книги / Математические методы и планирование эксперимента в грунтоведении и инженерной геологии

Свойства математического ожидания

I . Математическое ожидание постоянной величины есть сама эта величина Мс<0= С , так как постоянную величину С можно рассматривать как дискретную случайную величину, принимающую лишь одно значение с вероятностью, равной единице. Поэтому

2„ Постоянный множитель можно выносить за знак математи­ ческого ожидания как в случае дискретной, так и .непрерывной

8. Математическое ожидание суммы нескольких случайных ве­ личин равно сумме их математических ожиданий:

(20)

4 . Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожида-

примем без доказательств как вполне очевидные.

Как указывалось выше, математическое ожидание характери­ зует среднее значение случайной величины. Однако знание толь­ ко одного среднего значения недостаточно для того чтобы су­ дить о характере расположения возможных значений случайной ве­ личины относительно ее среднего значения. Например, пусть слу­

охарактеризовать отклонение случайной величины от ее среднего значения, т .е . оценить разброс значений случайной величины, вводят другую ее числовую характеристику - дисперсию или рас­ сеяние.

= М(Х) - М(Х) - 0.

Следовательно, среднее значение отклонения случайной ве­ личины X от М(X) равно нулю, так как отклонение случайной величины в ту и другую сторону от своего ореднего значения (или центра распределения) компенсируются или взаимно погаша­ ются. Поэтому для численной оценки расоеяния или разброса слу­ чайной величины используют не сами отклонения от среднего, а модули этих отклонений (в виде абсолютных значений отклонений) или их квадраты. Такими характеристиками являются:

а) среднее абсолютное отклонение или среднее линейное отклонение

б) среднее квадратичное отклонение

Среднее линейное отклонение (<JL) в практических и теоретиче­ ских исследованиях применяются сравнительно редко* Наиболее широко используемой характеристикой является среднее квадрати­ ческое отклонение, которое вычисляют по формулам соответственно для случайных величин:

а) дискретных

Как следует из приведенных формул, среднеквадратичное отклоне­ ние имеет размерность исследуемой случайной >зличинн. Средне­ квадратичное отклонение иногда называют стандартом. Рассеяние или разброс случайной величины около ее математического ожи­ дания характеризуется дисперсией Фх)> ровной квадрату сред­ него квадратичного отклонения:

дисперсия представляет собой математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от центра ее распределения. Чем меньше дисперсия, тем лучше характеризует математическое ожи­ дание зпачения случайной величины.

Дисперсия вычисляется по формулам соответственно для слу­

величины постоянные, и,выполнив пр<4стейшие преобразования, по­

2 .5 . Моменты распределения

Характер распределения случайных величин может быть вы­ явлен с помощью способа моментов, разработанного П.Л.Чебыше­ вы»!. Моментом К -го порядка называется средняя из Кх степеней отклонений величины эс от некоторой постоянной

(33)

Мк = ( х - А ) к .

при этом следует указать, что центральный момент третьего порядка является мерой асимметрии распределения случайной вели­ чины X и, если оно симметрично, то О',

____;и х C * -X )4’№.

Между начальными и центральными моментами можно вывести следующие соотношения:

J W * = V ^

/ Ч s ^3 - Hr 2,'Slj. }

Рассмотренные начальные и центральные моменты первых че­ тырех порядков, вычисленные для распределения некоторой слу­ чайной величины X » описывают те или иные свойства ее распре­ деления и представляют собой более общие, понятия, чем такие числовые характеристики случайной величины, как средняя ариф­ метическая и дисперсия, являющиеся характеристиками положения случайной величины,

2 .6 . Биномиальное распределение

Биномиальным называется распределение числа т . появления события А при п независимых испытаний, когда вероятность по­ явления события оотается постоянной и равной р , а вероятность противоположного события С[=4г р ,

Закон биномиального распределения выражается формулой Бернулли, представляющей собой общий член разложения в ряд би­ нома Ньютона:

ности. Например, вероятность числа попаданий в отобранную вы­

ния этого признака в каждом испытании. Биномиальное распреде­ ление представляет собой распределение дискретной величины, так как случайная величина т . может принимать только целые

2 .7 . Распределение Пуассона

Распределение Пуассона является частный случаем биноми­ ального распределения, когда вероятность появления события при большой числе испытаний очень-мала, например*, Р(А) ^ 0, 01. Поэтому распределение Пуассона носит название закона распре­ деления редких событий, который выражается формулой:

2 .8 . Нормальный закон распределения вероятностей

Биномиальный закон применяется для выражения распределе­ ний прерывных случайных величия. Определение вероятностей с использованием указанного 'закона представляет собой значитель­

Особая роль этого закона состоит в- том, что он является наибо­ лее общим или предельным законом распределения 'вероятностей непрерывной случайной величины. При безграничном увеличении

Например, показатели свойств горных пород зависят от множест­ ва факторов. Каждый из них влияет на исследуемую случайную ве­ личину сравнительно мало или это влияние сказывается недоста­ точно явно. В этом случае большее 'приближение к фактическому характеру изменения случайной величины дает нормальный закон.

Закон распределения вероятностей называется нормальным» если распределение характеризуется плотностью вероятности!