книги / Управление колебаниями

Г Л А В А 3

МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

В главе 3 развивается асимптотическая методика ре­ шения задач оптимального управления существенно не­ линейными колебаниями и вращениями в случае малых управляющих воздействий. Однако вследствие существен­ ной нелинейности, т. е. зависимости частоты от медлен­ ного вектора, система уравнений соответствующей крае­ вой задачи пе имеет стандартного вида. Прп некоторых дополнительных предположениях эту трудность удается преодолеть, привести уравнения к стандартной форме и развпть алгоритм прпблпжеппого построения оптималь­ ного управлеппя. В §§ 1, 2 рассмотрены задачи с закреп­ ленным временем, в § 3 — задачи типа оптимального быстродействия. Развитые приемы позволяют, в частно­ сти, решить ряд задач оптимального управления колеба­ ниями и вращениями маятниковых систем (§ 4). В § 5 проводится исследование некоторых задач оптимальпого управления элементами плоской орбиты прп помощи дви­ гателей малой тяги. Основы излагаемой в данной главе методики были дапы в работе [24] и затем развиты в статьях [13, 15, 230].

§ 1. Метод усреднения для управляемых нелинейных систем с вращающейся фазой

1. Приведение уравнений управляемых нелинейных колебаний к стандартному виду. Рассмотрим управляе­ мую систему довольно общего вида, содержащую медлен­ ную х и быструю у векторные перемеппые, аналогич­ ную (2.1.1)

Здесь все введенные величины имеют тот же смысл, что и соответствующие им в системе (2.1.1). В отличие от § 1 главы 2 медленное время т включено в состав век­ тора х. Предположим, что система (3.1.1) при е = 0 име­ ет общее решение в виде одночастотиых вращательноколебательных движении (2.1.3). Однако в отличие от

менных. Преобразованиями, аналогичными (2.1.3)— (2.1.5), система (3.1.1) приводится к стандартному виду управляемых систем с вращающейся фазой (2.1.6) с ча­ стотой ©(а). Эта система имеет вид

/, ©, ^ — достаточно гладкие функции своих аргументов, 2л-периодические по ф. На управляющие функции нало­ жено ограничение в(£) е U, где U — фиксированное замк­ нутое множество. Систему (3.1.2) рассматриваем на ин­ тервале времени £<=[£0| Г], где Т = 0 = const> 0 . Заметим, что функции /, F в (3.1.2) могут быть гладкими функциями параметра е. Излагаемая ниже методика пол­ ностью применима и в этом случае, но в целях сокраще­ ния записи зависимость f, F от б не указывается.

Рассмотрим ряд примеров управляемых механических систем вида (3.1.1), приводящихся к одночастотной си­

м а. Рассмотрим слабо управляемую систему с одной сте­ пенью свободы и медленно изменяющимися параметрамп

Здесь у и у = dy/dt — одномерные координата и ско­ рость, х — управляемый вектор медленно изменяющихся

параметров системы, и — вектор управляющих функций. Предположим, что при е = 0, х = const невозмущенное уравнение для у допускает двухпараметрическое семей­ ство решений, описывающих вращения

функция ф, я — амплитуда или энергия колебаний. В слу­ чае вращений функции Q, q и X в (3.1.3) должны быть 2я-периодичны относительно у. Решения (3.1.4), (3.1.5) содержат две произвольные постоянные а и i|)o.

Преобразуем систему (3.1.3) к виду (3.1.2). Будем

считать равенства у = у0 и у = уо, где у0 и у0 как функ­ ции я, ф, х определены в (3.1.4), (3.1.5), формулами за­

мены переменных у, у, х на а, ф, х. Дифференцируя эти равенства по i в силу возмущенной системы (3.1.3), получим уравнения

Через д/дх обозначен оператор градиента по перемен­ ным х. Разрешим первые два уравпенпя полученной си­

стемы относительно я и ф, воспользовавшись тождест­ вами

управляемую систему с вращающейся фазой вида (3.1.2)

Х = Х(х, уо, й)ду</0ф, и).

Начальные условия для переменных а и ф в (3.1.6) определяются через начальные данные (3.1.3) при помо­ щи соотношений

У°= Уо(а°, ф°, я0), i/° = ш(а°, я°)(д/5ф)у0(а°, ф°, я0).

Таким образом, стандартная управляемая система с вращающейся фазой вида (3.1.2) полностью построена.

Отметим, что к системе вида (3.1.3) приводит исследо­ вание ряда механических систем, певозмущенпая функ­ ция Лагранжа L для которых равна

Ь = л/2т(х, у)у2 —Шя, у).

Здесь т^ то > 0 — инерционная характеристика си­

стемы, у — обобщенная координата, у — обобщенная ско­ рость, я — векторный параметр; первое слагаемое пред­ ставляет собой кинетическую энергию, П — потенциаль­ ная энергия. В этом случае фупкцпя Q пз (3.1.3) имеет вид

§ И ЗАДАЧИ С ФИКСИРОВАННЫМ ВРЕМЕНЕМ 125

Б. С ис т ем а, б л и з к а я к к о н с е р в а т и в н о й . Рассмотрим теперь колебательную систему, близкую к консервативной

y + Q(x, у) = ед(я, у, у, и), х — еХ{х , у, у, и). (3.1.7)

В этом случае стандартную систему (3.1.6) можно по­ лучить на основе известных интегралов невозмущенпой системы L64]

■ Y у2 -|- П (х, у) = а, у = ± ]^ 2 [а — П(ж, у)]1/3»

я[) = со (я, х) Г- — —-----== Чг (х, а, у),

Jу («, У» х)

П(ж, у) = J Q(х, у) dy,

Здесь интеграл для периода То(а, х) в случае колеба­ тельных движений берется по замкнутой траектории в

плоскости у, у, а для вращательных движений — по про­ извольному отрезку траектории, для которого прираще­ ние координаты у составляет 2я. Потенциал П(х, у) в (3.1.8) в случае вращений должна быть 2я-периоднческой функцией у, для чего необходимо, чтобы средпее по у за период 2хс от функции Q(x, у) было равно нулю.

Для а, х п ■фнаходим уравнения

а = eiqy + (дП/дх, X)], х —еХ,

(3.1.9)

t|j = 0)(Я, X) +

+eiqy дЧ?/да+(Ш /дх + уШ/даШ/дх], X)}.

Вэтих уравнениях правые части определены явно че­ рез медленные перемеппые а, х и быструю переменную у при помощи соотношений (3.1.8). Чтобы получить пра­

вые части системы (3.1.9) в впде функции от я, ж, t|), пуж-

по выразить у, у через эти переменные при помощи ({юрмул замены (3.1.8). При этом правые части системы (3.1.9) будут 2я-перподпческими функциями ф.

мера рассмотрим систему, изображенную на рис. 2.1 и представляющую собой маятник переменной длины. Точ­ ка подвеса маятника перемещается по наклонной прямой, лежащей в вертикальной плоскости и составляющей по­ стоянный угол б с горизонтом. Уравнение движения си­ стемы имеет вид (2.1.20). Предпололшм, что безразмерное ускорение точки подвеса W и скорость изменения без­ размерной длины о маятника в (2.1.20) являются милыми

функции порядка единицы, £*— безразмерное время (ар­

Q — — o~lu cos (ф — б) — 2о“ 1мф/.

Невозмущенные колебательные и вращательные дви­ жения полученной системы при е = 0 выражаются из­ вестным образом через эллиптические функции.

Пусть угол ф в системе (2.1.20), (3.1.10) мал, так что возможна линеаризация по углу ф, sin ф « ф. В случае, когда безразмерная длина а — заданная функция медлен­ ного времени т = е/*, имеем квазилинейную управляемую систему, рассмотренную в п. 1 § 4 главы 2. Если же о — фазовая переменная, подчиняющаяся уравнению (3.1.10), где v — управление, то даже при малых ф система (2.1.20), (3.1.10) остается существенно нелинейной систе­ мой (3.1.7), в которой (? = а-1ф. В этом случае частота со будет зависеть от фазовой переменной о.

Отметим вообще, что если параметры линейной коле­ бательной системы (осциллятора) управляемы, то соот­ ветствующая система оказывается существенно нелиней­ ной. Примером может служить маятник (плоский или сферический) с управляемой д л и но й подвеса, который даже в случае малых колебаний приводит, как следует из рассмотренного выше примера, к существенно нели­ нейной системе.

в предположении, что начальная угловая скорость враще­

ний у0 пелпка. Так как потенциальная энергия П (см. (3.1.8)) является для вращательпой системы ограниченной периодической функцией у, то кинетическая энергия невозмущенной системы (3.1.11) значительно превосходит потенциальную. Движение в этом случав близко к рав­ номерному вращению [148, 7, 8]. Укажем, при каких ус­ ловиях имеет место соответствующая асимптотика. Вводя

новый аргумент 0 = уЧ, получим из (3.1.11)

Здесь dy/dQ— величина порядка единицы, а у0— боль­

шая величина; примем, что у0 ~ в-1, члеп Q(y°)~2 имеет

тогда порядок в-2, а порядок по в членов у(у0)-2, X(y°)_I

вполученной системе определяется зависимостью функ­ ций q, X от у и может быть различным. Например, если

в(3.1.11) функции qy~l и X ограничены при у-»-°°, то главные по в члены в полученной системе будут поряд­ ка в, и система примет вид системы (3.1.3) или (3.1.7)

линейную колебательную систему с одной степенью сво­ боды, положение равновесия которой у = s может мед­ ленно изменяться в соответствии с некоторым законом

Здесь у — абсолютное положение массы т вдоль осп yt s — регулпруемое по скорости перемещения положение точкп равновесия, — Fiy —.?) — нелинейная возвращаю­ щая сила, действующая па массу т при возникновении относительного рассогласования у — s, причем Т'ЧО) = 0. Система (3.1.13) является частпым случаем системы (3.1.7) и приводима к стандартной форме (3.1.9). Ряд за­ дач оптимального управления для системы (3.1.13) решен в главе 4.

Е. У п р а в л я е м ы е д в и ж е н и я в н ь ю т о н о в ­ ско м с и л о во м поле. Важным примером существенно пелппейного колебательного движения, приводящего к ис­ следованию системы стандартного вида (3.1.2), является управляемое движеппе точки в центральном гравитацион­ ном поле под действием малой тяги [73, 88, 130, 159]. Управляемое движение с малой тягой может быть иссле­ довано при помощи методики данной главы как в плос­ ком, так и в пространственном случаях. Решенпе некоторых задач оптимального управления элементами плоской орбиты в центральном поле при наличип малой тяги содержится в § 5 главы 3.

Ж. У п р а в л е н и е в р а щ е н и я м и т в е р д о г о те­ ла о т н о с и т е л ь н о ц е н т р а масс . Ряд задач, пред­ ставляющих значительный прикладной интерес, приводит к исследованию управляемых движений твердого тела от­ носительно центра масс (проблемы стабилизации, ориен­ тации и т. д.). Уравнения движения свободного тела под действием малых управляющих моментов приводятся к стандартному виду (3.1.2). Поэтому развиваемая далее в главе 3 методика усреднения дает возможность исследо­ вать ряд важных задач управления движением твердого тела относительно центра масс. Некоторые задачи управ­ ления вращениями твердого тела, допускающие квазили­ нейную трактовку, были решены в § 5 главы 1 и в § 4 главы 2. Далее в главе 5 при помощи асимптотических методов будут исследованы существенно нелинейные за­ дачи оптимального управления для динамически-симмет- ричного и трехосного твердого тела.

2 . Постановка задачи оптимального управления с за­ крепленным временем и принцип максимума. Переходим к постановке задачи оптимального управления системой (3.1.2) на фиксированном асимптотически большом про­ межутке времени t ■t <= [f0, Т], Т = 0е-1, 0 = const > 0. Пусть требуется перевести медлепный вектор а из на­ чального состояния а0 в конечное, определяемое соотно­ шениями типа (2 .2 .1 )

МЫ(Т)) = 0 , М =Ш и .... Ш , 0 « £ Z < n - l , (3.1.14)

таким образом, чтобы достигал минимума функционал

Функции M u g предполагаются достаточно гладкими и такими, что при всех значениях е е (0 , ео! решение за­ дачи оптимального управления (3.1.2), (3.1.14), (3.1.15) существует и единственно, причем особые управления от­ сутствуют. К приведенной постановке при помощи обыч­ ного приема введения дополнительной медленной пере­ менной сводится и задача с интегральным функционалом (2.2.2) . Отметим, что в отличие от постановки (2.2.1), (2.2.2) функции М и g считаются не зависящими от я|).

Для исследования поставленной задачи оптимального управления в предположении существования ее решения воспользуемся необходимыми условиями принципа мак­

Предположим, что из принципа максимума для уп­ равления u.*(f)

# (Р (9 ,0 (9 , « (9 , !>(*). “ *(*). е) =

= т а х # (р (£), q(t), a(t), i])(i), и, е) (3.1.17) «еп

оптимальное управление определяется однозначно в виде достаточно гладкой функции своих аргументов, 2 я-лерио- днческой по 1р

но, удовлетворяют системе дифференциальных уравнений 0 Ф. л. Чсрпоусько, Л. Д. Акуленко, Б. Н, Соколов

(3.1.14), (3.1.19), в которые подставлено и —и* из (3.1.18), образует двухточечную задачу принципа максимума. Среди ее решений находится искомое (по предположению, единственное) решение задачи оптимального управления. Если решение краевой 'задачи единственно, то оно и яв­ ляется оптимальным. Если же краевая задача имеет бо­ лее одного решения, то должно быть выбрано оптималь­ ное, дающее минимум функционалу (3.1.15). Как будет показано ниже, полученная двухточечная задача допус­ кает, как правило, много решений, число которых имеет порядок е- 1 (см. § 3 главы 2 ).

Важно отметить, что система уравнений (3.1.2), (3.1.19), (3.1.18), в отличие от соответствующей квазили­ нейной системы (2.2.9) или (2.3.3), не имеет стандартно­ го вида системы (3.1.2) с одной вращающейся фазой. Век­ тор р в (3.1.19) формально не является медленным: его производная не обращается тождественно в нуль при е = = 0, так как о ' Ф 0. Указанные два обстоятельства — не­ единственность решения краевой задачи и отличие систе­ мы от стандартного вида — существенно усложняют ис­ следование краевой задачи и построение асимптотическо­ го решения задачи оптимального управления.

Отметим, что применению методов усреднения в за­ дачах оптимального управления был посвящен ряд работ, выполненных в 60 — 70-е годы. На возможность исполь­ зования этих методов для приближенного построения уп­ равлений в колебательных системах обращалось внима­ ние в книгах [148, 1501. Исследовались системы с медлен­ но меняющимся управлением [148]. Рассматривались не­ которые классы линейпых управляемых систем с малым параметром [262]. В работе [130] методами усреднения