весовых функций для анализа КИН применительно к поверхно­ стным трещинам при произвольно распределенной нагрузке. Метод основан на суперпозиции КИН от единичных сил, дейст­ вующих в каждой узловой точке конечно-элементного разбиения поверхности трещины.

В работе [130] представлены приближенные весовые функ­ ции для поверхностной окружной полуэллиптической внутрен­ ней трещиной в трубе. Весовые функции выведены из поля пе­ ремещений поверхностной трещины, полученного с использова­ нием граничных интегральных уравнений. Значения КИН могут быть получены также для произвольной нагрузки путем числен­ ного интегрирования.

Итак, расчет КИН для трехмерных тел традиционными чис­ ленными методами механики разрушения представляет собой достаточно трудоемкую задачу. Рост количества предлагаемых в настоящее время приближенных подходов к оценке КИН, ис­ пользующих, в частности, весовые функции, отражает стремле­ ние к разработке более простых методик, которые могут быть эффективно использованы в расчетной практике при оценке прочности тел с трещинами. Варианты таких методик, разрабо­ танных авторами монографии, приведены ниже.

6.2. ИНЖ ЕНЕРНАЯ МЕТОДИКА РАСЧЕТА КО ЭФ Ф И Ц И ЕН ТО В ИНТЕНСИВНОСТИ

НА ПРЯЖ ЕН ИЙ ДЛЯ КРАЕВОЙ ТРЕ Щ И Н Ы

6.2.1. Приближенный способ построения весовой функции

Рассмотрим плоскую задачу теории упругости для тела с краевой прямолинейной трещиной нормального отрыва. Пусть

трещина расположена вдоль оси х на участке 0 < х < а и рас­

крывается давлением р(х).

Пользуясь при решении системы уравнений (6.4) значения­ ми КИН при однородной и линейно распределенной нагрузке получим выражение весовой функции для краевой трещины в полуплоскости

С учетом (6.6) поправочные множители F ® (/ = 2, 3, 4) рав­ ны 0,4693; 0,3938 и 0,3453 соответственно. Эти результаты почти точно совпадают с приведенными данными.

Рассмотренный метод позволяет сравнительно легко опреде­ лить величины КИН для трещин в неоднородном поле напряже­ ний. Так, приближенную формулу для весовой функции приме­ нительно к полосе с краевой трещиной можно получить из из­ вестных значений КИН при растяжении и изгибе полосы.

Метод весовых функций, являясь сам по себе более эконо­ мичным, чем другие численные методы, потенциально может привести к трудностям вычислительного характера как при оп­ ределении самой весовой функции, так и при расчете КИН. По­ этому представляет интерес использование еще более простых приближенных подходов для оценки КИН.

6.2.2. Модифицированный метод сечений

Одним из приемов вычисления КИН, в котором понижен­ ная точность расчета оправдывается малой трудоемкостью и ко­ торый нашел широкое применение в отечественной практике расчетов на прочность, является метод сечений [64]. Этот подход может быть с успехом применен к расчету прочности тел с раз­ нообразным расположением трещин и действующих нагрузок.

Согласно методу сечения, нагрузка не передающаяся через линию трещины, компенсируется возникающими у вершины трещины дополнительными усилиями от концентрации напря­ жений. При этом принимается во внимание, что концентрация напряжений имеет сингулярный характер, т.е. при стремлении к вершине трещины напряжения возрастают обратно пропорцио­ нально квадратному корню из расстояния до вершины трещины:

где ое - дополнительные напряжения;

г - расстояние до вершины трещины.

Метод сечений позволяет найти К из условия равновесия

иI

где ст(х) - напряжения, которые действовали бы в теле при за­ данной нагрузке в случае отсутствия трещины.

Предел интегрирования / определяет зону поля напряжений, возмущенную наличием трещины. Точность расчета обусловлена выбором параметра / и, вообще говоря, ограничена тем, что в разложении напряжений <Те(г) не учитываются дополнительные несингулярные составляющие.

Левая часть уравнения (6.8) представляет собой равнодейст­ вующую от сил, приложенных к берегам трещины. По методу сечений именно эта характеристика нагрузки определяет вели­ чину КИН. Однако КИН существенно зависит и от того, каким образом нагрузка распределена по поверхности трещины. В пер­

Рис. 6.2. Замена неоднородной эпюры напряжений эквивалентной линейной

позволяет выразить КИН при неоднородном поле действующих напряжений через КИН для трещины в этой же полосе при од­ нородном растяжении и чистом изгибе (рис. 6.2).

При действующей на берега трещины в полосе неравномер­ но распределенной нагрузке а(х) с учетом введенных допущений коэффициент интенсивности напряжений можно приравнять к КИН при линейно распределенной нагрузке аЭКв(х) — Ах + В при выполнении условия эквивалентности

аа

j* (Ах + B)dx=j*a(x)dx,

оО

и а

J*(Ах + B)xdx =Ja(x)xdx.

ОО

Таким образом, предлагаемый способ приближенной оценки КИН заключается в замене неоднородной эпюры напряжений на участке трещины статически эквивалентной линейной по фор­ мулам (6.9) и определении КИН с помощью формул (6.10) и (6.11). Приведенные ниже примеры позволяют оценить право­ мерность введенных допущений и точность приближенной оцен­ ки коэффициентов интенсивности напряжений.

6 .2 .3 . Примеры расчета К И Н для краевой трещины в полосе

при неоднородной нагрузке

В работе [110] Челл, исходя из полуэмпирических результа­ тов для частично нагруженных постоянной нагрузкой берегов трещины [109], построил приближенные весовые функции для сквозных краевой и центральной трещин в полосе. С использо­ ванием этих приближенных весовых функций в работах [108, 110] вычислены коэффициенты интенсивности напряжений для сквозных трещин при нагрузке вида

а = ст0(х, t)n,

где п целое и 1 < п < 8.

Результаты вычислений были аппроксимированы полинома­ ми и даны в виде формул, позволяющих в явном виде выразить КИН. В работе [110] отмечается, что эти формулы хорошо согла­ суются с результатами расчета КИН, выполненными с использо­ ванием весовых функций- [104], и с результатами конечно­ элементного анализа [110].

Используя подход, предлагаемый в данной работе, можно получить выражение для КИН при полиномиально распределен­ ной нагрузке следующим образом.

Если на краевую трещину длиной а в полосе шириной t

действует нагрузка ст = сто(х / /)”, то эквивалентную линейную нагрузку можно найти из условий (6.9):

Т^Ким образом, формула (6.14) дает значение коэффициента интенсивности напряжений для краевой трещины в полосе при неоднородной нагрузке вида ст — сто(х / /)”. Заметим, что эта формула годится для любого п > 0 (л не обязательно целое чис­

ло). В таблице 6.1 приведены значения К , рассчитан­ ные по приближенной формуле (6.14), и результаты работы [108]. Для п 5 5 разница в результатах не превышает 10 % во всем диа­ пазон^ изменения глубины трещины. Если искать значения КИН Для нагрузки вида

П р и м е ч а н и е . В числителе - результаты, полученные по формулам работы [108], а в знаменателе - по формуле (6.14)

ст = а 0 1 —

то для п < 4 расхождение между результатами значений КИН, полученных методом эквивалентной нагрузки и по формулам работы [108], не превысит 2 %.

Рассмотрим трещину в полосе, к берегам которой приложе­ на кусочно-постоянная нагрузка

а = 0 при 0 < х < Z,

а = CTi при Z< х < а.

Согласно принципу эквивалентности нагрузок значение КИН в этом случае будет равно:

Формула (6.14) может быть использована для определения в рамках модели Панасюка, Леонова и Дагдейла размеров пласти­ ческой зоны, возникающей перед фронтом трещины в тонкой Пластине. Если отождествить C T I с пределом текучести материала, то длина Z пластической зоны при растяжении однородным на­ пряжением сто полосы с краевой трещиной длиной {а - 7) может быть найдена из уравнения

(6.15).

Рис. 6.3 позволяет оценить точность предлагаемого метода эквивалентной линейной нагрузки путем'сопоставления отноше­ ния

П М )

®1 ^раст| О j

рассчитанною по приближенной формуле (6.15) с результатами, изложенными в работах [110, 123]. В работе [123] отношение сто / oi было определено численно с помощью метода конечных элементов. Как видно из рисунка, формула (6.15) удовлетвори­ тельно согласуется с известными решениями за исключением случаев, когда Z / а становится близким к единице.

Замена неоднородной эпюры напряжений линейной допус­ тима и при немонотонной нагрузке, действующей на краевую

значение 1C/(ого>/яд) = 3,77 при а / / = 0,7. В работе [61] при­

водятся значения К /(сгол/ла), рассчитанные по приближенной формуле работы [61] и по формулам Челла [108], равные соот­ ветственно 5,02 и 3,90. В работе [120] рассматривалась поверхно­ стная трещина в пластине при нагрузке, распределенной по экс­ поненциальному закону

Рис. 6.3. Зависимость отношения сто / CTJ от а и Z:

О - метод эквивалентной нагрузки; • - М КЭ;---- формула Челла [108]

При таком нагружении метод эквивалентной нагрузки по­ зволяет выразить КИН в явном виде, (формулы не приводим в виду их громоздкости): в табл. 6.2 представлены значения

Таблица 6.2

Значения КИН при нагружении по экспоненциальному закону

К /\p o v n a ), рассчитанные по предлагаемой методике, и резуль­ таты работы [120] для сквозной краевой трещины, являющейся предельной формой поверхностной трещины.

Как видно из представленных данных, приближенный метод хорошо согласуется с результатами работы [120], полученными методом весовых функций.

Приведенные примеры показывают, что замена нелинейной эпюры напряжений эквивалентной линейной позволяет вычис­ лить КИН с достаточной точностью практически для любых не­ равномерно распределенных нагрузок. При этом во многих слу­ чаях можно получить формулы для расчета КИН в явном виде. Предлагаемый метод может привести к существенной погрешно­ сти для краевых трещин в полубесконечных телах, но примени­ тельно к трещинам в пластинах конечной толщины неоднород­ ность поля напряжений проявляется в масштабах, сравнимых с толщиной листа. Поэтому для малых трещин эпюра действую­

щих напряжений хорошо аппроксимируется линейной функцией и в таком случае вполне допустимо использование предлагаемой методики оценки КИН.

На практике значения напряжений, действующих в сечени­ ях, в которых возможно развитие трещины, часто бывают из­ вестны лишь в отдельных точках. Чтобы воспользоваться мето­ дом эквивалентной линейной нагрузки, достаточно аппроксими­ ровать функцию распределения напряжений на участке трещины прямой линией методом наименьших квадратов по заданным точкам. Метод наименьших квадратов приводит к тем же урав­ нениям эквивалентности (6.9). Поэтому при таком табличном задании функции напряжений отпадает необходимость в какойлибо другой аппроксимации или интерполяции табличных зна­ чений.

6.3. ОЦЕНКА КОЭФФИЦИЕНТА ИНТЕНСИВНОСТИ НАПРЯЖЕНИЙ В ПОЛОСЕ С КОНЦЕНТРАТОРОМ НАПРЯЖЕНИЙ

Наиболее часто источниками неоднородного поля напряже­ ний являются конструктивные концентраторы напряжений в ви­ де вырезов, отверстий, галтелей и т.д. Концентраторы являются и наиболее вероятным местом зарождения трещины. Поэтому весьма важно знать величину КИН в зоне влияния концентрато­ ров. Задачи такого рода решают обычно численными методами, требующими довольно больших затрат.

Рассмотрим некоторые свойства упругих тел с трещинами, которые позволяют эффективно устанавливать верхние и нижние оценки величины КИН для трещины в полосе с краевым выре­ зом [5].

Рис. 6.4. К оценке КИН для трещины

Пусть на плоскости ху имеются две линейно упругие облас­ ти А\ и А}, симметричные относительно оси х. Предположим, что область А\ содержится в области А2, и обе области содержат одну и ту же трещину, расположенную вдоль оси х на отрезке [О, а] (рис. 6.4). К верхнему и нижнему берегам трещины прило­ жено симметричное относительно оси х давление р(х), раскры­ вающее трещину (р(х) > 0). Кроме того, допустим, что на тела

А\ и Ai не наложены никакие связи, т.е. в процессе нагружения не возникают дополнительные опорные реакции.

Докажем, что при этих условиях значение КИН К ^ в теле

А\ будет больше, чем К ^ в теле А2-

Обозначим через W\ и W2 энергию упругой деформации, возникающей в телах А\ и А^ при действии на верхнюю и ниж­ нюю стороны трещины распределенной нагрузки р(х) и -р(х).

Так как нагрузка, приложенная к телам А\ и А2, является само­

уравновешенной и действует в ограниченной области, то соглас­ но теореме Занабони [60]

В силу линейной упругости тел с учетом симметрии пере­ мещений и нагрузок можно записать

где и, (х) - перемещения точек верхней стороны трещины в теле

At.

Следовательно, из условий (6.18) и (6.19) вытекает, что

Если нагрузка р(х) приложена на отрезке а - е < х < а, где е достаточно мало, то с учетом условия

где Н =®Е / (1 v2) при плоской деформации и Н = Е при плоском напряженном состоянии, получаем

о

Откуда следует, что Для нагрузки, локализованной вблизи вершины трещины,

это утверждение было доказано Бюкнером [103), но другим пу­ тем.

В общем случае произвольной нагрузки рассмотрим разность энергий деформаций в телах А\ и А2, как функцию от длины трещины. Пусть

Так как частная производная энергия деформации при фик­ сированных внешних усилиях равна с точностью до постоянного множителя квадрату величины КИН, то достаточно доказать, что dAW(a) / да > 0. Без ограничения общности можно считать функцию A W(a) дифференцируемой, а следовательно, непре­ рывной по а. Допустим, что существуют такие значения а\ и а^, а\ < 02, что AW(a\) > AW(a2). Тогда должна существовать точка йз(0 < Сз < 02), в которой функция AlV(a) достигает своего ло­ кального максимума. В точке 03

Рассмотрим трещину аз в телах А\ и А2. Обозначим через 5 бесконечно малое приращение длины трещины. Согласно прин­ ципу суперпозиции коэффициент интенсивности напряжений при а = оз + 5 можно вычислить следующим образом. Сначала определим нормальные напряжения на оси х, когда длина тре­ щины равна 03. Затем рассмотрим трещину длиной 03 + 8при

действующих на участке 03 < х < 03 + 8давлении, равном най­ денным напряжениям, но противоположного знака. Поскольку 8

мало, то можно ограничиться лишь сингулярной составляющей напряжений и тогда для определения величины КИН при а =ч = Дз + 8будем иметь одинаковое распределение напряжений

8(х) = I р п { х - а 3)

на отрезке 02< х < 03 + 5 для обоих тел. Согласно (6.22) в этом случае будем иметь

Или, что эквивалентно,

Условие максимума в точке аз не выполняется. Следова­ тельно, для любых а\ и 02таких, что а\ > 02

Доказанное утверждение позволяет получить эффективные оценки сверху и снизу для КИН в различных телах.

Рассмотрим полосу с краевым концентратором глубиной в и

исходящей из этого концентратора трещиной длиной 0.

Пусть полоса находится в условиях растяжения и (или) из­ гиба и интенсивность напряжений в вершине трещины характе­ ризуется коэффициентом К* Расчет К * традиционными числен­ ными методами представляет собой довольно трудоемкую задачу, поэтому целесообразно получить более простым путем оценки сверху и снизу для величины К* Для этого достаточно вычис­ лить КИН для двух трещин в гладких полосах: трещины длиной

а в полосе шириной t и трещины длиной а + в в полосе шири­ ной t + в, учитывая при этом, что к берегам трещины приложе­ на распределенная нагрузка, равная с противоположным знаком нормальным напряжениям по оси х в исходной полосе с кон­ центратором и без трещины. Согласно доказанному выше утвер­ ждению

щью весовых функций или по методу эквивалентной нагрузки. На рис. 6.5 представлены результаты расчета верхней и

нижней границ коэффициента интенсивности напряжений для трещины, исходящей из полукругового выреза в полуплоскости при растягивающих напряжениях на бесконечности стоПолу­ ченные оценки хорошо согласуются с решением Ниситани, при­ веденным в работе [140]. При вычислениях оценок поле напря­ жений приближенно считалось таким же, как при растяжении

оценке. В то же время при малых длинах трещины оценка снизу, полученная методом эквивалентной линейной нагрузки, значи­ тельно занижена, так как в этом методе не учитывается сингу­ лярный характер весовой функции в окрестности трещины.

Рис. 6.7. Зависимость поправочного множителя F = K \ / а н у п а от длины

трещины а:

1 - верхняя граница; 2 - нижняя граница (МВФ); О - верхняя граница, метод эквивалентной нагрузки

элементов. Для данной полосы были вычислены оценки сверху и снизу коэффициента интенсивности напряжений для трещины, расположенной вдоль оси х. Результаты расчетов представлены на рис. 6.7 и показывают, что разница между этими оценками максимальна при малых длинах трещины и постоянно снижается с ростом трещины. Но так как при а —►0 истинное значение КИН стремится к верхней оценке, то при расчетах на прочность

/

/

такого элемента целесообразно выбрать в качестве консерватив­ ной и в то же время не очень завышенной оценки КИН именно эту верхнюю оценку. Способ эквивалентной нагрузки дает при этом результаты, близкие к вычисленным методом весовых функций.

6.4. РАСЧЕТ К О Э Ф Ф И Ц И Е Н Т О В И Н ТЕН С И В Н О С Т И Н А П РЯ Ж Е Н И Й Д Л Я П О ВЕРХ Н О С Т Н О Й Т Р Е Щ И Н Ы

ВН Е О Д Н О Р О Д Н О М П О Л Е Н А П РЯ Ж Е Н И Й

Вданной работе способ замены нелинейной эпюры напря­ жений эквивалентной линейной использован для приближенного расчета КИН вдоль контура поверхностной полуэллиптической трещины в пластине при неравномерно распределенной растяги­ вающей нагрузке. Решение задачи основано на модели линейных пружин Райса-Леви [72].

Рассмотрим бесконечную упругую пластину толщиной /, со­ держащую несквозную поверхностную трещину. Модель линей­ ных пружин идеализирует трехмерную пластину с поверхностной трещиной как тонкую пластину со сквозным разрезом длиной 2с

(рис. 6.8) и задача, таким образом, сводится к двумерной, кото­ рая решалась в работе [72] в рамках теорий обобщенного плос­ кого напряженного состояния и изгиба пластин КирхгофаПуассона. При однородном растяжении пластины вдоль оси z

или изгибе в плоскости yz силы на линии разреза не равны ну­ лю, так как трещина в исходной задаче несквозная. Кроме того, обобщенные нормальные перемещения и углы поворота пласти­ ны при переходе через линию разреза терпят разрыв.

Обозначим через 8(х) скачок нормальных перемещений и через 0 ( JC) - угол поворота одной стороны разреза относительно другой. Основная идея модели линейных пружин состоит в том,

Рис. 6.8. Модели линейных пружин

что в каждой точке х вдоль разреза значения 8(х) и 0(х) локаль­ но зависят от возникающих в сечении с трещиной нормальных сил N(x) и изгибающих моментов М(х), отнесенных к единице длины по оси х,

где матрица [с] определяет локальные значения податливости по

длине разреза.

Таким образом, при известной матрице [с] поверхностная трещина трактуется как сквозной разрез с непрерывно распреде­ ленными по нему обобщенными пружинами, линейно сопротив­ ляющимися как растяжению, так и изгибу.

Локальная податливость пружины зависит от местной глу­ бины поверхностной трещины и отождествляется с дополни­ тельной податливостью плоско деформированной полосы, обу­ словленной наличием краевой трещины соответствующей длины.

При заданных растягивающей силе N и моменте М, прило­ женных к концам полосы, наличие трещины приводит к прира­ щениям относительного перемещения и поворота концов поло­ сы по сравнению с соответствующими величинами для полосы без трещины. Если обозначить дополнительное перемещение и относительный поворот через 5Си 0С, то они связаны с N и М следующими соотношениями:

где матрица [р] может быть построена при известных коэффици­ ентах интенсивности напряжений при однородном растяжении и чистом изгибе полосы [72].

{

Безразмерная матрица податливости [а] связана с матрицей

I

[Cij\ согласно выражения (6.30) следующим образом

Функция G(x, х '), равная с точностью до постоянных мно­ жителей:

представляет собой нормальное перемещение (или поворот) в точке х, вызванный сосредоточенной силой (или моментом), приложенной в точке х'.

В выражении (6.32), кроме этого, ст» и пи представляют со­ бой значения номинальных растягивающих и изгибающих на­ пряжений, приложенных к пластине на бесконечности.

В работе [72] предполагалось, что значение ст(д:) и т(х),

найденные из системы (6.32), определяют величину коэффици­ ента интенсивности напряжений в соответствующей точке кон­ тура поверхностной трещины. А именно, считалось, что КИН на фронте трещины с координатой х совпадает с КИН плоско де­ формированной полосы, содержащей трещину глубины а(х) и

находящейся под действием осевой силы N(x) и момента М(х).

Модель линейных пружин была предложена для расчета КИН поверхностных трещин в 1972 году и после этого различ­ ными авторами было опубликовано множество методов и резуль­ татов численных расчетов этой же задачи, причем отдельные ре­

зультаты значительно различались между собой. Поэтому модель Раиса и Леви при своей настораживающей простоте долгое вре­ мя игнорировалась как потенциально полезный метод прибли­ женной оценки КИН. И лишь в конце 70-х годов, когда были опубликованы результаты более точных исследований (в их чис­ ле и результаты конечно-элементного анализа Ньюмена и Раджу [139], общепризнанные как наиболее точные), оказалось, что модель линейных пружин для вытянутых поверхностных трещин дает очень точные результаты. Погрешность при вычислении КИН в центральной точке поверхностной трещины с а / с = 0,2 не превышает по сравнению с данными [139] 6% при 0,2< a/t<

< 0,8. Как отмечалось в работе [141], никакой другой метод не в состоянии обеспечить такую точность вычислений при той же экономичности, какая достигается при использовании модели линейных пружин. В настоящее время модель линейных пружин широко применяется при расчете КИН, анализе поведения не­ сквозных трещин с учетом пластического течения, ее можно лег­ ко обобщить на случай несквозных трещин в криволинейных оболочках и т.д. Ниже будет показана возможность применения этой модели в случае неоднородного нагружения поверхностной полуэллиптической трещины.

Пусть на поверхность трещины действует симметричная нормальная распределенная нагрузка ст(х, у) (рис. 6.9). Как и в модели линейных пружин будем считать, что пластина с трещи­ ной составлена из плоско деформированных полос, часть из ко­ торых имеет краевые надрезы. Выделим одну из таких полос бесконечно малой толщины dx с трещиной глубиной а(х). Со­ гласно уравнению (6.2) коэффициент интенсивности напряже­ ний на фронте контура с координатой х ' от действия нагрузки в выделенной полосе будет равна

где К(а') - КИН для краевой трещины длиной а' в полосе при действии осевой растягивающей нагрузки и изгибающего момен­ та с соответствующими номинальными напряжениями о и т.

Для вычисления коэффициента податливости следует вос­ пользоваться выражениями (6.12). В работе [153] приводятся формулы для вычисления коэффициента податливости:

1( a lt

Результаты численного интегрирования по формулам (6.40) показали, что для определения а ц можно воспользоваться фор­ мулой

Отметим, что коэффициенты податливости а,у, определяе­ мые выражениями (6.41) и (6.42), являются функциями отноше­ ния глубины трещины к толщине полосы. Поскольку глубина трещины представляет собой заранее известную функцию х, ни­

же будем использовать обозначение а,у(х).

Численное решение системы (6.39) проводилось следующим образом. Рассматриваемый отрезок разбивали на некоторое чис­ ло интервалов и представляли а(х) и т(х) в виде кусочно­ линейных функций. В частном случае симметричной относи­ тельно центра нагрузки достаточно определить а(х) и т{х) толь­ ко в интервале 0 < х < с. Если имеется п интервалов и узлы рас­

ный аналог первого из интегральный уравнений (6.39) следую­ щий

Второе интегральное уравнение имеет аналогичный вид. Ин­ тегрирование (6.43) проводилось стандартными численными ме­ тодами, за исключением особой части 1п(с |хк - х \) ядра опера­ тора G(xk, х), которая интегрировалась в замкнутом виде. Спе­ циальный анализ необходим в случае к = п (т.е. на конце интер­

вала хп = с), поскольку уравнения (6.39) в этом случае вырожда­ ются. Требуемая форма уравнений (6.39) при х„ = с получается

Таким образом, в точке к = п вместо (6.43) необходимо ис­ пользовать уравнение

J m l * j - 1

(6.45)

Условие (6.45) требует, чтобы средние по толщине напряже­ ния ст И моменты т были ограничены на концах линии разрыва.

Итак, уравнения типа (6.43) и (6.45) представляют собой систему линейных уравнений относительно (2п + 2) неизвестных

ак и ht/c. Решение этой системы стандартными методами не представляет особого труда.

В работе [72] предполагалось, что коэффициент интенсивно­ сти напряжений выражается через а(х) и т(х) по формуле

причем Tj(x) и Y2(x) отождествлялись с поправочными множи­ телями ^(а(х)) и F(a(x)) для КИН в полосе с краевой трещиной

при однородном растяжении или чистом изгибе, например

(6.11).

В настоящей работе принимается аналогичная линейная за­ висимость КИН от растягивающих напряжений и изгибающих моментов, действующих в каждом сечении по оси х вдоль линии разреза.

Кроме того предполагалось, что коэффициенты Ti(x) и

Y2(x) при заданной фиксированной геометрии трещины не зави­ сят от вида приложенной внешней нагрузки и являются функ­ циями только положения точки на контуре трещины. Для нахо­ ждения Y\(x) и Y 2 ( X ) можно воспользоваться известными резуль­ татами по расчету КИН для поверхностных трещин при одно­ родном растяжении и чистом изгибе пластин, сопоставив их с <т(х) и т(х), полученными в рамках модели линейных пружин при этих же условиях нагружения.

Таким образом, этапы расчета КИН для поверхностных полуэллиптических трещин в пластинах при неоднородном нагру­ жении следующие:

1. Аппроксимация распределенной нагрузки, приложенной к берегам трещины, эквивалентной, линейно распределенной в каждом сечении по толщине пластины. Определение номиналь­ ных растягивающих и изгибающих напряжений < в(х) и /ив(х), приложенныхЧк берегам надреза.

2. Расчет напряжений а(х) и т(х), действующих в каждом сечении и вызванных приложенными к берегам разреза распре­ деленными силами и моментами.

3.Определение напряжений стр(х), тр(:с) и а и(х), т„(х), возникающих в сечении с трещиной при однородном растяже­ нии и чистом изгибе пластин с поверхностной трещиной.

4.Расчет коэффициентов У^х) и У2(х) по известным КИН при однородном растяжении и чистом изгибе А'р(х) и Ки(х)

(х)Кр(х) - /Ир (х)Ки(х)

У\(х)=

(х)ти( х ) - а и(х)тр(х) ’

(6.47)

g p (х)Ки(х) - д и (х)Кр(х)

Ы х ) =

стр(х)/и„(х)-(Ти(х)щр(х)

5. Определение искомого коэффициента интенсивности на­ пряжений для поверхностной трещины по формуле (6.46).

Предложенный метод был использован при расчете КИН для некоторых видов нагружения поверхностной трещины. Отре­ зок 0 < х < с разбивали на 20 интервалов. Узлы разбиения нахо­ дились в точках

которые' сгущались к концу интервала, поскольку а(л:) и т{х)

имеют большие градиенты в этой области.

На рис. 6.10 показано распределение величины K / G Ф

вдоль контура трещины в зависимости от относительной глуби­ ны и параметра а / с, характеризующего форму полиэллиптической трещины. Нормальное давление, приложенное к поверхно­ сти трещины, описывалось формулой

Врасчетах в качестве базовых значений КИН использова­ лись результаты конечно-элементного анализа [144] и эмпириче­ ская формула Ньюмена-Раджу [139], аппроксимирующая эти ре­ зультаты. Как видно из рис. 6.10, выбор базовых решений может заметно влиять на величину КИН. В целом отмечается хорошее соответствие полученных результатов данным Сиратори и др. [147], причем, если использовать в качестве базовых КИН дан­

ные [147], то согласуемость результатов будет лучше.

На рис. 6.11 результаты расчета КИН с помощью модели линейных пружин при той же параболической нагрузке сравни­ ваются с результатами работы [160]. И здесь наблюдается хоро­ шая согласуемость результатов, которые становятся ближе при использовании в качестве исходных КИН данных [160].

Вработе [31] приведены данные конечно-элементного ана­ лиза напряженного состояния пластины с полукруговой поверх­ ностной трещиной при нагрузке

(6.49)

На рис. 6.12 и табл. 6.3 сравниваются результаты расчета КИН, проведенного с помощью модели линейных пружин, и данные работы [31].

Результаты представлены в виде поправочного множителя

где К тп - КИН при полиномиальном нагружении согласно фор­ муле (6.49);

Ко - КИН при однородной нагрузке (т = 0, п = 0).

Таблица 6.3

Значения поправочного множителя f mn для К И Н вдоль контура

полукруговой трещины при полиномиальном нагружении ее берегов

П р и м е ч а н и е . МЛП - метод линейных пружин.

В табл. 6.4 и 6.5 даны значения поправочного множителя

М - к / аол/тш в центральной и краевой точках контура полуэл-

липтической трещины при экспоненциальном нагружении бе­ регов трещины. Для центральной точки контура результаты рас­ чета хорошо согласуются с данными [125] (погрешность несов­ падения не превышает 10 % от максимального значения КИН). В краевой точке погрешность достигает 30 %.

Таблица 6.5

Значение поправочного множителя М для коэффициента

интенсивности напряжений в краевой точке контура

поверхностной трещины при ср = О

Приведенные примеры показывают, что предложенная ме­ тодика расчета КИН при неоднородной нагрузке может быть довольно успешно применена для решения различных задач ли­ нейной механики разрушения.

~ / ( д к (ф = о)),

(7.2)

при начальных условиях

Система дифференциальных уравнений (7.2) решается чис­ ленно. Пусть в момент Ni циклов трещина имеет размеры щ и с/, и в момент Ni + AN - (д/ + Ad) и (с/ + Ас). Если Аа и Ас малы, то можно предположить, что скорости da / dN и dc / ЛУ посто­ янные при изменении jV/ до Л// + АN и определяются соответст­ вующими значениями КИН в тот момент, когда трещина зани­ мает промежуточное положение, соответствующее числу циклов

Ni + AN / 2, т.е. когда размеры поверхностной трещины равны (с/ + Аа / 2) и (с/ + Ас).

Тогда уравнения (7.2) преобразуются в уравнения

-7*7= /(Л^(ф = 7г/2, а,+Д а/2, с,+Дс/2));

AN

(7.4)

= /(л^(ф = 0, а,- + До/ 2, с, +Дс/2))

AN

Ha основе решения системы (7.4) проводится расчет дли­ тельности развития поверхностной усталостной трещины. Для некоторого заданного малого значения Аа из (7.4) путем исклю­ чения AN можно найти Ас:

Неизвестное значение Ас входит в правую и левую части уравнения (7.5). Для нахождения Ас применяется метод последо­ вательных приближений. Зададимся некоторым (нулевым) на­ чальным значением Дс(°). Последующие приближения находим из уравнения

Итерационный процесс повторяется до тех пор, пока нор­ мированная разность между двумя приближениями не станет меньше некоторого числа е, т.е. до выполнения условия

После нахождения Ас вычисляется количество циклов AN,

необходимое для заданного приращение Аа:

Далее процесс вычислений повторяется уже для новых зна­

чений 0/+1 И С / + 1.

В соответствии с изложенным произведен расчет живучести образцов из сплавов AJC4-1, ВТ6и стали 45, испытанных при регулярном циклическом нагружении. Коэффициенты интенсив­

ности напряжений при растяжении и изгибе пластин с поверх­ ностной трещиной рассчитывались по формулам (5.1).

В расчетах использована кусочно-линейная аппроксимация диаграмм усталостного разрушения исследованных материалов в координатах (lg(F) lg(AA)). Параметры такой аппроксимации представлены в табл. 5.1. Пороговые значения размаха КИН в настоящей работе специально не исследовались и были выбраны* из имеющихся в литературе [29, 57] данных о величине этой ха­ рактеристики циклической трещиностойкости для стали 45 и аналогов сплавов АК4-1 и ВТ6. Принятые в расчетах величины AKth составили: для стали 45 - 7, для сплава АК4-1 - 4, ВТ6- 6

(размерность - МПа-м1/2).

Значения коэффициентов интенсивности напряжений для поверхностных трещин, развивающихся в зоне влияния конст­ руктивных концентраторов напряжений, были рассчитаны по методике, изложенной в главе 6. В табл. 6.1 приведены значения

к/аоу/паФ для полукруговой трещины относительной глубины

а / t —0,4 в образцах с различной конфигурацией концентрато­ ров. Расчеты показывают, что более высокая концентрация на­ пряжений вызывает большие значения КИН в краевой точке контура поверхностной трещины.

Из формул (6.46) и (6.47) следует

где Кр и А'и - величины КИН в точке контура трещины с коор­ динатой х при однородном растяжении и чистом изгибе пласти­ ны;

Z i и Z2 определяются следующим образом: