книги / Управление колебаниями

Равенства (1.2.5), (1.2.6) задают преобразования, пе­ реводящие вектор с в ж п обратно. Матрицы (1.2.8), как матрицы Якоби для этих взаимпо обратных преобразова­

является системой в вариациях для уравнений нулевого приближения (1.2.3), которой удовлетворяет ж0. Как из­ вестно из теории обыкновенных дифференциальных урав­ нений [1031, матрица Ф из (1.2.8) представляет собой фундаментальную матрицу для системы в вариациях. Пользуясь этим, запишем при помощи метода вариации произвольных постоянных общее решение неоднородной

системы (1.2.4)

t

ж1 = Ф (t1с) b + Ф (i, с) J Ф 1 (т, с) f1(ж0 (т), т, и (т)) dx.

Определим вектор Ъ произвольных постоянных при помощи начального условия для ж1 из (1.2.4) и пользуясь

Вектор р°, как следует из (1.2.3), удовлетворяет ли­ нейной однородной системе, которая является сопряжен­ ной по отношению к упоминавшейся выше системе в ва­ риациях. Поэтому (см. [103]) фундаментальная матрица для нее равна (Ф-1)' = G', где штрих означает транспо­ нированную матрицу. Следовательно, общее решение си­ стемы (1.2.3) для р° имеет вид (в векторной и скалярной запнсн соответственно)

Здесь s — вектор произвольных постоянных. Подстав­ ляя решепие (1.2.11) в условие (1.2.3) для р°(Г0) и учи­ тывая равенство ( £ г ') _1 = Ф', получим

Перейдем к определению управления в первом при­ ближении (в нулевом приближении система неуправляе­ ма). Подставим в функцию II нз (1.1.10) представления (1.2.1) и (1.2.2) и разложим эту функцию в ряд по в

Точками обозначены члены порядков выше первого. Из выписанпых слагаемых лишь последнее зависит от и. Поэтому определение максимума II по и в (1.1.11) сво­ дится в первом приближении к максимизации этого по­ следнего слагаемого

( / > ° ( * ) , / Ч * ° ( г) , * , » ( * ) ) ) =

= SUP (рО ^/Ч *0 (*),*, и)). (1.2.13)

иеи

Управление uit), определяемое соотношением (1.2.13), может и не быть близко к оптимальному в смысле метрики в

Однако опо будет приближенно оптимальным в смысле минимизируемого функционала. В самом деле, из извест­ ных формул для первой вариации функционала [181] следует, что функционалы для двух различных управле­ ний отличаются па величину того же порядка, что и функции II для этих управлений. Но при соблюдении условия (1.2.13) фупкцпя Я для управления u(t) будет отличаться от максимума функции Я, достигаемого при выборе оптимального управления, на величину порядка отброптсппых членов, т. е. порядка е2. Такой же порядок малости <9(е2) будет иметь' п отличие по функционалу между приближенным и точным оптимальными управле­ ниями. Отметим, что отличие по функционалу между лю­ быми двумя допустимыми управлениями в слабо управ­ ляемой системе (1.1.1), (1.2.1) составляет величину по­ рядка е. Строгое обосповаппе алгоритма и оценка точ­ ности погрешности построеппого решения излагаются далее в § 3.

Отметим, что согласно (1.2.13) управление u{t) зави­ сит только от решений пулевого приближения x°(t) и p°(t). Подставляя решение (1.2.11), условие (1.2.13) мож­ но переписать в виде

2. Описание алгоритма. Полученные соотношения позволяют получить приближенное решение поставлен­ ной задачи оптимального управления. При этом траекто­ рия я(£), а также момент Т и функционал / определя­ ются в первом' приближении (с учетом двух членов раз­ ложений (1.2.2), т. е. с погрешностью порядка е2), а сопряженные переменные р(£) и постоянные X, — в пу­ левом приближении. Аналогично изложенному выше могут быть построены указанные величины в более вы­ соком приближении по степеням малого параметра 8.

Определение решения первого приближения сводится

кследующим этапам.

1.Находим общее решение системы нулевого приб­ лижения, т. е. функции (p, g из (1.2.5), (1.2.6), а также матрицы Ф, G из (1.2.8).

ставить Я° из (1.2.3). Правую часть равенства (1.2.3) для Я0 и (1.2.12) следует брать при х — х°(Т°), t = T°. Таким образом, равенства (1.2.3), (1.2.11), (1,2.42) определяют функцию p4t) с точностью до г произвольных постоян­

ных Я®, которые будут найдены ниже.

4. Подставив z°U) и р°Ш в условие (1.2.13) или (1.2.14) и вычислив супремум по и, найдем управление

u(t) также с точностью до г неизвестных постояппых Я?.

5.Подставим х°Ш и u(t) в равенство (1.2.9) и найдем ххit) и, в частности, хх(Т°) с точностью до тех же по­ стоянных.

6.Подставим t = TQ, x = xQ(T°) и найденное значение хЧТ°) в соотношение (1.2.40). Получим в общем слу­

чае г трансцендентных уравнений для определения посто­ янных Я®, которые входят в хЧТ°). Разрешая эти урав­ нения (предполагаем, что решение существует), найдем постоянные Я®. Теперь функции p°(t), u(t), xx(t) и по­

стоянная Я°, найденные в этапах 3 — 5, полностью опре­ делены.

7. Поправку Т1 к моменту окончания процесса и J1 к функционалу найдем последовательно из третьего и пя­ того равенств (1.2.4), в которые нужно подставить уже известные значения х = х°(Т°), t = T° и хх(Т°).

3.Дополнительные замечания.

З а м е ч а н и е 1.2.1. Рассмотрим решение поставлен­ ной задачи еще в том важном случае, когда краевые ус­ ловия д = 0 в конце процесса отсутствуют (кроме усло­ вия h —0, служащего для определения момента оконча­ ния процесса). В этом случае размерность г вектора q из (1.1.3) равна нулю, и поэтому в равенствах §§ 1, 2 сле­

дует опустить члены, содержащие q{, q\ и постоянные Я;,

Я®. Соотношения (4.2.40) также нужно опустить. Приб­ лиженное решение задачи в этом случае значительно упрощается, так как опускается одна из самых сложных его частей — решение системы уравнений (этап 6). При

определяются однозначно. В остальном схема решения остается той же.

где /* — заданная функция. Уравнения, краевые условия

иограничения по-прежнему задаем в виде (1,1.1)—

= е / = ж* (Г).

Увеличим на единицу размерность вектора х за счет добавления к нему новой компоненты ж*. Тогда исход­ ная задача, эквивалентная задаче минимизации функцио­ нала /*, полностью сведется к рассмотренному выше в § 2 случаю. По методике § 2 можно определить минимум функционала /* с погрешностью порядка е2. Для исход­ ного функционала J погрешность решения соста­

от и.

Рассмотрению некоторых задач оптимального управ­ ления указанного типа для слабо управляемых систем с

решения для случая интегрального функционала, содер­ жащего положительно определенную квадратичную фор­ му от управления.

За м е ч а н и е 1.2.3. Изложенный подход можно при­ менять для построения приближенных аналитических решений задач оптимального управления в случае слабо управляемых систем. При этом значение параметра е мо­ жет фактически быть не очень малым. Следует отметить, что задачи управления механическими объектами часто относятся к рассмотренному выше типу слабо управля­ емых систем. Параметр е здесь характеризует отношение управляющих сил к неуправляемым силам.

За м е ч а н и е 1.2.4. Изложенным методом малого па­ раметра можно получать исходное (начальное) прибли­ жение для последующего решения задачи онтимальпого управления на ЭВМ различными численными методами.

Вчастности, метод малого параметра применяется в сочетании с численным методом последовательных приб­

лижений, предложенным в работе [122] и развитым в [123], см. также [231]. Малый параметр при этом может вводиться в систему (-1.1.-1) искусственно, например, од­ ним из следующих способов:

в качестве начального приближения в расчетах исполь­ зуется полученное оптимальное управление для преды­ дущего значения е. Таким образом часто удается до­ биться сходимости численного метода в тех случаях, ког­ да его непосредственное применение при е = 1 не дает желаемого результата.

4. Локальная оптимальность. Так как первые интег­ ралы (1.2.6) системы нулевого приближения предпола­ гаются известными, то их можно взять в качестве новых искомых функций в системе (1.1Л). Другими словами, равенства (1.2.5), (1.2.6) можно рассматривать как пря­ мое и обратное преобразования от вектора переменных х к вектору новых переменных с, причем вектор с будет постоянным лишь в нулевом приближении. Такое преоб­ разование применяется в небесной механике, где пере­ менные типа с называются оскулирующими элементами.

Рассмотрим решение пп. 1, 2 § 2, считая, что в ка­ честве фазовых координат выбраны первые интегралы

Подставим равенство (1.2.18) для s в последнее уеловне (1.2.16)

решностью в малых высшего порядка), эту производную можно заменить производной в силу точных уравнений

Приближенное оптимальное управление, согласно последнему условию (1.2.16), доставляет максимум лево­ му из выражений (1.2.19). Так как производная dF°/dt не зависит явно от и, то согласно равенствам (1.2.19), управление может определяться из условия минималь­ ности полной производной dFVdt.

Управление, которое в каждый момент времени мини­ мизирует скорость dF°/dt изменения минимизируемого функционала F0, часто называется локально оптималь­ ным. Таким образом, выше показано, что в слабо уп­ равляемой системе локально оптимальное управление при сформулированных выше предположениях является приближенно оптимальным управлением. Другими сло­ вами, значения функционала для точного оптимального и локально оптимального управления отличаются на ве­ личину порядка е2.

З а м е ч а н и е 1.2.5. Локально оптимальные управле­ ния находятся обычно весьма просто. Для этого доста­ точно записать полную производную dF°/dt как функцию оскулирующих переменных, управления и времени, а за­ тем найти ее минимум по u ^ U . Управление при этом получается в виде функции от оскулирующих фазовых координат и, возможно, времени, т. е. в форме синтеза. После этого траектория может определяться либо анали­ тически, либо численным интегрированием задачи Коши. Благодаря своей простоте локально оптимальные управ­ ления пеодпократпо использовались в задачах управляе­ мого движения космических аппаратов с малой тягой, см., например, [73, 130]. При этом роль нулевого приб­ лижения играет кеплерово движение, а роль первых ин­

оскулирующие элементы. Локально оптимальные управ­ ления применялись и в качестве начального приближе­ ния при численных расчетах оптимальных траекторий. Полученные выше результаты указывают, при каких ус­ ловиях и в каком смысле локально оптимальные управ­ ления действительно близки к оптимальным управлениям.

§ 3. Оценка точности метода малого параметра для слабо управляемых систем

1. Постановка задачи. Исследуем вопросы обоснова­ ния н оценки точности методики построения приближен­ ного решепия, развитой в § 2. Задача оптимального уп­ равления (1.1.1)—'(1.1.4), (1.2.1) рассматривается при упрощающем предположении, что краевые условия q = О

Здесь f — некоторая функция, содержащая все по­ следующие члены разложения (1.2.1). В общем случае функция f может непрерывно зависеть от малого пара­ метра е. Однако для обоснования первого приближения эта зависимость несущественна и далее не указывается. Аналогично, возможная зависимость от аргумента е ус­ ловия h = 0 в (1.4.3) и функционала (1.1.4) в явном ви­ де также не выписывается, т. е.

Функция u(f) называется допустимым управлением, если она измерима и u(t) ^ U для всех t ^ fo, где U — замкнутое ограниченное фиксированное множество. Обоз­

начим через Xu(t) соответствующее решение задачи Ко­ ши (1.3.1) при фиксированном допустимом управлении

u(t) и е ^ (0, еоЗ, а через Г® —первый момент времени,