книги / Математические методы и планирование эксперимента в грунтоведении и инженерной геологии

Вероятность осуществления сложного события, включающего два я более независимых событий, равна произведению вероятно­ стей этих событий

независимыми событиями, то рассмотрим также случаи, когда од­ но событие зависит от других.

Введем понятие условной вероятности для случаев, когда одно событие зависит от осуществления другого (иди одного из нескольких и наоборот). Предположим, событие А зависит от со­ бытия Ь . Тогда вероятность события К , вычисленная с учетом осуществления события^ , называется условной вероятностью со­ бытия А и обеспечивается Р (А /в).

Теорема умножения вероятностей для случая, когда имеют место зависимые события, формулируется следующим образом:

Вероятностью осуществления сложного события, состоящего из двух простых зависимых событий, равна произведению вероят­ ностей одного события на условную вероятность другого

В.

Решение: число благоприятных исходов в рублях для гражданина

Глава 3 . СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ЗАКОНЫ ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

3*1* Исходные определения случайных величин

Случайной величиной называется переменная! которая может принимать те или иные эначевия в зависимости от условий опыта или различных обстоятельств* Случайные величины обозначают заглавными буквами латинского алфавита Х»У , Z и т .д . Приме­ ре?! случайных величии являются: прочность при сжатии образцов

дисперсного грунта при выполнении гранулометрического анализа

и

Случайные величины подразделяют на два типа:

-прерывные или дискретные,

-непрерывные.

Прерывной (или дискретноИ) называется случайная величина, множество значений которой конечно или счетно* Это означает, что принимаемые значения прерывной случайной величиной имеют отдельный, изолированный друг от друга характер. Например, шело пассажиров в городском автобусе; число гравелистых ча­ стиц в заданном объеме песчаного грунта; число крупных агре­ гатов или пусков горпой породы получаемых при разрушении об­ разца и т .д .

Непрерывной называется случайная величина, принимающая все значения из пекоторого интервала. Например, значение вла­

Если при этом приведенное Yt значение случайной величины ис­ черпывает всю генеральную совокупность и представляет полную

группу событий, то

Изобразим для лучшей наглядности ряд распределения слу­ чайной величины графически: по оси абсцисс отложим возможные значения случайной величины, а по оси ординат - соответству­ ющие им вероятности, соединив которые прямыми отрезками, по­

функция распределения п плотность вероятности Случайной величины

Непрерывные случайные величины пе могут характеризовать- * оя рассмотренными простейшей формами закона распределения

чпду указанного равна нулю. Поэтому непрерывную случайся» зе -

чччпну характеризуют не вероятностями отдельных ее значений, •сак„ например, дискретную, а вероятностями того, что случайная величина (ос) принимает значения ко некоторого определенного интервала «Ь-Ji , т .е . Л, < х < Jb*

Предположим, интервал возможных значений случайной вели­ чины - СР+-ХА, тогда - о9<.х<зе«.в Примем вероятность того, что случайная величина принимает значения меньшие ос<х(м.е.х< ха.\ * Тогда эта вероятность Р (хосц) является функцией от ж .

Обозначим указанную функцию F (х) и покажем, что

чайной величины X •

Функция распределения F (*.) является универсальной и ис­ черпывающей характеристикой любой случайной величины как пре­ рывной, так и непрерывной. Исчерпывающей функция F (х) явля­ ется потому, что определяет полностью все числовые значения случайной величины в заданных пределах.

Свойства функции распределения

I . Предположим,х - случайная величина, а областью веро­ ятных ее значений является положительная числовая ось от 0 до бесконечности; Х,.и Xg, - две произвольные точки на указанной

ски монно изобразить для любой случайной величины. Например, для дискретной случайной величины.

где суммирование распространяется на.все значения осе, меныпие оСц. В промежутке между двумя последовательными значениями ди­ скретной случайной величины х функция Р (х) постоянна. При переходе не аргумента ос через, возможные значения случайной величины х функция £ (х) возрастает на некоторую величину Pgip(x=xi) «. Таким образом, функция распределения дискретной случайной величины является ступенчатой (рис. 3 ).

В случае непрерывной случайной величины функция предста­ вляет плавную кривую, так как ее значения изменяются непрерыв­ но в пределах от 0 до I (рис. 4 ).

Функцию F* (эе) иногда называют интегральной пли интеграль­ ным законом распределения случайной величины.

называют плотностью вероятности непрерывной случайной величи­

вооения вероятности попадания величины в интервал (х , х + а х ) к а х , когда д х * о .

Функция Ч* (X) называется иногда дифференциальной функци­ ей распределения или дифференциальным законом распределения

вычислим вероятность того, что случайная величина удовлетворя­

в а л о в , геометрически может быть отражена площадью трапеции, заключенной между кривой распределения, отрезком оси абоцисм £-/> , прямыми х - & и э с = ( р и с . 5) .

О

Следует отметить, что плотность вероятности, будучи про­ изводной, функции распределения, является величиной положительгной: ^ (х )> 0 о Принимая область существования случайной величи-

ж) , функция F (*) выражается через плотность веро­ ятности интегралом с пределами-о*

Если рассматривать область рущеотвования X " в пределах-00? х :

F(X) = jV cx) c tx - 1. -со

2 .4 . Числовые характеристики случайной величины

8аконы распределения случайной величины характеризуют ее с вероятностной Точки врения полностью в заданной области су­ ществования. Но не всегда закон распределения для рассматри­

ваемой случайной величины известен. В ряде же случаев прикла­ дных исследований нет необходимости в полной описании случай­ ной величины, а требуется лишь знание отдельных ее числовых значений, определяющих наиболее существенные количественные

чайной величины является ее среднее значение или математичес­ кое ожидание.

Таким образом, М ОС) представляет собой сумму произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности,

Упрощенно можно сформулировать связь математического ожидания со среднестатистическим значением случайной величины следующим образом: математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной вели»

jV (x )o tK

то математическое ожидание непрерывной случайной величины рав­