ­ ствует двигателям ограниченной суммарной мощности [73] или верньерным двигателям ограниченной тяги [34].

Линейным преобразованием переменных система (1.5.1) приводится к удобному для дальнейших исследований

Поставленная задача синтеёа содержит малый пара­ метр е, и для ее решения нужно сначала найти порожда­ ющее решение, соответствующёе е = 0. В общем случае для произвольных D\, D2 явно решить задачу синтеза для системы (1.5.3) при е = 0 не удается. В случае же равенст­ ва D\—D% — D певозмущепная система (1.5.3) при « — 0 становится управляемой системой с инвариантной нормой,

допускающей при щ = 0 первый интеграл

z\ -1- z\-f- z\= const.

Синтез оптимального управления при 6 = 0 в этом слу­ чае может быть найден явно [34], что дает возможность построить приближенное решение для е < 1 методом воз­ мущений. Отметим, что согласпо (1.5.4) рассматриваемый случай D \=D i=i) реализуется либо при b{ = b2, либо при равенстве момептов инерции / = / 3 (тогда имеем

D\=D2 = 0).

2.Синтез оптимального торможения для нсвозмущен-

Через z и и обозначены векторы с компонентами (zi, z2, Z3) и (7/ 1, из) соответственно, символ М означает мо­ дуль вектора.

Решение задачи (1.5.5) получается прп помощи просто­ го прпема. Умножим каждое нз уравнений (1.5.5) па z,Z_1, где Z=|z|, п сложим все уравнения. Получим скаляриое уравнение

которое, очевидно, н является оптимальным по быстро­ действию.

Подстановка функции (1.5.7) в уравпеппс (1 .5 .6 ) при­

Здесь Го — время оптимального быстродействия. Под­

ставим теперь функцию Щ (1.5.7) в уравнения (1.5.5), Получим систему с заданными начальными условиями, для которой известен один из интегралов (1.5.8). Ее решение ищем в виде z = ZT], где г](£) — неизвестная вектор-функ­ ция, удовлетворяющая условию |,г)(<)| = 1 . Подставляя z{= /(£)% в уравнения (1.5.5) и учитывая (1.5.8), для не­ известных функций rji получим уравнения

Введем в системе (1.5.9) новую независимую перемен­ ную а

и воспользуемся выражением (1.5.8) для Z. Тогда с уче­ том цз = const система (1.5.9) для тц, т)2 сведется к ли­ нейной системе с постоянными коэффициентами. Интегри­ руя, найдем

величиной Z модуля вектора z. Таким образом, решение задачи оптимального быстродействия для невозмущенной системы (1.5.2), (1.5.5) полностью построено в виде (1.5.7), (1.5.8), (1.5.10), (1.5.11). Простым пересчетом по формулам (1.5.4) получается решение в исходных пере­

Так как Кц, /)1 < 1/1, то вследствие ограниченности функции / = ( / ь /2, /з) в окрестности начала координат

величина I достигнет нуля за некоторое время Т, отличпое от Го = 1° на величину порядка е. Следовательно, син­ тез управления (1.5.7) обеспечивает торможение тола за время Г, близкое к Г0.

Еис. 1.1.

Построение синтеза оптимального управления с уче­ том возмущающих моментов с некоторой заданной степепыо точности по малому параметру е можно осущест­ вить при помощи метода динамического программирова­ ния. Для этого построим приближенное решение задачи Коши для уравнения Гамильтона — Якоби — Веллмана [43, 53]:

изводных функции Г по z. Таким образом, в левой части уравненпя (1.5.12) стоит скалярное выражение, минимп-

зация по и которого приводит к оптимальному управле­ нию вида

и*

Подставляя (1.5.13) в соотношение (1.5.12), получим задачу Коши для нелинейного уравнения в частных про­ изводных

Ipl -I- (р, G) + ъ(р, /) = 1, Г(0, е) = 0. (1.5.14)

Решение задачи (1.5.14) в предположении, что фупкция / достаточное число раз дифференцируема в ^-окрест­ ности начала координат z = 0 , строится разложениями по степепям параметра е

П*, е) - В Д + вГ,(*) + ... + 8"ДЫ +

Гл(0)==0, к = 0, 1, 2, ...

В соответствии с методикой теории возмущений пред­ ставление (1.5.15) подставляется в (1.5.14). Приравнива­ ние коэффициентов при одинаковых степенях е позволя­ ет получить последовательность уравнений в частных производных с нулевыми условиями. В дальнейшем бу­ дем использовать обозначение

При к = 0, что соответствует певозмущенной системе (1.5.5), получим нелинейную задачу Коши вида

Решение задачи (1.5.17) доставляет функция

из (1.5.8), для которой lpol = l, (ро, 0 = 0 (см. формулу (1.5.12) для G). Фупкцпя (1.5.18) всюду пенрерывпа и непрерывно дифференцируема в каждой точке, кроме точки z = 0, где производные не определены. Однако урав­ нение (1.5.17) формально удовлетворяется п в точке z —0. Таким образом, выражение (1.5.18) ость функция Веллмана невозмущепной задачи оптимального управле­ ния (1.5.5), а ро = г). Из (1.5.13), (1.5.15), (1.5.18) полу­

чим пулевое приближение для управления, совпадающее

строить методом характеристик [170]. Семейство харак­ теристик строится однозначно, так как сумма квадратов коэффициентов при частных производных здесь отлична от нуля:

= (*I + 2г)1/2>s= 1UDzil.

Теперь на основании последнего соотношения (1.5.20) и выражений (1.5.21) искомое решение Т\ задачи Коши

50 МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА [ГЛ. I

оптимальному управлению будем рассматривать выра­ жение

членов ряда (1.5.26) в формулу (1.5.13). Выражение (1.5.28) удовлетворяет ограничению |м(Л)1 ^ 1 из (1.5.2). Однако разложение функции u(h) в степенной ряд по е содержит члены высших порядков по е. Если же разло­

ет ограничению (1.5.2), однако погрешность удовлетво­ рения этому ограничению составляет, очевидно, величи­ ну 0 (eh+1). При построении приближений к оптимальпой фазовой траектории удобнее использовать аппроксима­ цию (1.5.29) вместо (1.5.28), что не уменьшит порядка точности вычислений.

В первом приближении из формул (1.5.27), (1.5.29)

4. Приближённое вычисление оптимальной траекто­ рии. Подстановка аппроксимации для оптимального управлепия uw iz, е) из (1.5.29) в уравнения (1.5.3) при­ водит к задаче Коши (/с + 1)-го приближения

(1.5.31)