книги / Управление колебаниями

направляющими косинусами а,> Обозначая через / { главные центральные моменты инерции спутника, запи­ шем уравнения движения

ij) = L ( / - 1 sin2 ф + 12 1cos2 ф) —

— V х {Mx cos ф + M2 sin ф) ctg 0 — Ь~ХМ2ctg p. n

(5.3.1)

Полагаем, что моменты Mi внешних сил относительно осей у{ имеют вид М{= Gt+ U{, где Gt— гравитационные, ?7< — управляющие моменты. Компоненты Gt равны [39]

эллиптической орбите, вокруг притягивающего центра С, v — истинная аномалия, е — эксцентриситет орбиты, р,- — направляющие косинусы радиуса-вектора СО центра масс спутника в связанной системе з^з&гз. Истинная аномалия v определяется уравнением

v = ©о( 1 + е cos v)(l — е2)-3/2,

(5.3.3)

v(t + Т0) = vit) + 2я, оо = 2n/T0t 0 ^ e < 1.

Управляемая система (5.3.1)—(5.3.3) является суще­ ственно нелинейной многочастотной системой. Далее исследуем при упрощающих предположениях о близости

что переменная v, уравнение для которой (5.3.3) может быть проинтегрировано отдельно, входит в выражение (5.3.2) для гравитационного момента. Для фазы ф часто­ та зависит от L, поэтому система существенно нелинейна.

2.Задача оптимального управления. Найдем управ­

Дополнительные ограничения на управление не нала­ гаются. При помощи принципа максимума получим вы­ ражения для управления

Через p с соответствующими индексами обозначены сопряженные переменные. Используя формально методи­ ку главы 3, подставим управления из (5.3.6) в функ­ цию Гамильтона задачи (5.3.1)—(5.3.5) и положим р+ = 0. Затем выполним независимое усреднение двоякопериоди­ ческой функции Н от ф, v по переменным ф и v(£), учи­ тывая зависимость (5.3.3).

Так как система двухчастотна, то в ней возможны резонансы. В неуправляемой системе они появляются при условиях [2251

Ы ~ х — ткйо, Ы ~ 1= пщ/2, Ы ~ 1 —п(йо/3, п = 1, 2,... (5.3.7)

Члены уравнений, содержащие управляющие моменты (5.3.6), зависят от медленных переменных и поэтому не добавляют новых резонансов. Поскольку в построенном ниже решении L изменяется монотонно, то система не застревает па резонансах (5.3.7) (см. [32, 33, 157]), что оправдывает примепепие усреднения по двум фазам.

После указанного усреднения гамильтониан прини­ мает вид [2 1 ]

-[- pyI~xLD cos 0 (Дх б т 2ф + Д2 соз2ф — Д3) + paL~xФ cos р, (5.3.8)

3. Построение п анализ решепия. Из структуры га­ мильтониана (5.3.8) следует, что сопряженная система допускает частное решение

которое удовлетворяет также условиям трансверсально­ сти. Уравнения первого приближения для остальных медленных переменных с учетом (5.3.8), (5.3.10) примут вид

Проинтегрируем систему (5.3.12). Вычисляя dQ>ldx да осповапии (5.3.10), (5.3.12), получим Ф = const.

Уравнения (5.3.12) для 0 , ф интегрируются в квадратурах при помощи первого интеграла (5.3.10). Оптимальное управление и значение функционала получим, подставляя (5.3.11), (5.3.13) в (5.3.5),, (5.3.6)

= у2 = 0, у3 = (L* — Ь°)е 1 = const, (5.3.14)

Программное управление первого приближения (5.3.14) направлено вдоль вектора кинетического момента L и постоянно по величине на оптимальной траектории. Проекции управляющего момента ещ па оси связанной

ка, построенным в [225]. В обоих случаях движение можно разделить на три части: быстрое вращение тела (изменение фазы ij)) с угловой скоростью Ы~х\медленное движение вектора L в абсолютном пространстве (пере­ менные L, р, а); медленное движение вектора L относи­ тельно тела (переменные 0 , ф).

Быстрые движения в рассматриваемых случаях от­ личаются тем, что L постоянно при отсутствии управле­ ния и медленно меняется в управляемом движении (см (5.3.131).

пз первых интегралов певозмущенного движения (5.2.1), а именно квадрата модуля кинетического момента L2 нлн кинетической энергии Е.

В случае ограничения (5.1.7) управлепис, минимизи­ рующее правую часть уравнения (5.2.3) для А2, имеет вид

Подставляя управление (5.4.1) в уравнение (5.2.3) для X2, получим оценку для скорости убывания L2

где &о — наименьшее из Ьи &2, 63. Из уравнения (5.4.2) следует, что А <А ° — zbot. Следовательно, закон управле­ ния (5.4.1) при любом е > 0 обеспечивает полную оста­ новку вращения за время

Аналогично, управление, максимизирующее скорость убывания энергии Е, для ограничения (5.1.7) имеет вид

Проводя оценки, подобные (5.4.2), (5.4.3), получим

Р = min {\Z~2 bJ i1/2),

ТЕ = 2е~1 $-1 у ГЕ°.

В случае ограничения (5.1.20) локально оптимальные закопы в смысле L2 и Е совпадают и имеют вид

откуда следует, что опи интегрируются в квадратурах. Правая часть уравнений (5.4.8), (5.4.9) для к2 (пли, что то же самое, правая часть уравнения (5.4.10)) обращается в пуль при некоторых значениях к2, отвечающих стацио­ нарным точкам. Для системы (5.4.8) стационарные точки

мент | изменяется от 0 д о » па интервале движения, на котором L убывает от Ь° до 0. Возвращаясь от £ к аргу­ менту т, нужно учесть, что L изменяется линейно но т. Поэтому обычной экспоненциальной устойчивости по £

вида к2 — к] ~ ехр (— у£),где у = const > 0, соответствует степенная зависимость

k2 -lcl~ (L / L °y ~ (Q -T )y, у > 0, 0 = еТ.

Здесь Т — момент остановки. Таким образом, в момент остановки величина к2 достигает одной из устойчивых стационарных точек.

На рис. 5.5, 5.6 представлены диаграммы (см. [183]), показывающие для систем (5.4.8), (5.4.9) соответственно число стационарных точек, их положение и характер ус­ тойчивости (направление изменения к2 указано стрелка­ ми). Левая часть диаграмм отвечает области L2 > 2Е12, правая часть — области L2 < 2Е1% Точки к2 = 0 всегда являются стационарными и для системы (5.4.9)— устой­ чивыми. Левая точка к2 = 0 на рис. 5.5, 5.6 отвечает вра­ щению вокруг оси наибольшего момента инерции /з, пра­ вая — вокруг осп наименьшего момента инерции 1\. Точ­ ка 7с2 = 1, где L2 = 2Eh, также является стационарной, по здесь, вообще говоря, пе изменяется знак функции g(k2) в (5.4.10); эта точка отвечает движению по сепарат­ рисе в случае Эйлер — Пуансо, где точность метода ус­ реднения снижается. Кроме этого, в случае (5.4.8) имеет­ ся еще не более одной, а в случае (5.4.9) — одна или три