книги / Управление колебаниями

Вычислим функционал (1.0.3) с точностью до членов по­ рядка е включительно

1о

Из равенств (1.0.17), (1.0.18) получим

е в минимизируемом функционале не зависит от управ­ ления и траектории первого приближения и1 (г), яЧО. Указанный факт означает, что если погрешность порядка е2 по функционалу и краевым условиям приемлема, то пет необходимости искать поправки и1, х1 из условий оп­ тимальности (минимума квадратичных по е слагаемых в функционале). Эти функции достаточно выбрать так, что­ бы в первом приближении удовлетворить лишь краевым условиям, т. е. равенствам (1.6.11). Величина функциона­ ла может быть подсчитана с погрешностью порядка е2 по формуле (1.6.19), исходя только из пулевого прибли­ жения.

2. Заключительные замечания. Отмеченное свойство характерно для таких задач, в которых имеет место внут-

реннпй экстремум, т. е. ограничения да управление от­ сутствуют. При наличии ограничений изменение управле­ ния на величины порядка е вызывает, вообще говоря, изменение функционала на величину того же порядка малости.

Сказанное можно наглядно проиллюстрировать на элементарном примере минимизации функции многих пе­ ременных. Пусть F(z, е) — дважды непрерывно диффе­ ренцируемая функция, определенная в области z е= Д, при достаточно малых е е ГО, e°h Область De предполага­ ется выпуклой, а ее зависимость от е непрерывна и тако­ ва, что при изменении е па Аб граница области Ds сме­ щается на величину порядка Де. Требуется найти мини­ мум F(z, е) по z при z^ D e. Для функции F имее т место разложение

Предположим, что функция F°(z) в D0 обладает тем свойством, что ее второй дифференциал положителен в точке внутреннего минимума F°(z), если такая точка су­ ществует.

Будем искать решение поставленной задачи при ма­

F°(z) при z s D0, есть внутренняя точка области D0 (слу­

(1.6.22). Если же z° лежит на границе области Do (крае­

выбирается из условия минимума этого члена в заданной

§ С] ЗАМЕЧАНИЯ О МЕТОДЕ ВОЗМУЩЕНИЙ 63

ционной задаче, рассмотренной в п. 1 данного параграфа. Второй случай (краевой экстремум) характерен для общей задачи оптимального управления с ограничениями. В са­ мом деле, пусть минимизируемый функционал задан в ви­ де J = F(z(T), е). Тогда, отождествляя z с х(Т), а область De— с областью достижимости системы за время Т при фиксированной начальной точке, сведем задачу оптималь­ ного управления к рассмотренной выше задаче о мини­ муме функции F(z, е). При этом случай краевого экстре­ мума будет иметь место, если минимум F(x(T), е) при е = 0 достигается на границе области достижимости. Для слабо управляемой системы, рассмотренной в § 2—4, область достижимости системы Dt при е -+■ 0 стягивается в точку z*. Поэтому здесь случай краевого экстремума имеет место всегда, если только эта точка z* не совпада­ ет с точкой минимума по z функции Fiz, е).

Указанные выше соображения полезно иметь в виду при применении метода возмущений к задачам оптималь­ ного управления.

ГЛАВА 2

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ

В главе 2 развивается метод разделения быстрых и медленных движений (метод усреднения) для решения задач оптимального управления квазилинейными коле­ баниями па асимптотически большом интервале време­ ни. Предполагается, что колебательная система является одночастотной и приводится к стандартной форм© уп­ равляемых систем с вращающейся фазой.

В § 1 рассматриваются колебательные системы и способы их приведения к стандартному виду. § 2 со­ держит методику решения задач с закрепленным вре­ менем. Задачи управления типа оптимального быстро­ действия исследуются в § 3. Ряд задач оптимального управления колебаниями квазилинейных систем с одной и несколькими степенями свободы, содержащих медлен­ но изменяющиеся параметры, решен в § 4. В оспову главы 2 положены работы [1 0 —1 2 ].

§1. Управляемые квазилинейные колебательные системы

1.Одночастотная управляемая система общего вида. Рассмотрим управляемую систему, содержащую медлен­ ную х и быструю у переменные

Смысл выделения медленного времени т, согласно (2.1.1), будет ясен из дальнейшего. Постоянные t0, х°, у0 в

(2 .1 .1 ) — начальные данные. Предполагается, что правые части системы (2 .1 .1 ) определены н имеют необходимые для дальнейшего производные в некоторой достаточно широкой области изменения своих аргументов. Отметим, что функции X, Y, а также параметры х°, у0 могут за­ висеть от е непрерывным образом. Однако эта зависи­ мость для упрощения записи далее не указывается. Формально система (2 . 1 .1 ) слабо управляема (см. §§ 1 — 3 главы I), так как при е = 0 она становится неуправ­ ляемой

Однако движение системы (2.1.1), в отлпчпе от гла­ вы I, исследуется на асимптотически большом интерва­ ла времени t ~ е"1, на котором медлепные переменные х и т успевают измениться существенно, па величины по­ рядка едпгшцы. Быстрые переменные изменятся, вооб­ ще говоря, па величины порядка е“ *.

Предположим, что невозмущенная система (2.1.2) для 7/о имеет общее решение, содержащее вращающиеся п колеблющиеся переменные, которое также может за­ висеть от параметров ж и т [63, 64, 4—6, 18]

равными пулю для колеблющихся переменных п отлич­

с и фо. Естествеппо предположить, что правая часть си­ стемы (2 .1 .1 ) есть периодическая функция вращающих­ ся перемеппых у{ с периодами Щ

Приведем систему (2.1.1) к ст.андартпому виду уп­ равляемых систем с вращающейся фазой, пспользуя формулы (2 .1 .3 ) в качество замены исходных перемен­ ных х, у, х на переменные х, с, ф, т. Это преобразование

5 Ф. Л. Чсрпоусьно. Л. Д. Акуленко. Б, Н. Соколов

УПРАВЛЕНИЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ [ГЛ. 2

системы (2.1.5) отличен от нуля всюду в рассматривае­ мой области изменения переменных т, х, с, ф. Началь­ ные значения с°, ф° в (2.1.4) выражаются через ж0, у0 в силу преобразования, обратного (2.1.3).

Объединяя векторы а: и с в один вектор медленных переменных а, полученную систему (2.1.4) с вращаю­ щейся фазой ф запишем в стандартном виде

аргументов, 2я-периодические относительно ф. Размер­ ность векторов а и / будем считать произвольной и обоз­ начать через п. Отметим, что так как частота v — ска­ ляр и не зависит от вектора а, то такие колебательные системы принято называть одночастотными квазили­ нейными 146, 144, 139].

Медленные переменные а в небесной механике приня­

§ « УПРАВЛЯЕМЫЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

Здесь at, bt — новые медленные переменные, ф = фШ — известная монотонная функция t. Уравнения для ah bi

Характерной единицей времени движения системы (2.1.14) является период свободных колебании при

■<р" +■о- 1 sin.q>= — <rl(Wx cos ф + Wvsin ф) — 2а'о“ 1ф/.

(2.1.17)

л

Здесь роль управления играют проекции ускорения точки подвеса Wx, Wy, а о — безразмерная длина подве­ са (см. (2.1.16)).

•^Рассмотрим различные способы введения малого па­ раметра в уравнение (2.1.17). Пусть длина о есть задан­

тельное изменение длины за период колебаний маятни­ ка.. Будем считать, что управляющие ускорения малы по сравнению с ускорением силы тяжести, т. е. в без­

Обозначим через Ф максимальную амплитуду колебании