книги / Математические методы и планирование эксперимента в грунтоведении и инженерной геологии

Глава 2. ОДНОФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

Постановкой эксперимента исследуется зависимость отклика У от одного факторах» которая должна быть представлена в ви­ де уравнения регрессии. При назначении уровней факторов пред­ варительно изучаются материалы ранее выполненных исследований по рассматриваемому вопросу. Они могут помочь предположить об­ щий характер £ = 4 (х) и назначить пределы и промежуточные зна­ чения уровней фактора.

Максимальное количество уровней фактора условиями плани­ рования и математической обработки результатов опытов не ог­ раничивается. При этом, совершенно очевидно, что чем больше уровней фактора будет принято в эксперименте, тем достовер­ нее выявится исследуемая закономерность.

Минимальное и максимальное значение уровней должны охва­ тывать диапазон, в котором предполагается установить законо­ мерность. Полученным впоследствии уравнением регрессии можно будет воспользоваться только в границах поставленных опытов.

Минимальное количество уровней х определяется условиями последующих дисперсионного и регрессионного анализов. Согла­ сно им, число уровней должно быть, как минимум, на единицу больше числа коэффициентов уравнения (включая свободный член), принимаемого заранее за математическую модель закономерности. Это, например, означает, что для сглаживания эксперименталь­ ной линии регрессии полиномом третьей степени требуется не ме­ нее пяти уровней фактора.

Закономерность i^s;if(x) отыскивается по результатам опытов. Поскольку эти опыты содержат ошибки, их необходимо на каждом

В соответствии о принятии числом уровней фактора и коли­ чеством дублирующих опытов составляется плановая таблица экс­ перимента. После соответствующей подготовки опыты выполняются и результаты их записываются в журнал (табл. 3).

Для установления однородности дисперсий' и значимости фак­

римеитальная линия регреосии не будет иметь плавного очерта­ ния, соответствующего действительной закономерности. По этой причине экспериментальная линия регрессии сглаживается какойлибо теоретической кривой. Операция замены неизвестной функ­ ции отклика в каком-то отношении эквивалентным теоретическим уравнением называется аппроксимацией. При этом используется как наилучший метод наименьших квадратов. Согласно атому ме­ тоду, теоретическая линия регрессии <£=^(oc:,cio,ctv-', ot-ni.)

Это условие представляется далее системой уравнений, получен­ ных приравниванием нулю частных производных

=- о , . . . , 2 i ~ = o.

ЭОо 3ct( 3ctm

Из этой системы и определяются величины коэффициентов уравне­ ния регрессии. При аппроксимации полипомом

^ = а 0 -vctyx + a j / x V ... + a m x rvL;

его коэффициенты устанавливаются решением системы уравнений

в которых А - определитель системы уравнений, &к). - алгебра­ ическое дополнение элемента cUj. в определителе д .

г = у ф в г * . Л / ( '

Он представляет собой отношение суммы квадратов отклонений

шего решеиия по результатам регрессионного анализа (прежде всего по коэффициенту тесноты овязи). Подобная процедура тру­ доемка для ручного наполнения, но весьма просто выполняется на ЭВМ. В качестве примера на рис. 23 показана аппроксимация по двум математическим моделям, выполненная па ЭВМ "Н Ш Й -2".

Глава 3 , МНОГОФАКТОРНЫЕ ПЛАНЫ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ

ПФП с тремя факторами, кодированные значения (уровни) которых соответствуют координатам точек (опытов) факторного простран-

повторяющиеся комбинация уровней варьирования факторов. В ко­ довом обозначении эта матрица яалвоываетоя следующим образом; (1 ),а ,б ,а б ,в ,а в ,б в ,а б в . Матрица планирования для ПФП типа 3s

видно, что матрица планировании для трех факторов типа 2° получает

%ся из матрицы 2** при повторении ее дважды: первый раз при значениях третьего фактора на тян ем уровне, второй - на верхнем уровне. Это

равносильно умножению кодовой запи­ си матрицы 2* один раз на ( I ) ,

?второй - на "в". По атому принципу можно построить ПФП для любого ко­ личества факторов. Некоторые дру­ гие полные факторные планы в их кодовой записи приведены в табл.ХШ

Приложения. Переход от натуральных значений факторов к кодированным

осуществляется но формулам (6 1 ).

После выполнении опытов производятся проверка однородно­ сти ряда дисперсий (К^Кт? см. гл . I данного раздела) и опре­ деляются коэффициенты модели по формулам

Некоторые из полученных коэффициентов могут оказаться пренебрежимо малыми - незначимыми. Проверку на значимость про­ водит для каждого коэффициента в отдельности по критерию Стьюдента. При этом необходимо вычислить среднеквадратическую оинбку коэффициента модели

модели, полученной по ДФП, в число ее значимых коэффициентов не входят коэффициенты от факторов, приравненных к произведе­ ниям. При использовании ДФП необходимо, чтобы в выбранных ин­ тервалах варьирования параметр оптимизации былпредставлен ли­ нейной моделью. В данном случае для ДФП эффект при­ нимают равным нулю. Однако на практике эффекты взаимодействия обычно не равны нулю, хотя некоторые из р х могут быть прене­ брежимо малы по сравнению с линейными эффектами ( К ) . В этом случае коэффициенты модели будут смешанными оценками суммы:

где J> - математическое ожидание для соответствующего коэффици­ ента, т .е . смешиваются эффекты взаимодействия с основными эф­ фектами. А так как постулируется линейная модель и предполага­

использовании ДФП необходимо заранее представлять» какие коэф­