книги / Управление колебаниями
..pdf§ И ЗАДАЧИ С ФИКСИРОВАННЫМ ВРЕМЕНЕМ 131
исследовались оптимальные траектории с малой тягой. Ряд работ был посвящен управляемым системам в стан
дартной форме вида х = &X(t, х, и), что соответствует си стеме (3.1.2) при m = 1 , ^ = 0 . Укажем здесь работы [1—3, 155, 156, 172—174], посвященные применению ме тода усреднения и его модификаций (частичное усредне ние) к подобным системам. В работе [81] исследованы управляемые квазилинейные системы вида (3 .1 .2 ), в ко торых о — постоянный вектор, а интервал времени фик сирован. Метод усреднения для существеппо нелиней ных управляемых систем с вращающейся фазой (3 .1 .2 ) был предложен в работе [24]. Методика исследования-ква зилинейных колебаний систем с медленно изменяющими ся параметрами, развитая в работах [1 0 —1 2 ], изложена
.выше в главе 2. В дайной главе рассматриваются суще ственно нелинейные управляемые системы (3 .1 .2 ), асим птотическое исследование которых сопряжено с преодо лением указанных выше особенностей.
3. Вывод стандартной системы с вращающейся фазой. Пользуясь граничным условием q{T) = 0 из (3.1.19), при ведем систему дифференциальных уравнений (3.1.2), (3.1.19) при и* из (3.1.18) к стандартному виду. Для это го заметим, что исходная система (3.1.2) автономна и по этому гамильтонова система (3.1.2), (3.1.19) допускает первый интеграл [176]
II* = е(р, /*) + ?( о) + E F * ) = С = const. (3.1.20) |
|
Здесь звездочка означает, что в соответствующие фун |
|
кции подставлено и = и* согласно |
(3.1.18). Величина Н* |
вдоль траекторий системы равпа |
постоянной С. Предпо |
ложим, что векторы а(Т) и р{Т), определяемые согласно |
||
(3.1.2), (3.1.14), (3.1.19), |
ограничены |
для всех е > 0 . Тог |
да из краевых условий |
(3.1.19) и из |
(3.1.20) следует, что |
С = е(р, /*)т, т. е. |
C = ek, где |
постоянная |
h ~ i |
равна |
h = |
(р, j*)r, /* = |
/(«, ф, р, q) |
|
(3 .1 .2 1 ) |
и ограничена при е |
0. Из (3.1.20) следует, что |
|
||
q = E(*-'{h-(p, f*)-qF *], (й^ш 0 > |
0, |
(3.1.22) |
||
т. е. формально q ~ е. Соотпошенпе (3.1.22), рассматрива емое как уравнение относительно q, при условии ограни ченности частной производной правой части по q для
9*
132 |
УСРЕДНЕНИЕ 13 НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ |
1ГЛ. 3 |
||
д = 8 = 0 |
можно однозначно разрешить в виде |
|
||
|
q = |
еш-1[& — (р, / оЯ + t2qiUi, я, ^ Р>в), |
(3.1.23) |
|
/о = |
/*(я, Ф, Р, 0). |
|||
|
||||
Здесь |
<72 — некоторая ограниченная 2я-периодичсская |
|||
по я|) функция. Уменьшим порядок решаемой |
системы |
|||
(3.1.2), (3.1.19), подставив в нее выражение (3.1.23) для <7, где h — параметр. Получим краевую задачу меньшей раз мерности, зависящую от неизвестного параметра h, вида
■ а = |
ef*Q(ад ф, р) + |
е2/ 3 {К я, ф, р, е), |
|
||
Р = |
- е |
[h - |
(р, & (я, ф, 7?))] - |
|
|
|
- |
в ~ |
(р, /I (я, ф, р)) + BV>B(А, я, ф, р, в), |
||
|
ф = © (а) + |
(h, a, ф, р, е), |
|
||
|
« й , ) - а \ |
^(ta) = ^ ,M (a (T )) = |
0, |
||
|
|
Р(Т) = -^ЦХ, M ) - g ] T. |
□ (3.1.24) |
||
Здесь /2, Р2 и F\ — ограниченные функции, 2я-перио- дические относительно яр. Таким образом, получена си стема (3.1.24) в стандартной форме, решение которой строится при заданном значении h тем же способом, что и в главе 2 для случая квазилинейной системы. Началь ные и краевые условия (3.1.24) следуют из (3.1.14), (3.1.19). Пусть решение краевой задачи (3.1.24) сущест вует и единственно в некотором интервале h е [hi, hi\
a = a(t,h,e), ф = ф(£, h, в), p = p(f, h, e). (3.1.25)
Параметр h находится из условия q(T, h, e )= 0 , где функция q определяется согласно (3.1.23). Это условие, согласно (3.1.21), (3.1.25) имеет вид
А ** (р (Т, h, е), /о (а {Т, h, е), ф (Г, h, е), р (Г, h, е))).
(3.1.26)
По предположению относительно существованпя ре шения задачи оптимального управления (3.1.2), (3.1.14), (3.1.15), уравнение (3.1.26) имеет хотя бы один вещест-
§ И |
ЗАДАЧИ С ФИКСИРОВАННЫМ ВРЕМЕНЕМ |
133 |
веншыи |
корень. Если этот корень h= h*\ ограниченный |
|
при е -»-0 , найден, то после подстановки его в (3.1.25) полностью определяются функции а, -ф, р. Подстановка последних и h = h* в (3.1.23) позволяет также найти функцию q. В результате получается искомое решение краевой задачи (3.1.2), (3.1.14), (3.1.18), (3.1.19).
Из вида уравнения (3.1.26) следует, что параметр h определяется, вообще говоря, нсодпозначно, так как пра вая часть уравпепия (3.1.26) является быстро осциллиру ющей функцией h. Частота осцилляций есть величина по рядка е '1, а амплитуда — порядка единицы. Покажем это. Сначала дифференцированием по h оценим величину про
изводной |
h, e)/dh. Используя уравнения (3.1.24) и |
‘существенную |
нелинейность системы (оVia) ~ 1 ), полу |
чим оценку в главном члене |
|
1 L ■= - k .[ |
~ -к j • W dt = I (£ • ж )* ~ f |
|
О |
о |
*0 |
Здесь учтено |
очевидное |
равенство 5ф(£о| h, z)/dh = |
= дф°/dh = 0. Ниже будет приведено условие (3.1.36), га
рантирующее |
указанную |
|
||||
оценку. Из полученной оцен |
|
|||||
ки и 2 л;-периодичности функ |
|
|||||
ции /о по ф вытекают отмечен |
|
|||||
ные |
выше свойства быстрой |
|
||||
осцилляции |
правой |
части |
|
|||
уравнения (3.1.26) |
по h. Ти |
|
||||
пичная |
картина, |
возникаю |
|
|||
щая при исследовании урав |
|
|||||
нения (3.1.26), представлена |
|
|||||
на рис. |
3.1. Здесь |
приведе |
Рпс. 3.1. |
|||
ны |
графики |
обеих |
частей |
|
||
уравпения (3.1.261 как функций h. Штриховой кривой представлена функция (р, </!>)г, где </0>— среднее от / 0 по фазе ф.
В дальнейшем предполагаем, что точка пересечения этой кривой с прямой z — h существует п лежит внутри интервала [Л-i, htf, в котором определено решение (3.1.25) краевой задачи (3.1.24) (см. рис. 3.1). Тогда уравнение (3.1.26) допускает, как правило, много корней {№ —
134 |
УСРЕДНЕНИЕ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ |
[ГЛ. 3 |
число их порядка е- 1 при достаточно малом е > 0 , а расстояние между соседними корнями — порядка е.
Таким образом, как установлено, краевая задача прин ципа максимума (3.1.2), (3.1.14), (3.1.18), (3.1.19) допус кает много, порядка е-1, решепий, отвечающих различ ным корням (А*>. Оптимальное значение h* выделяется из условия мипимума функционала (3.1.15)
/* = min J(h), J(h) = g {a(T, h, e)). (3.1.27)
Тогда решение задачи оптимального управления (3.1.2), (3.1.14), (3.1.15) определяется функциями (3.1.23), (3.1.25), управлением (3.1.18) и величиной 7* из (3.1.27).
Указанные трудпостп, связанные с решением краевой задачи и трансцендентного уравнения (3.1.26), а также с последующей оптимизацией по дискретному множеству {/ц.}, преодолеваются ниже при выполнении некоторых до полнительных предположений. Ход рассуждений аналоги чен § 3 главы 2 , где рассматривалась задача типа опти мального быстродействия для квазилинейных систем.
4. Усредненная краевая задача первого приближения. Переходим к построению решения первого приближения краевой задачи (3.1.24) при фиксированном значении па раметра h. Введем в рассмотрение усредненные перемен ные 1 , “П и ф, которые удовлетворяют уравнениям и кра евым условиям
. § • = < /;> II. 11), |
l ( t 0) = |
a”, |
и (|(0 )) = |
О, |
|||
- |
(л. </; » |
1 |
- |
^ |
(л. < /:» , |
|
|
ф(то) = ^°» f = |
т0 = |
е*0, |
0 = |
гТ, |
|
||
|
2Я |
|
|
|
|
|
|
<fl> (£, “П) = |
J /о (I, i|>, 'ПИф. |
□ |
(3.1.28) |
||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
Известно [46, 63], что в случае задачи Кошп решение усрсдпенпой системы уравнений (3.1.28) близко к реше нию исходной системы (3.1.24) в следующем смысле. Пусть задана система уравнений (3.1.24) с параметром h
§11 |
ЗАДАЧИ |
С ФИКСИРОВАННЫМ |
ВРЕМЕНЕМ |
|
135 |
|||
и начальными условиями a(to) = |
a0, |
p(to) = р°, i|>(f0) = ijj°. |
||||||
Тогда при условиях близости |
|
|
|
|
|
|||
|
\р°—г)°| ^ |
се, |
\h —xl < |
се, |
с = const> |
О |
|
|
и при достаточно |
малом е > 0 для всех t е [t0, |
Т] спра |
||||||
ведливы неравенства |
|
|
|
|
|
|
||
|
\а — |
|
\р —г||<с?с, |
lip— qpI ^ d, |
|
|
||
|
|
|
d = const > |
0. |
|
|
(3.1.29) |
|
Здесь £, г], ф — решение усредненной системы (3.1.28) |
||||||||
при |(т0) —а0, г|(то) = |
ц°, ф(т0) = |
ij)0, h = %. |
оценок |
для |
||||
Для |
обоснования |
аналогичных (3.1.29) |
||||||
краевых задач предположим, что решение задачи (3.1.28) |
||||||||
при h е |
[}ц, h2] существует, единственно л обладает сле |
|||||||
дующим свойством устойчивости. Пусть добавление ма |
||||||||
лых слагаемых порядка е в правые части граничных ус |
||||||||
ловий (3.1.28) приводит к малому, того же |
порядка |
ма |
||||||
лости е, изменению решений задачи (3.1.28).
В самом деле, функции а, р будут отличаться на вели чины порядка е от функций |i, гр, удовлетворяющих ус редненной системе (3.1.28) и тем же начальным данным при t = t0, что и функции а, р. В момент Т, следователь но, функции |i(e£), T)i(e£) удовлетворяют краевым усло виям (3.1.28) с ошибкой порядка е и, согласно требуемо му свойству устойчивости, отличаются от решения |, ц краевой задачи (3.1.28) на величины порядка е. Поэтому отличие между функциями а, р и £, ц будет составлять величину порядка е, т. е. оценки (3.1.29) справедливы для решений краевых задач (3.1.24), (3.1.28) при фиксирован
ном h. |
Исследование структуры решений усредненной кра |
5. |
|
евой задачи. Докажем, что система (3.1.28) имеет первый |
|
интеграл |
|
<° |
Х ( 1 ) [ ^ — (“П. < / J > ( £ > Л ) ) ] = Р = const. (3.1.30) |
Постоянство Р проверяется непосредственным диффе ренцированием соотношения (3.1.30) по %в силу системы
136 |
УСРЕДНЕНИЕ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ |
|
[ГЛ. 3 |
|
(3.1.28). Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
Здесь использовано равенство |
д (т|, </о>)/^Л = |
</о>» |
||
вытекающее из (2.2.7) и определения (3.1.28) |
функции |
|||
(Л ). |
Сравнивая (3.1.30) и (3.1.23), видим, |
что |
<д> = |
|
= ер, где р = const с погрешпостыо |
0 (e) на рассматрива |
|||
емом интервале времени.
Воспользовавшись равенством (3.1.30), приведем си
стему (3.1.28) к виду |
|
|
||
§ - = < / ;> (4 ,4 ). |
5 ( * ,) = “ >•, м (1(9 )) = О , |
|
||
# = - |
t n i i r - |
-Щ (11- < & > • |
п (0 ) |
М )~ е ] * ’ |
Система (3.1.31) является гамильтоновой с функцией |
||||
Гамильтона |
|
|
|
|
[т< я *> (л .в р .& .в )]е_ # = |
|
|
||
|
= (“П. </о> (S* л)) + рю (S) = h = const, (3.1.32) |
|||
которая |
есть интеграл системы |
(3.1.31). |
Постоянство |
|
(3.1.32) |
с очевидностью следует |
также из |
(3.1.30). Кон |
|
станты р и h связаны соотношением (3.1.30) (или (3.1.32)). Предполагаем, что эти соотношения определяют взаимно
•однозначное соответствие между {5 |
и h. Интервал |
А е |
|
«= [hi, |
при-этом отображается на |
цтервал p e [ p lt |
p2]t |
в котором краевая задача (3.1.31) будет иметь единствен ное решение, что следует из соответствующего свойства задачи (3.1.28). Предполагаем также, что точка р = 0 ле жит в интервале [pi, Рг). Решение краевой задачи (3.1.31)
§ И |
З А Д А Ч И С Ф И К С И Р О В А Н Н Ы М В Р Е М Е Н Е М |
137 |
|
|
|
|
|
вследствие автономности -системы представим в виде |
|||
|
i = |
е - т 0,« ° ,р ) , |
|
|
1 = Т1 ( г - |
т0, в - т0, а \ р ), |
(3.1.33) |
|
|
X |
|
Ф = Ф° + 7 J
ч
Параметр {} должен удовлетворять уравнению (3.J.26), в правую часть которого подставим выражения для а, ф, р, согласно (3.1.29), (3.1.33)
a (t, А, е) = 1 + 0 (е), р (t, h, е) = ц + |
О (в), |
А г |
(3.1.34) |
Ф (*, /г, е) = Ф0 4 - 7 J © (1 ) dxL+ О(1 ), |
|
т0 |
|
а в левую — величину h согласно (3.1.32). Получим соот ношение
|
|
|
= Р + |
0(в). |
(3.1.35) |
|
|
|
|
т= 0 |
|
|
|
Здесь |
функции |
ц определены в |
(3.1.33) |
и введено |
||
обозначение |
|
|
|
|
||
|
ф №. ч. Ч>) = |
(ч, й (I. 1>. ч) - |
<&>№. ч))- |
|||
Функция Ф периодична по ф с периодом 2 я и имеет |
||||||
пулевое среднее по ф. |
|
|
|
|||
Пусть выполнено условие |
|
|
|
|||
|
Г 0 |
|
|
1 |
|
|
d |
|
|
|
|
Yo Ф О- |
|
W |
J Q) й (х — Т0, 0 — т0. *°» I3) ) dx |
р=о |
||||
|
т0 |
|
|
|
(3.1.36) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда при достаточно малых зпачепиях е левая часть |
||||||
уравнения |
(3 .1 .3 5 ) |
в некоторой |
окрестности |
значения |
||
(J = 0 |
есть |
быстро |
осциллирующая |
функция с |
частотой |
|
~ Y0e-1, амплитудой порядка единицы и с малым средним
138 У С Р Е Д Н Е Н И Е В Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х З А Д А Ч А Х 1ГЛ . 3
~ е. Поэтому в некотором интервале значений р, включа ющем точку р = О, уравнение (3.1.25) (аналогично урав нению (3.1.26)) имеет много корней, отличающихся друг
от друга на величины порядка е. Обозначим этот интер вал через Гр', р"], причем р = 0 е[р ', ,р"] с:[рь р2]. Лю
бая точка Р е [р7, р"] |
обладает тем свойством, что в ее |
||||||||||
е-окрестности находится корень |
pv |
уравнения |
(3.1.35), |
||||||||
отвечающий корню |
hy уравнения |
(3.1.26). Связь |
между |
||||||||
pv и Av — взаимно |
однозначная |
и |
задается |
формулами |
|||||||
(3.1.30) |
, (3.1.32). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 . |
Выделение оптимального решения. Для определения |
||||||||||
искомого |
значения р* |
(или h*) |
|
обратимся |
к |
условию |
|||||
(3.1.27). Наряду с функционалом Н Ю |
из (3.1.27) |
рассмот |
|||||||||
рим его приближенное значение /о(р), которое получим в |
|||||||||||
результате подстановки |
« = |
| + 0(е) |
из- |
(3.1.34), |
| из |
||||||
(3.1.33) |
в функцию g (см. (3.1.27)). Получим |
|
|
|
|||||||
/о(В) = |
g(l(0 - то, 0 - |
то, а0, р)), |
|
Н Ю = |
/о(р) + |
0(e). |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.1.37) |
Здесь связь между |
h и |
р |
определена |
формулами |
|||||||
(3.1.30) , (3.1.32). Так как функции g и |, по предположе
нию, являются гладкими, то |
/ 0(р) — гладкая |
функция р. |
Рассмотрим следующую задачу на минимум |
||
Jl = m in/ 0 (Р), |
р е [Р', р"], |
(3.1.38) |
в |
|
|
где, в отлпчпе от (3.1.27), параметр р пробегает весь ин
тервал |
значений. Из близости функционалов |
Jo, |
J см. |
(3.1.37) |
, и гладкости 70(р) следует, что минимумы |
(3.1.27), |
|
(3.1.38) отличаются па вслпчппу порядка е, т. е. / |
0 — J = |
||
= 0(е). |
|
|
|
Следовательно, определив решение р°, Jо задачи |
|||
(3.1.38) |
, получим приближенное решение исходной задачи |
||
в следующем смысле. В е-окрестности найденного р° най дется Pv, отвечающее некоторому корню h4 уравиения (3.1.26), для которого в силу установленных выше свойств пмеем
J (Лv) — J0(Pv) + Ох(е) = JQ(р°) + |
0 2 (е) |
= |
|
|
|
= Jl + 02(е) = |
/* + |
0 3 (е), |
(3.1.39) |
||
где 0 |, 0 2 , 0з — малые порядка е. Другими |
словами, |
от |
|||
личие приближенного решения от точного |
минимума |
по |
|||
ЗЛДЛЧТТ Г. ФТТКГ.ТТРОВЛНН.ЬТДТ ВРЕМЕНЕМ |
139 |
функционалу составляет величину порядна е, причем в е-окрсстпости найдеииого р° имеется точный корень р* трансцендентного уравнения (о.1.35).
Таким образом, приходим к задаче минимизации глад кой функции 7„(р) па интервале (см. (3.1.38)). Дифферен цируя (3.1.37) по р, получим
Учитывая краевые условия (3.1.31) для |, ц п равен ство (d|/<?p)t0= да°/др = 0 , получим из (3.1.40)
е
Здесь пспользовапо равепство [5U, М)/5р]в = 0, вытскающое из того факта, что условие 0¥ )е = 0 выполняется при всех р.
Дифференцируя подынтегральное выражение н пспользуя уравнение (3.1.31) для ц, преобразуем /<! к виду
©
Используем теперь |
выражение |
для производной |
|||
d dl |
3 |
</J> |
дЪ |
д </J> |
5ll |
d% 50 |
|
d\ |
5p + |
0-1} |
op • |
Второе слагаемое |
|
равно нулю в |
сплу тождества |
||
д(г), </о> ) / ^ 11 = </о>- В результате искомая производная J0 приводится к виду
Приравнивая нулю производную (3.1.41), видим, что значение Р = 0 является точкой возможного экстремума функции / 0(Р). Если вторые производные от ш(|) по | и
140 УСРЕДНЕНИЕ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ [ГЛ. 3
д2%/д$2 при р = 0 существуют, то р = 0 будет точкой ло кального минимума при выполнении неравенства
е |
|
|
|
= Vo > 0- |
(3.1.42) |
т<? |
р=о |
|
Величина Yo определена в (3.1.36). Таким образом, ус ловие (3.1.42), включающее условие быстрой осцилляции, является достаточным условием локальпой оптимальности точки Р = 0 и соответствующих этому значению функций
I. *)•
Выведем теперь достаточное условие глобального (на интервале [р', p"J) минимума функционала /о(р) в точке Р = 0. Для этого вычислим функцию / 0(р), интегрируя вы ражение (3.1.41) по частям
(3.1.43)
Глобальный минимум (3.1.38) достигается при р = 0, если /о (р )> /о(0) для всех р е [р ', р"3. Это условие при помощи (3.1.43) можно представить в виде
о (|) dx > j |
f J* ю (|) d%\ db. |
(3.1,44) |
|
о |
Ь 0 |
J,p=e |
|
С другой стороны, на основании (3.1.37) условие гло бального минимума можно записать в форме
*(D >g(fc)l*-e |
( т - в ) . |
(3.1.45) |
Здесь аргументы функции | — те же, что и в (3.1.37). Условия локальной оптимальности (3.1.42) могут быть проверены на основе известного решения (3 .1 .3 3 ) задачи
(3.1.31) при Р = 0. Действительно, требуемые для провер ки функции |, ц при р, близких к нулю, могут быть по-' строены разложениями по р, для чего понадобится ре шить некоторые линейные краевые задачи. Их решение строится аналогично п. 4 § 2 главы 2.
7. Заключение. Таким образом, приходим к следующей процедуре построения приближенного решения задачи