книги / Математические методы и планирование эксперимента в грунтоведении и инженерной геологии

Как будет показано далее, установленная связь между рас­ пределением х ( с с , £ ) и X ( o , i ) позволяет рассчитывать веро­ ятность любого нормального распределения по соответствующим таблицам.

2 .9 . Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на заданный участок. Функция Лапласа

Вероятность того, что случайная величинах, заданная функциейф (ас), примет значение в и н т е р в а л е , равна

«С

Предположим, что случайная величина X распределена нормально Jf ( а , ^ ) , тогда указанное равенство можно записать:

РСрс- ск)^

4>

Для вычисления подынтегрального выражения вводят новую

“U 1

(45)

для вычисления которой имеются соответствующие таблицы.

Тогда вероятность попадания распределенной нормально слу­

Учитывая свойства нечетности функции Лапласа и рассыатри-

вая интервал (irfo ) как симметричный относительно центра рас­ пределения " а " , можно указать:

практически достоверным. Следовательно, нормально распределен­

2.10 Распределение ^ .(хи-квадрат) Пирсона

Распределением 9 ^ а К-степеняии свободы называется рас­ пределение суммы квадратов К -независимых случайных величин, каждая из которых распределена нормально и характеризуется ма­

2 . I I . Распределение Стьюдента

Распределением Стьюдента называется распределение отно­ шения нормально распределенной случайной величины Х Я ( оД )

пределения Т приведен на рис, 12 приК-5 , При увеличении па­ раметра К распределение Т стре-' ыится к нормальному с плотностью

V w

2 ,1 2 , Логарифмически нормальное распределение

График логарифмически нормального распределения приведен на рис, 13. Закон логарифмичеоки нормального распределения имеет большое значение для решения инженерно-геологических за­ дач, Например, для исследования распределения размеров частиц

Глава 3. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

3 .1 . Формы представления экспериментальных данных

Результаты полевых и лабораторных инженерно-геологических исследований обычно представляются в виде ряда чисел, записан­ ных в таблицу в порядке их получения. В табл. I Приложения приводятся в качестве примера результаты полевого определения влажности ста образцов грунта.

Такая запись полученных экспериментальных данных неудоб­ на для дальнейшей обработки и не дает представления о характе­ ре их распределения. Поэтому результаты исследований предста­ вляют в таблице в порядке их возрастания или убывания. Для больших выборок данные группируют по интервалам.

Составлением таблицы заканчивается I этап статистической обработки экспериментального материала.

Представление первично обработанного материала в виде графиков дает возможность приближенно оценить характер распре­ деления экспериментальных данных для дальнейшего вычисления их числовых характеристик.

Наибольшее распространение при обработке результатов ин­ женерно-геологических исследований получили графики рассеяния. При построении этих графиков по горизонтальной оси откладывают значения интервалов, а по вертикали в серединах интервалов (в виде точек) отмечают количество данных (VtO * попадающих в тот или иной интервал. График рассеяния изображен на рис. 14. Бо­ лее наглядным графиком для дискретного характера эксперимен­ тальных величин является столбиковая диаграмма - гистограмма. Для построения этого графика в пределах каждого интервала строится прямоугольник, высота которого принимается равной ча-? стоте Y lt. Гистограмма для рассматриваемого нами примера приво­ дится на рио. 14, а . При непрерывном изменении эксперименталь­ ных величин -предпочтительнее построение многоугольника рас­ пределения (рио, 14, в ) . В этом случае частоты откладываются против середин интервалов, а. полученные точки соединяются ло­ маными линиями. Нулевые .значения частот принимают в серединах интервалов, слева и справа примыкающих к крайним. Для нашего примера - это влажности 15,3 и 17 ,7 J6.

Наряду с этими графиками иногда отроится кумулятивная кривая (рио. 14, г ) , для построения которой частоты каждый раз суммируются с предыдущими. Води уменьшать размер интерва­ лов и одновременно увеличивать количество определений, то гиотограмыа. или многоугольник распределения станут прнблигт жаться к плавной кривой. Такая кривая норит название кривой распределения. Таким образом» можно условно заменить дискрет­ ное распределение экспериментальных данных - непрерывным, ста­ тистический анализ которого значительно проще.

3*2, Числовые характеристики распределения экспериментальных величин

Основной целью экспериментирования является получение то­ го или иного заключения о генеральной совокупности по выборке, составленной из экспериментальных'данных» Для сопоставления выборки с генеральной совокупностью необходимо характеризовать то и другое распределение одинаковыми по смыслу параметрами. Поэтому для экспериментальных статистических выборок существу­ ют числовые характеристики, аналогичные теоретическим харак­ теристикам распределения случайных величин в теории вероятно­ стей, но имеющие свои специфические особенности.

Показатели среднего значения экспериментальных величин

Среднему значению величин в генеральной совокупности (ма­ тематическому оадцаншо). соответствует среднее по выборкё, ко­

Подсчитаем среднее значение влажности по данным, приве­ денным в табл. I Приложения.

й_ jEbctftl#

Г~ " = Ш ’ - 1б>5 '•*

Среднее значение носледуеыой величины может характеризо­ ваться медианой и модой.

Показатели рассеяния. Центральные моменты

Второй числовой характеристикой является мера рассеяния экспериментальных величин относительно их среднего значения0 Очевидно, что при одном и том хе значении среднего раз­ брос экспериментальных данных мохет быть различным. Чем боль­

ше размах колебаний ряда данных, тем менее точно произведены опыты. В качестве показателя рассеяния наиболее часто исполь­ зуют среднее квадратическое отклонение 0 * При небольшом числе определений )f<30.

где х - среднее значение; ас*. - значение экспериментальной ве­ личины; if - число определений.

П р и в о зе производится разбивка ряда на интервалы. Если число интервалов равно т п , то вычисление среднего квадратиче­ ского отклонения производится по формуле

где ftt - частота, т .е , чиоло определений величины в i -м интер­ вале; ос*, - среднее значение величины в 1-м интервале (середи­ на интервала). Вычиоление характеристик произведем по,методу целочисленных аначений и сведем в табл. I , Порядок вычислений следующий.