книги / Управление колебаниями
..pdf§4] УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЯМИ МАЯТНИКА 171
стога колебаний (вращений) обращается в нуль. При этом снижается точность метода усреднения, однако им можно пользоваться для построения приближенного решения 1ом. [83, 158]).
Приведенные зависимости позволяют также решать задачи оптимального быстродействия. Например, если «(то + 0) = — 2, то время 0 есть время быстродействия, необходимое для оптимальной остановки маятника при начальной энергии а0 = а(т0).
Для сравнения приведем времена быстродействия, соответствующие точному и приближенному оптимально му управлению, для различных начальных значений <р° и
Ф°, см. табл. 3.1. Точное время быстродействия |
Т было |
||||||
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 3.1 |
|
ф0 |
л |
2,44 |
1,00 |
-0 ,1 5 |
—2,95 |
-4 ,7 6 |
-6 ,0 2 |
фО " |
0,00 |
1,00 |
3,52 |
5,00 |
3,20 |
4,95 |
6,00 |
' Т ' |
8,00 |
8,13 |
8,33 |
8,04 |
9,27 |
9,67 |
9,96 |
То |
7,47 |
7,58 |
8,02 |
8,30 |
9,04 |
9,47 |
9,72 |
опрсделепо путем численного построения оптимальных траекторий для системы
q) + asiiiq)=u, М 1, ф(Т)=2пя, ф(Л = 0. (3.4.18)
Здесь а > 0 — параметр, п — произвольное целое число. Приближенное значение времени оптимального быстро действия То определялось для системы (3.4.18) при за
данных начальных данных ф°, ф° следующим образом. Если в (3.4.18) сделать замену аргумента t-*-au4, то по лучим исходную систему (3.4.1). Поэтому для (3.4.18) имеем
а» = (cp°)V2oc — 1 |
— cos ф°, |
Т = <х1/20, е = от1. |
(3.4.19) |
|
Определяя а0 пз (3.4.19), находим при помощи постро |
||||
енной зависимости а(т) сначала то из условия |
а(то) — а0, |
|||
а затем 0 нз |
уравнения а(то + 0) = — 2. После |
этого |
||
вычисляем То согласно (3.4.19). |
|
а = 5. |
||
Приведенные |
в табл. |
3.1 результаты отвечают |
||
Они подтверждают вполне удовлетворительную точность асимптотических расчетов даже при не очень малых в (здесь е = 0,2).
172 |
УСРЕДНЕНИЕ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ |
[ГЛ. 3 |
Отметим, что задачи оптимального быстродействия для систем, подобных (3.4.18), при а < 1 исследовались
вработах [40, 213, 238].
§5. Оптимальная эволюция плоской орбиты
1.Постановка задачи об оптимальном движении точ ки в центральном поле под действием малой тяги. Рас смотрим движение материальной точки в центральном гравитационном поле под действием малых управляющих сил (малой тяги). В безразмерных переменных уравлспия
плоского движения точки имеют вид (см., например, [73])
г = |
уг, |
уг = |
yjr-1 — г-2 + |
ап |
|
Ф = |
уфг \ |
уф= — угуфг 1 + аф, |
(3.5.1) |
||
г(0) = г°, |
уг (0) = у?, |
ф(0) = ф°, |
Уф (0) = |
Уф. |
|
Здесь г, ф — полярные координаты точки; у г, у ф — ра диальная п трансверсальная составляющие вектора скоро сти (рис. 3.5), «г, а* — соответ ствующие константы вектора тяги. Управляющие воздейст вия предполагаются малыми по сравнению с минимальным зна чением силы тяготения, т. е.
(а2 + <4)1/2 <С TmL. |
Движение |
|||
предполагается таким, что ос- |
||||
кулирующий |
эксцентриситет |
|||
орбиты |
ограничен неравенства |
|||
ми е\< |
е ^ е2, где е\> |
0, е2< 1. |
||
Рис. 3.5. |
|
значения |
г°, у®, |
|
Начальные |
||||
Ф°, Уф |
считаются |
заданными. |
||
Известно, что для отрицательных значений полной энергии Е при система (3.5.1) описывает пе риодические движения точки по замкнутой эллиптической орбите, а ее решение имеет вид (2.1.3).
Приведем систему (3.5.1) к стандартной форме (3.1.2) при помощи следующего набора первых интегралов
§ 5] |
|
О П Т И М А Л Ь Н А Я |
Э В О Л Ю Ц И Я |
О Р Б И Т Ы |
173 |
||||||
неуправляемого движения |
|
|
|
|
|
||||||
|
■ Vs М |
+ |
*4) — г -1 = Е |
{Е С 0), |
гуф = if, |
||||||
|
г = |
р (1 -Ь е cos г)-1, |
г = |
V2 (— Я)-1 (1 — вcos |), |
|||||||
|
f-|_6 = ( - 2 £ ) - 3/3(S -6sin £ ), |
ф = |
а; + |
у, |
|||||||
в = |
(1 + 2EIi*)V‘\ |
р = |
К2, |
(о = |
( - |
2Е)*\ |
□ (3.5.2) |
||||
Здесь |
Е < 0 — полная |
энергия толки, К — ее кинети |
|||||||||
ческий момент относительно оси OZ, р — фокальный па |
|||||||||||
раметр, |
е - - эксцентриситет орбиты, |
ы(Е) =2л/Т0{Е)— |
|||||||||
частота |
обращения |
по |
орбпте, ж — истинная аномалия; |
||||||||
б — произвольные постоянные. |
© выражаются через |
||||||||||
Заметим, |
что |
постоянные е, р, |
|||||||||
Е, К |
посредством |
последних |
трех |
равенств (3.5.2), так |
|||||||
что в соотношениях (3.5.2) всего четыре независимых постоянных интегрирования. Переменные х, | могут быть исключены из (3.5.2), после чего формулы (3.5.2) опреде ляют общее решение системы (3.5.1) при аг = &, = (). Ве личины Е, К или е, р характеризуют форму и величину орбиты, а угловая постоянная f есть угол между линией апсид н осью ОХ (рис. 3.5).
В качестве фазы ф неуправляемого движения следует
рассматривать переменную |
|
-ф = £ — е sin !, |
(3.5.3) |
которая согласно (3.5.2) линейно зависит |
от времени и |
равна ф = а>(£+ б). |
|
Пользуясь соотношениями (3.5.2), (3.5.3), вычислим производную от фазы ф по истинной аномалии х в не
управляемом движении |
|
|
|
|
dq __ |
(1 — е2)э/а |
= 0. |
(3.5.4) |
|
dx . |
(1 + |
Ф | * = о |
||
e c o s * )2’ |
|
|
||
Запишем уравнения |
управляемого |
двшкеппя |
(3.5.1) |
|
в стандартной форме, приняв в качестве оокулирующих переменных Е, К, у и фазу ф, связанные с исходными переменными соотношениями (3.5.2), (3.5.3). При этом
переменные х, | оказываются однозначными |
н строго |
возрастающими функциями i|\ причем |
|
a,’(i]) + 2n) =я:(ф) + 2я, |(-ф + 2я) = |(‘ф) + 2я. |
(3.5.5) |
174 |
У С Р Е Д Н Е Н И Е |
В Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х З А Д А Ч А Х |
[Г Л . 3 |
|||
Дифференцируя |
указанные |
соотношения |
замены и |
|||
пользуясь (3.5.1), получим систему вида (3.1.2) |
|
|||||
|
|
шЕ= vTaT+ y,aT, |
К = гсц,, |
|
|
|
«у = рУге-\[— атcosz + a,(2 + е coszK'i + е cos дО-1 sin ^rJ, |
||||||
|
г)) = |
а(Е) + arf*r(x, е, р) + avf^ix, |
е, р), |
|
||
Е(0)=Е °, |
iaO )=K °, T(0) = |
f , ф(0) = |
11)°. |
□ (3.5.6) |
||
Здесь |
уг, |
Уф1 г — известные |
функции Е, К, |
а:, со |
||
гласно (3.5.2). Правые части уравнений являются 2я-пе- рподическпми функциями переменной х, которая связана с фазой ij) соотношениями (3.5.4), (3.5.5). В итоге эти неявные функции 2л-пернодпчпы по фазе ty- Явный вид функций /фГ, / фф пе выписывается, так как в первом при ближении он не существен.
Вместо первых двух уравнений (3.5.6) часто удобнее рассматривать эквивалентные пм уравнения, описываю щие изменение элементов орбиты е, р
е = pH2 [arsina: + |
|
-f р [е (1 -|- cos2 х) + |
2 cos ж] (1 + е cos х)~х}, (3.5.7) |
р = 2р3/2яф (1 + е cos я)-1, |
|
е (0) = е°, |
р (0) = р°. |
Начальные зпачеппя перемепных в (3.5.6), (3.5.7) вы ражаются через начальные даипые (3.5.1) при помощи (3.5.2), (3.5.3).
Для системы (3.5.6), (3.5.7) рассмотрим некоторые постановки задач оптимального управления медленными переменными Е, К (или е, р), у. Управляющие воздейст вия ат, афсчитаем малыми, а время окончания Т процес са управления — большой величиной. Полагаем
ат= еиг, а, = ей,, Т = 0е-1, 0 < е < 1, (3.5.8)
где е — малый параметр, 0 — заданная величина порядка единицы. При условиях (3.5.8) ограниченные управляю щие функции ит, и, будут приводить к существенно му (порядка единицы) изменению медленных перемен ных. Критерий качества управления зададим в виде
§ 5] |
О П Т И М А Л Ь Н А Я Э В О Л Ю Ц И Я О Р Б И Т Ы |
175 |
||
функционала |
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J = |
о |
|
(3.5.9) |
|
|
|
|
|
характеризующего расход энергии в случае |
малой тя |
|||
ги [73]. |
|
|
|
|
|
Введем дополнительную фазовую координату, отвеча |
|||
ющую функционалу (3.5.9) |
|
|
||
|
z = |
1/2е ( 4 + и%)у |
z (0) = 0. |
(3.5.10) |
|
Теперь функционал (3.5.9) приводится к виду (3.1.15), |
|||
а именно |
J= z(T). |
|
(3.5.11) |
|
|
|
|
||
|
Краевые условия в общем случае (см. (3.1.14)) можно |
|||
задать в виде |
К у ч)1г = 0, |
i = l,2 , 3, |
(3.5.12) |
|
|
L i ( E , |
|||
из которых одно или два соотношения могут отсутство вать. В частности, представляют интерес следующие по становки задач:
— полное изменение всех элементов орбиты (формы, размеров и ориентации эллипса), при этом
Е ( Т ) = Е *, |
K (T)=K *f |
7(Я = 7*. |
|
||
|
е (Я = е * . |
р (Я = р * ; |
(3.5.13) |
||
— частичное |
изменение |
формы |
и размеров |
орбиты, |
|
а также ее поворот в плоскости XY, т. е. |
|
||||
Ш , Ют= 0 |
(Же, р)т = 0), |
(Я = 7 * • (3.5.14) |
|||
В (3.5.13) звездочками помечены заданные постоян |
|||||
ные, a L, М в |
(3.5.14) — заданные скалярные функции. |
||||
Если положить |
L = 0 (или М = 0), |
то условия |
(3.5.14) |
||
требуют лишь поворота линии апсид на заданный угол при произвольном изменении других элементов орбиты. Возможны и другие варианты краевых условий (3.5.12). Поставлепиые задачи оптимального управления, опреде ляемые соотношениями (3.5.6)—(3.5.14), относятся к ти пу (3.1.2), (3.1.14), (3.1.15) п могут быть решены при помощи методики •§ 1.
2. Построение решения первого прпблпжсппя. Соста вим гамильтониан системы (3,5,6), (3,5.8), (3.5,10), Соот-
176 У С Р Е Д Н Е Н И Е В Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х З А Д А Ч А Х [Г Л . 3
ветствугощая г сопряженная переменная равна рг = — 1. Из условия максимума функции Гамильтона (3.1.17) для системы (3.5.6), (3.5.8), (3.5.10) получим управление в форме (3.1.18)
|
Ur = |
Ре » т Н" Pyfyr + О'/фг» |
|
к ф = |
(3.5.15) |
|
PE Vф 4 " РКг 4 "P yfyv 4 " ?Л|)ф1 |
|
гДб f i r |
, / тф — коэффициенты при ат, сир в уравнепхш (3.5.4) |
|
для 'i, |
а рв, рк, PI — сопряженные переменные, соответст |
|
вующие Е, К, у. Одновременно определим максимум га мильтониана в форме (3.1.20)
Я * = Чгь (и ? + + щ . (3.5.16)
Далее при помощи соотиошепин (3.1.32), (3.5.15), (3.5.16) вычислим гамильтониан усредненной системы. При этом используем равенство <g> = sfi, см. п. 5 § 1. Вы числение средних по х|) приводим к вычислению средних по х на основании соотношений (3.5.4), а именно
Обозначая усредненные переменные теми же буквами, что и исходные, получим после вычислений функцию Гамильтона усредненной системы
[± < Я * > ]е_ о= Ф + ш(Я)р, |
<o = (-2 S )W . |
(3.5.18) |
|
Здесь введено обозначение |
|
|
|
Ф (.Е, К, рЕ, рк, ру) = -j- <((и*2+ |
и*% =0> = |
|
|
„2 , \&~тов )р |
, |
\о — че |
|
°Е + - Ц Г - ~ 2) ~ РК + ~ ^ ( 1 - е 2) |
(3.5.19) |
||
еа = 1 + 2ЕК\ |
р = К\ |
||
При использовании уравнений (3.5.7) вместо первых двух уравнений системы (3.5.6) аналогично изложенному
ОПТИМАЛЬНАЯ ЭВОЛЮЦИЯ ОРБИТЫ |
177 |
выше получим гамильтониан усредненной системы в виде (3.5.18), где
От-мотим, что соотношение (3.5.20) может быть полу чено из (3.5.19) при помощи замены Е, К на е, р (см. (3.5.19)) н соответствующей замены сопряженных пере менных.
Гамильтонианы (3.5.18) — (3.5.20) полностью опреде ляют усредненные системы (3.1.31) для двух рассматри ваемых наборов медленных переменных. Краевые условия (3.1.31) получаем известным способом на основе (3.5.11)— (3.5.14).
Отметим, что полученные системы обладают первыми интегралами Ф + юр = const (см. (3.1.32)), а также рл= = const (7 — циклическая координата). Поэтому автоном ная система 4-х уравнений для Е, К, pBiрк (или е, р,ре,Рр), обладающая первым интегралом Ф+ юр, интегрируется независимо. После этого переменные у, z определяются квадратурами. Управление первого приближения нахо дится по формулам (3.5.15), где <7 = 0, а приближенное значение функционала получим минимизацией по р вы
ражения /o(p)=z(7').
3. Пример. Построим приближенное решение задачи оптимального управления с краевым условием вида (3.5.14), а именно, с условием на полную энергию Е(Т) = = Е%^ 0. Остальные переменные в конце процесса не
фиксируются. |
Из условий |
|
трансверсальности |
следует |
||
p-f —const = 0. |
Тогда согласно гамильтоновой |
системе |
||||
с гамильтонианом (3.5.18), (3.5.19) получим |
|
|||||
dy __ |
|
Э Ф |
= 0 |
, |
у = у0, T = 8 f. |
(3.5.21) |
~dx ~~ |
|
|||||
|
|
|
|
|
||
Выпишем прп помощи (3.5.18), (3.5.19), (3.5.21) урав нение и условие трансверсальности для переменной рк
PKI Рк (®)~ 0. (3.5.22)
12 Ф. л. Черггоусько, Л. Д. Акуленко, В. И. Соколов
178 |
У С Р Е Д Н Е Н И Е |
В Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х З А Д А Ч А Х |
1ГЛ . 3 |
|||
Отсюда вытекает: рк —0. В результате усредненная |
||||||
краевая задача приводится к виду |
|
|
|
|||
|
% - 3 ( - 2 В ) ^ * р |
+ р|, |
(3.5.23) |
|||
|
Д(0) = |
£°, |
Е (0) = |
К(0) = к°. |
|
|
Система (3.5.23) допускает интегралы |
|
|
||||
ЕК2 = |
const, |
(— 2£)3/2 Р — Ер% = h — const. (3.5.24) |
||||
Первый из интегралов (3.5.24), вытекающий из пер |
||||||
вых двух уравнений (3.5.23), означает в силу |
(3.5.2), |
что |
||||
е = const. Таким |
образом, согласно |
(3.5.21), |
(3.5.24) |
для |
||
оптимальных траекторий сохраняются в первом прибли жении эксцентриситет е и угловое положение Y линии апсид оскулирующей орбиты.
Второй из интегралов (3.5.24) следует из постоянства гамильтониана (3.5.18), (3.5.19) (см. также (3.1.32)) и из установленных равенств p-f= pK = 0.
Построим сначала решение краевой задачи (3.5.23) при р = 0. Для этого из второго интеграла (3.5.24) найдем
pE = Cl{ - E ) - i/\ Ci = const |
(3.5.25) |
и подставим в первое уравнение (3.5.23). Интегрируя это уравнение и удовлетворяя краевым условиям (3.5.23) для Е, найдем Е(х) и постоянную С\. После этого К и рв находим при помощи первого интеграла (3.5.24) и со отношения (3.5.25). В результате получим
Е(х) = Е°оЧх), |
К(х) =/С °сг1(т), |
|
Ре Ь) = 4 - ( 1 - |
■ / § ) ° - 1 |
(3.5.26) |
Вычислим функции Е, К, рЕ, определенные формула ми (3,5,26) для р = 0, при значениях р^О , Для этогд
§ 5] ОПТИМАЛЬНАЯ ЭВОЛЮЦИЯ ОРБИТЫ 179
найдем решение краевой задачи (3.5.23) в виде разложе
ния по степеням р н затем вычислим |
/ 0 (0) согласно ра |
венству (3.1.42). Получим |
|
J'o(0) = - (3/20) E°Q [3 + 4<т (0) + |
3(i2 (0)1 > 0, |
так что условия быстрой осцилляции (см. 3.1.36)) и ло кального минимума функции /о(р) (см. 3.1.42)) выпол нены.
Приближенное значение функционала /о((1) определя ем при помощи соотношений (3.5.10), (3.5.19) и р: = рк= = 0 в виде
ее
/ 0 (Р) = I Ф*г = - |
J Ep\dx. |
(3.5.27) |
о |
о |
|
Подставим в (3.5.27) рЕ из первого уравнения (3.5.23)
' « < |
» — |
ОЯ 4г ) ‘ - & |
“ о I |
|
(3-5' 28) |
|
Воспользовавшпсь |
неравенством |
Коши — Бупяковско- |
||||
го для пары функций d(— E)U2ldx и 1, а затем краевыми |
||||||
условиями (3.5.23) для Е, получим из (3.5.28) неравенство |
||||||
М П ) > w [ j |
|
* |
] = |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
(35-29) |
С другой стороны, подставляя E(x) из (3.5.26) в фор |
||||||
мулу (3.5.28), получим при (1 = 0 |
{-Е °т * . |
|
||||
|
/о(0) = 0 - ‘[( - Д * ) 1/2- |
(3.5.30) |
||||
Из (3.5.29), |
(3.5.30) следует, что § = 0 есть |
точка аб |
||||
солютного минимума по 0 функции /о({1). |
|
|||||
Управление в форме синтеза получим, подставляя в |
||||||
(3.5.15) |
соотношения |
рт — рк = д = 0 и (3.5.26) для рв |
||||
и заменяя затем 0 |
0 — т, |
т -»■ 0, Е0-*- Е. В результате |
||||
12 *
180 |
УСРЕДНЕНИЕ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ |
1ГЛ. 3 |
найдем
и* = *
(3.5.31)
1 + е.cos (ср — у)
К
Здесь vr, выражены через оскулпрующнс элементы посредством (3.5.2). Таким образом, приближенное опти мальное управление оказывается тангенциальной тягой, т. е. направлено по касательной к траектории. Формулы (3.5.26), (3.5.30), (3.5.31) полностью определяют искомое решение первого приближения, оптимальную траекторию, функционал и управление. Полагая, в частности, Е% = 0, получим решение задачи об оптимальном разгоне до па раболической скорости. Необходимая для этого величина
расхода энергетического ресурса согласно (3.5.30) равна
1ДЧ0-1.
Отметпм, что управляемое движение точки в централь ном поле под действием малой тангенциальной тягп ис следовано в ряде работ (см. [159, 88, 731).