книги / Математические методы и планирование эксперимента в грунтоведении и инженерной геологии

существует альтернативная гипотеза H i, отвергающая Н0 •

Пред­

положим, что гипотеза Нд утверждает идентичность оценки

по

(например х = а ) . Гипотеза Hi

отвергает это

предположение

эс* а. . Для решения вопроса

о том, насколько величина ос долж­

на отличаться от а ,

чтобы отвергнуть гипотезу Но ,

надо

пред­

варительно

задаться уровнем

значимости 06= 1- IP

и определить

область принятия гипотезы Но (рио. 16). Область

принятия

ги­

потезы Но

можно охарактеризовать интервалом,

ограниченным

и

- 5 7 . Если х.

попадает, в

этот интервал,

гипотезу

можно

считать

принятой. В том случае,

когда х

выходит

за

пределы

интервала,

принимаем гипотезу

• При проверке, гипотез

возни­

кают ошибки двух родов.

Ошибка I рода. Возникает в том случае, когда

верна

гипо­

теза Но для всего распределения,

но отвергается на

участках

Вели бы Ж было равно нулю,

то ошибка I рода

не

возникала

бы. Предположим, что «6 =0,05, а

гипотеза Но верна.

Тогда

Но

будет отвергнута в 5 5&опытов (ошибка равна.<L ) ,

а

принята

в

р=(1- А ) % испытаний (рио, 16, а ) .

Ошибка П рода. Пусть справедлива гипотеза Н^; эс

ус­

тановим область принятия зтой гипотезы (рис. 16,

б ).

В

этом

случае мы совершаем о ш и б к у в

той части

кривой

эксперимен­

тального распределения, которая попадает

в

область

принятия

.надежностью f ^ r j b .

Ошибка П рода JP уменьшается о увеличеня-

.ем«6^ >ЕслисС-А ,, т

о

» С уменьшением сС ошибка р

увеличила-

•ется, При «проверке .гипотез всегда стремятся доказать

справед­

ливость .гипотезы |Не,,

так как ошибкой I

рода I мы заранее за­

даемся» Фйрадададие

ге

ошибки Ц рода fa

представляет

значи­

С -р а

в <н е я

и е с р ,е

Д я и х . Довольно.часто Оказы­

вается, что

средний

результат

в одной серии экспериментов за­

Сравнение средних при

известных дисперсиях (з

. Пусть произве­

дено X i

определение в

первой серии и

- во

второй.

Заранее

известны

дисперсии: в

I серии -<•>£ « во второй

.

Средние

значения результатов

обозначим соответственно

через cct

и х ^ .

Выдвинем гипотезу о том, что истинные

значения

средних

совпа­

Задаемся уровнем L или надежностью $ , строим

область

приня­

тия

гипотезы,

ограничивая ее слева и справа значениями

-"Ькр

и

t -кр

(рис. 17), определяющих в зависимости

от,

заданной

надежности

по

Pit)

табл. 1У Приложения.

Если подсчитанное

от­

ношение

t -э

попадает

в область принятия

ги­

потезы,

то

принимаем

гипотезу Н0 с

надеж­

ностью (Р и

ошибкой Л ,

т .е . расхождение сред­

них не

считаем

значи­

мым. Если

Ь е

окажет­

Рис. 17.

ся за пределами

облас­

ти, то расхождение сре-

дних считаем

значимым и гипотезу Но отвергаем. Делаем

вывод о

том, что эксперименты первой и второй серии относятся

к

раз­

ным генеральным совокупностям.

Сравнение

средних при неизвестных дисперсиях <6 . В этом

слу­

чае

установим область принятия гипотезы при помощи отношения

-

экспериментальные средние квадратические

отклонения

соответственно для X и П

серии опытов. Отношение t

имеет рас­

пределение

Стьюдента с K=X4+tf*r & . Критическое

значение t

оп­

ределяется

по табл. У Приложения в зависимости от заданной

надежности?

и числа степеней свободы К . Если

t -э

значение

t

э

попадает

в область принятия гипотезы Ко . Сле­

довательно,

расхождением

средних можно пренебречь

и считать

результаты

I

и П серий принадлежащими к одной

генеральной

сог

вокупности.

С р а в н е н и е

д и с п е р с и й » При выполнении

эк­

сий рассматриваем

отношение

большей дисперсии к меньшей,

ис­

пользуя критерий

Фишера

Задаваясь надежностью

, по

гипотезы о равенстве дисперсий сравниваем отношение

<Гэ

,

подсчитанное для

двух выборок, с

. Если

4

,

то гипотеза о равенстве дисперсий может быть принята; в

про­

тивном случае -

отвергнута.

лышх

( т .)

выборок может

встретиться такая, дисперсия

которой

й1

заметно больше остальных. Задача заключается в

том,что-

бы выяснить, принадлежит

ли эта выборка к

генеральной

сово­

купности или ее отличие от других выборок

следует

считать су­

щественным,

Для решения

задачи применим критерий

Кохрена

Применение этого яритерия возможно, если

и

число

оп­

ределений

во всех m

сериях

одинаково >rLs> ri-< ..s лГ т.

Если

величина

6-3

окажется меньше критического значения,

при­

веденного в табл. УШ Приложения для двух надежностей Р =0,95

и

0,99 и для различных сочетаний

\т (количества серий

опытов)

и

числа степеней

свободы

i ,

то отличие первой

дисперсии

от

остальных несущественно, все выборки относятся к

одной гене­

ральной совокупности. В противном случае для этого

утвержде­

ния нет достаточных оснований.

Проверка нормальности распределения. Критерий Пирсона

Приближенный метод проверки нормальности распределения

данных экспериментов с помощью центральных моментов

третьего

и четвертого порядков

был изложен на с . 43 , Однако

часто

ре­

тельный анализ распределения экспериментальных величия.

В качестве нулевой гипотезы Но выдвигаем утверждение

о

том, что экспериментальные величины эс имеют нормальное

рас­

ние. Для

проверки гипотезы Н«» разбиваем

ось х

на ряд i,

ин­

тервалов

в для

каждого интервала (о с ^ ’»

) подсчитываем

чис­

ло определений,

попавших в интервал f ti. Затем подсчитываем

теоретическую вероятность попадания в интервал

при нормальном

законе распределения вероятностей;

По табл.

ШПриложения определяем

и

для

вычи­

сленных

значений tj, и ti,-*. и вычисляем

вероятность

. После

этого подсчитываем величину критерия Пирсона:

где *6 число интервалов

(r-ooJx t) f(Xi|OCa),...l («^r4_)

«АГ-

число всех результатов эксперимента

. да­

лее

определяем область принятия гипотезы Ко. Для этого

по

табл. IX Приложения находим критическое

значение

при

за­

данной надежности

!? и

числе степеней свободы К=-Сгз ,

Затем

сравниваем

с 5кр • Если

, распределение

экспе­

Число степеней

свободы к = ^ -з относится

к

тому случаю, когда

оба параметра

нормального закона (ос и g

)

определяются по вы­

интервалы).

Поэтому для получения числа степеней свободы К не

менее пяти

следует

принимать число интервалов t не менее

восьми.

Глава

4. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ЗАВИСИМОСТИ

чин в зависимости от значений другой, кроме, того

он

устанав­

ливает меру зависимости между рассматриваемыми величинами.

Сопоставляя каждое

значение

одной величины х

со

средним

и’з значений другой - у ,

получаем

регрессию ^ на х

. В

зависи­

мости от того, применяются ли теоретические средние

(матема­

тические ожидания) или экспериментальные, регрессию

называют

теоретической или экспериментальной. Графически функция

ре­

грессии изображается линией регрессии.

Мера зависимости между величинами характеризуется

коэф­

фициентом корреляции или корреляционным отношением.

4 .1 . Линейная корреляция

Корреляция

называется линейной, если обе функции

регрес­

сии линейны. В

этом случае линии регрессии превращаются в

прямые, угловые

коэффициенты которых выражаются через

козффи-

циент корреляции. Коэффициент корреляции служит также

мерой

гдеос^МС*) и 4= М Ы - центры распределения

величин х

щ

,<?х

и

- их дисперсии. Величина M(x-a)0j—6)

называется

корре­

ляционным моментом. Коэффициент корреляции -

безразмерная

ве­

личина, его абсолютная величина

не

превосходит единицы

Для независимых величин х

и ^

коэффициент корреляции’ра­

единице,

тем теснее

линейная зависимость, а

п ри /> = 1 существу­

ет линейная функциональная зависимость (каждому.значению

од­

ной величины соответствует только одно значение другой).

Корреляционное отношение ^

~ Y l

'

где

J

_ /Z&L-4)a'4

-

частное

квадратическое

отклонение,

” у -~

-

среднее

квадратическое

отклонение

точек,

величинами ос и

производят^ независимых определений.

По

данным экспериментов

определяются

точечные

оценки средних значений и коэффициента

корреляции.

Несмещен­