книги / Математические методы и планирование эксперимента в грунтоведении и инженерной геологии

3s * ( K - l ) S j S z

где JO - общее количество результатов опыта, а

„.

Сводный и частный коэффициент корреляции. Мерой зависи­ мости между величинами 3 и х , ^ служит сводный коэффициент корреляции

г ,* А '= . g x * - Z « y Z 4 g__________ _

Аналогично вычисляются частные коэффициенты корреляции

* Ц г/Х ►

пористость, пластичность, водопроницаемость, коэффициенты тре­

установить зависимость между факторами и одним выходным пара­ метром, наиболее важным и полно отражающим качество материала или процесса, по которому и производится оптимизация получен­ ной модели. Такой параметр называется параметром оптимизации.

Каждый фактор может принимать в опыте одно из нескольких значений, называемых уровнями, фиксированный набор уровней всех изучаемых факторов в пределах одного опыта представляет условия проведения этого опыта (точка % \ рио» 19, а , б) . Про­ странство, ограниченное фиксированным набором уровней всех опытов плана эксперимента, называется факторным пространством (рис. 19, а ) . Оно задается координатными ооями, на которых от­ кладываются кодированные значения факторов. Для двух факторов факторное пространство ограничивается плоскостью, для трех и выше - более сложными многомерными геометрическими фигурами.

Каждому набору уровней изучаемых факторов в пределах од­ ного опыта соответствует свое определенное значение параметра

оптимизации» Связь между уровнями всех изучаемых факторов и соответствующими им значениями параметра оптимизации характе­

Функция { , связывающая параметр оптимизации с факторами, на­ зывается функцией отклика, а ее геометрический образ - поверх­ ностью отклика.(рис. 19, б ).

Зависимость параметра оптимизации от факторов в общем случае может описываться различными, моделями (полиномиальные, неполиномиальные, модели дисперсионного анализа и д р .). При выборе модели необходимо учитывать ее содержательность, про­ стоту и адекватность. Адекватность модели характеризует ее способность предсказывать результаты эксперимента в исследуе­ мой области варьирования факторов о требуемой точностью. На­ иболее простой является модель в виде однородного линейного уравнения

для которой поверхностью отклика служит пдоокость. Ее исполь­

торого поверхность отклика нелинейна и поэтому может быть опи­ сана полиномами более высоких порядков. Наибольшее распрост­ ранение при экстремальном планировании нашли модели в виде алгебраического полинома второй степени

сания криволинейной поверхности отклика полиномами второй степени - центральные некомпозиционные планы на шестиугольни­ ке, центральные композиционные планы на кубе типа 63 «Ьц »&5 »

соотношений компонентов, используют симплексные или симплексреиетчатые планы.

1 .2 . Последовательность планирования и обработки результатов эксперимента

Общая последовательность планирования эксперимента пока­

чениями фактора. Истинная физическая величина фактора вазыва-. ется его натуральным значением. Переходы от натуральных зна­ чений факторов к кодированным и обратно осуществляются по формулам.

max

X, Ч г Г - г \) /^ (zТ -гТ )!г-

зации исследователь выбирает форму модели и соответствующий

План эксперимента записывается в виде таблицы - матрицы планирования. В табл. 2 приведена в качестве примера матрица планирования двухфакторного эксперимента с минимальным числом опытов, необходимых для построения модели первого порядка.

Факторное пространство этого плана представляет собой квадрат (рис. 21).

Цифрами I , 2 , 8, 4 на рис. 21 показана номера опытов,

Т а б л и ц а 2

Л

каждому из которых соответствует свой фиксированный набор уро­ вней факторов (в соответствии с матрицей планирования). Напри­

обозначает, что оба фактора - на нижних уровнях. Кодовые обо­

Чтобы уменьшить влияние систематических ошибок, вызван­ ных внешними неконтролируемыми переменными, опыты рандомизи­ руют, т .е . выполняют их в случайной последовательности.

При проведении эксперимента исследователю необходимо для каждого опыта при фиксированных, уровнях факторов (в соответст­ вии с планом) получить среднее значение параметра оптимизации с требуемой надежностью. При этом можно воспользоваться мето­ дом [ 8] , основанном на предварительном (из рекогносцировочной серии измерений параметра оптимизации в одном из .опытов пла­ на) определении меры изменчивости (\г) как отношения, установ­ ленного в опыте среднеквадратического отклонения (<э) к стати­ стическому среднему, т . е . :

V = ( ^ /

(62)

По полученному значению меры изменчивости и требуемой доверительной вероятности (£) по табл. XI Приложения £8] , ус­ танавливается необходимое число измерений параметра оптими­ зации в данном опыте.

Очень важно исключить из полученных данных грубые ошибки. Для оценки сомнительных максимальных или минимальных резуль­ татов можно воспользоваться Z -критерием [ I ] :

химизации в каждом опыте с требуемой надежностью, необходимо проверить однородность дисперсий всего плана. Проверка одно­ родности дисперсий проводится с помощью критерия Кохрена (К ). При этом дисперсия в каждой горизонтальной строке матрицы подсчитывается по лппшглр.

K - i

Затем из всех дисперсий находится наибольшая, которая делится на сумму всех дисперсий плана

Дисперсии однородны, если расчетное значение критерия Кохрена

лее точные методы и средства измерений или уменьшить интерва­ лы варьирования фактора (факторов) и повторить эксперимент. Критерий Кохрена пригоден для случаев, когда во всех опытах плана имеется одинаковое количество измерений параметра опти­ мизации. Это условие необходимо учитывать при определении средних значений параметра оптимизации с требуемой надежностью.

Для оценки значимости коэффициентов модели и проверки ее