Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Математическая теория энтропии

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

19.07 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 3523 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

222	Гл. 4. Эргодическая теория

щыо некоторого пррцесса кодирования, что позволило ему осу ществить сформулированную выше программу.

Мы опишем сейчас этот способ, а затем приведем доказа тельство основной леммы Орнстейна. Для упрощения записи i-fi элемент конечного упорядоченного разбиения £ будет обозна

чаться через | (/) вместо Nf1(/). Следующее понятие' уже вво дилось ранее (см. разд. 3.6).

Определение		4.29.	Пусть (Q,		Я, Т) — обратимая динами
ческая	система.	Для	любых положительного				вещественного
	--------------------------			о(п- j)
		t		— — б(л-2)			б(п)
	--------------------			— — б(л-2)		--------------	б(п)
	*	;
		t		е(1)	>
	-------------------------------			е(1)	>
		t		в(0)
	-------------------------------			в(0)
				Рис. 4.2.
числа	с и положительного			целого	п	разбиение	а называется
(с, п)-башней, если а состоит из п + 1						элементов, для которых
и		Т/о(0) =		о(/),
и			Р (а (п)) <		с.
			Р (а (п)) <		с.

Если а — некоторая (с, п)-башня, то пространство Q можно представлять себе состоящим из множества а(п) и набора (башни) из п множеств одной и той же меры, расположенных друг над другом. Преобразование Т переводит каждый этаж башни в следующий этаж, как показано на рис. 4.2. Каждый этаж башни индексируется точкой из множества Qa, причем Ра-меры точек 0, 1, 2, ... , л — 1 равны.

Приводимая ниже лемма является ключевой для дальней шего развития теории. Ее доказательство основано на при надлежащем Какутани остроумном геометрическом представ лении эргодической динамической системы, называемом пира мидой *). Перед тем как сформулировать и доказать лемму, дадим описание этого представления.

) В оригинале — skyscraper. — Прим. перев.

4.5. Кодирование и основная лемма Орнстейна

223

Пусть (Q, Ф, Р, Т) — обратимая эргодическая динамическая система, Л0 — измеримое подмножество Q положительной меры. Для каждого k > 0 положим

Ад == {(О G Ag". Т СО65 Ад, Т^й) ^ Ад,	0 ^	^ k }•
Если рассматривать Т*ю как положение	в	момент времени

k частицы, находившейся в начальный момент времени в точ

ке <в, то Uft-i Л* ==(иГ-1Т"^ о ) О Л0 — это множество точек Ад, обладающих тем свойством, что частица, помещенная в началь ный момент времени в одну из этих точек, со временем вер нется в Ад. Мы будем называть это множество множеством возвращающихся точек А0. Множество Л£ состоит из тех точек,

которые впервые возвращаются в Д			в момент времени k.
Предположим,	что
я (л ° - 0	4 ) =	Р ( а >П 0	Т~* (Q - Л0)) > 0.
Множества Т_/ (Л0 f\| fl”-i		(Q — Л0)) попарно не пересекаются

и имеют одну и ту же меру. Но отсюда следует, что Р(0) = оо. Следовательно, Р (Л0 — ЦГ-i ^о) = 0» так что = Л0 (mod 0) и почти все точки А0 возвращаются в Ад. (Это утверждение

называется теоремой Пуанкаре о возвращении.)					то	множества
Если k — любое положительное целое число,
{T ^ Q}/-O попарно не пересекаются, а поскольку					множества Л*
для k — \, 2, ... дизъюнктны,		то семейство {т^Л^: k = 1, 2, ...
....	состоит	из	попарно	непересекающихся
множеств.
Пусть O' = Ur_, I K T4 ‘ =			и Г -т Ч .	Тогда		T_1Q 'c Q '.
Кроме того,	множество Q' —Т_1£У имеет меру нуль, поскольку
в противном	случае множества Т~* (Q' — T-IQ')				образовывали

бы счетное семейство попарно непересекающихся множеств

одной и той же положительной				меры,	что	невозможно, так
как Р (Q') ^ Р (Q) =		1. Тем самым T_1Q' =			Q' (mod 0) и Р (Q') = 1
в силу эргодичности Т. Итак,			Q' =	Q(mod0).
Мы	только что	доказали,	что	семейство		множеств {тМ*:
Л = 0,	1, 2........ 1}	является	(modO) разбиением

пространства Q, причем некоторые элементы этого разбиения под действием Т переходят в другие его элементы. Если

представлять каждый элемент этого разбиения		отрезком, рас
полагая	элементы {Т/Л*}/—о друг над другом,	как показано
на рис.	4.3, то полученная диаграмма и будет так называемой

224	Гл, 4. Эргодическая теория

пирамидой Какутани. Преобразование Т переводит любой отрезок пирамиды в отрезок, расположенный прямо над ним, а если такого отрезка нет, то в некоторое подмножество А0.

k - l

з
2	т гА \ :	\
2
ТА	t
ТА
t	t	t
	—.... ~	Л8
2	,Al
А О	,Al
	Рис. 4.3.
Теорема 4.30 (Какутани — Рохлин)*). Если		(й,	Р, Т) —

эргодическая обратимая динамическая система с непрерывным

пространством состояний,	то для любых с > 0 и положитель
ного целого п существует (с, п)-башня в пространстве Q.
Доказательство. Пусть	А0— измеримое подмножество й,

для которого 0 < Р(А0) < сп~1. Рассмотрим пирамиду Какутани, построенную по множеству А0. Пусть

		2 п - 1		З п - 1
		F =	U	Лои U ( ^ и т Ч ) и ...
		/-п		/-2п
	( f e + l ) n - l			оо < f e + l ) n - l k-l
. . . U	и	U o U	. . . и т (* - 1)пл 0 = 0		U	UT lnA i
	/ - f e n			fe-1	/ - f e n	/ - 0

!) Это утверждение играет основную роль в аппроксимационной теории. Ойо справедливо для любого апериодического автоморфизма, что доказы вается с привлечением счетной трансфинитной индукции или с помощью

разложения на эргодические компоненты. В приводимой форме оно		впервые
ойубликовано в [124] и, независимо, в работе	Халмоша (Halmos	[1944]).
ВI иностранной литературе его называют леммой	Рохлина или леммой Хал

моша — Рохлина. С другой стороны,, Какутани [6] (см. также его совместную работу с Амброзом Ambrose, Kakutani [1942]) ввел понятия интегрального и производного автоморфизмов, что имеет прямое отношение к данной теореме. Поэтому теорему можно было бы назвать именем всех трех авто ров. — П р и м. ред .

4.5. Кодирование и основная лемма Орнстейна

225

Множество F отмечено на пирамиде Какутани, предста вленной на рис. 4.4. Используя эту пирамиду, можно убедиться

2п							УУ	УУ
2л-1							УУ	УУ
2л-1				•	•
				•	•
п				УУ			/ / г	7 1/ • • *
п - \
			•	.	•	•••	•	•
\
О	А%	УУ	УУ	УУ	УУ	••• УУ		УУ
А \	А%	AS	AS"	Л%*	лу*'	,	Aft	Лр*
				Рис. 4.4.
в том,	что	множества	Т7, Т/7, . .. , Т		F попарно не			пересе
каются	и

Q—\i т'р = UJ и Uo итЛд) и ... иК " 1и ... и тл-*Ло-1)] и

/- о

ит* U s+lи U?+2итл?+2)и ... и(4"-1 и ... итп24 п~')] и ...

		.. . = и W U ^ Q V ^ ) .
				k -О	\ / - 1 t - о	/
Поскольку Т — метрический					автоморфизм,
Р( Q -		"О* т'р) = Е			Z /Р Uo‘n+/) < пР(Л0) < с.
	\	/—о	/	Л"*о /—1
Поэтому	если	положить or(0) = Р, <г(/) =				Т/Р для 0 < / а ^ я — 1
и <r(«) =	Q -f]/-o T 'P ,			то	разбиение о	будет являться (с, п)-
башней.

Пусть | — разбиение пространства состояний динамической системы (Q, Р, Т), а сг — некоторая (с, л)-башня этой системы. Каждый из этажей <т можно рассматривать как пространство

Лебега (or (Л, <т(/)П<Г, Р°(-1 /)), где через Рст (* | у) обозначена условная мера на <т(/). Если через ТР<1( • | /) обозначать меру

226	Гл. 4. Эргодическая теория

Р°( • |/) о Т \ то можно считать, что на /-м этаже башни о на

ходится пространство (Тlla (0), Т{Р°( • 10)). Разбиение £ порож дает упорядоченные разбиения £/ каждого пространства Лебега

(Т^о (0), Т'Ра(• 10)), для которых

1/ = {Ш ЛТ/о(0): *<=Q5}

d %) = (т'/>° (I (I) 10 ): i е Ое) = (Р° (Т"'* (t) 10 ): i <= Qs).

Для каждого / = 0, 1,

п — 1 разбиение

является

разбиением пространства (сг(0), Ра( • 10)), поэтому разбиением этого пространства является также и V /-oT -,5/. Заметим, что

V/-o T_/i; = (V/-o Т~/|) П о (0). Усиливая теорему Какутани — Рохлина, можно получить следующий результат.

Теорема 4.31. Если (Q, ЗГ, Р, Т) — обратимая эргодическая динамическая система, а £ — конечное разбиение пространства то для любых вещественного с > 0 и положительного целого п су.

ществует (с, п)-башня о, такая, что если £= V/-o Т_/£, то для всех I е Qj

Р°(£(/)|0) = />(£(/)).

Иначе говоря,

d ( V/-d T~'SЛ а (0)) = d ( V/-o Т“'£).

Доказательство этой теоремы намечено у Шилдса [139, с. 22]. Пусть теперь башня о и разбиение £ пространства Q удо

влетворяют заключению теоремы 4.31. Для каждого множества

{т<[Су1т~/?) (ол<1(о)]: /=о> 1.... "-1}

имеют одну и ту же меру, попарно не пересекаются и лежат

на разных этажах башни <т. Это семейство называется /-й колонной башни. Заметим, что каждая колонна состоит из п элементов.

С помощью отображения Mj, которое сопоставляет точкам пространства £2j упорядоченные наборы из п точек простран

ства	Q\| (напомним, что			£= V/-o Т-/£),	каждому элементу /-й
колонны		можно сопоставить метку из			следующим образом:
элементу		Т* [(V/=o Т- ,\|) (/) Л о (0)] приписывается метка lt в том
и только		том	случае, когда lt является		i-й компонентой Mj(/)
(см.	рис.	4.5). Первая слева колонна башни, изображенной
на	рис.	4.5,	отвечает	элементу разбиения V /-oT -/£ Л о (0)

	4.5. Кодирование и основная лемма Орнстейна					227
с	номером 2 и	(2) = 0010. (Отсчет	элементов	начинается
с	нуля.)
	Сопоставив подмножеству (J*_0т< (£(0 П о (0» пространства Q
упорядоченный набор п целых чисел			(/) = (/„, ... ,		/„_,),	мы
тем самым закодировали точки из подмножества				=	Ц „ 0	(0

пространства £2 в виде последовательностей элементов факторпространства Q6. Если считать пространство (Q6, d (|)) алфавитом

					'/ / / / / / / / / /
						11=4
<5(2) *						ЛЛА /Ъ
			°	'	I	ЛЛА /Ъ
6 (1)	T	1	0 \|	/ / / / / / / / / •■		A, / / / / / / f
6 (1)				/ / / / / / / / / •■
				0
	I / / / / / / / / p u
l	2	9	0	4		1
			Рис. 4.5.
с распределением		d(Q,	то мы сопоставили точкам, заполняю
щим большую часть пространства Q (если с мало), слова
длины п,	составленные из символов этого					алфавита.

Отображение М; устанавливает соответствие между точками пространства (Qj, Pj) и словами длины п в алфавите (Q£, d(t)),

и именно с помощью этого отображения точки Q кодировались


такими	словами.		Пусть		Ф — любое взаимно однозначное! ото
бражение пространства					Q;	в множество слов длины п, соста
вленных	из	символов			некоторого алфавита (5, р),		где 5=*
= {0, 1, ... ,		k — 1}, а		р — дискретное вероятностное			распреде
ление на 5.		Используя отображение Ф точно так же, как мы
использовали		Mt, можно				сопоставить элементам I-й колонны
на всех	этажах		символы			алфавита (S, р) и тем самым сопо
ставить	каждой		точке	множества Uf_0 Т' (£ (I) П о (0))			некоторое

слово (s0, slf .. . , srt_,) в алфавите S. С помощью этих слов можно определить теперь другое разбиение т) пространства Q, для которого Q„ = S. Для этого достаточно в качестве г-го элемента разбиения т) взять объединение всех сечений колонн этажами башни а, Ф-индекс которых равен г, т. е.

228	Гл. 4. Эргодическая	теория
гдё объединение берется по всем		парам	i, I, для которых
№ ) ) t = r.
Эта конструкция позволяет получить разбиение, для которого
фдкторпространство	совпадает с	S, но	нет никаких осно

ваний предполагать, что распределение d(r\) при этом каким-то образом связано с распределением р. Это связано с различием между отображениями Ф и Mj. Дело в том, что переводит вероятностное пространство (Qj, d (£)) в вероятностное про

странство ( X L 1 ^ 0 с сохранением меры, и поэтому вос становление разбиения | по отображению М; приводит в точ ности к пространству (Q6, d(£)), в то время как о связи Ф с [мерой Р нам ничего не известно. Если в качестве Ф взять

отображение из (Qc, ц) в (Х"_о	р").	где рп — продакт-мера,
построенная по распределению	р, а	р — ее прообраз на Qj

относительно отображения Ф, то полученное при этом факторпррстранство (Qn> р) изоморфно (S, р). Используя закон больших

чирел, теорему Шеннона — Макмиллана — Бреймана и теорему Какутани — Рохлина, Орнстейн смог определить отображение Ф

таким образом,		чтобы		не только распределение р было близко
к	распределению		d(ri),	но	и само разбиение	было близко
к	разбиению \|	в	метрике		разбиений. Это в	конечном счете

позволило получить бернуллиевское разбиение с заданным распределением, являющееся также образующим.

| Мы приведем сейчас доказательство основной леммы Орнстейна, основанное на изложении Шилдса [139] и опирающееся

Л& ряд формулируемых ниже лемм.						использовали				разбиение
\| В	предыдущем		разделе	мы часто
V / - 1	Т-/\|,	обозначавшееся		через	%~п	На		протяжении остав
шейся части этой главы вместо 1~п будет								использоваться раз
биение T!-n = V/-o Т-/\|, которое					мы	обозначим через 1\| -п.
Лемма		4.32. Пусть 5 =		{0, 1........ k — 1}, а					р — дискретное
вероятностное распределение на S. Для							любых d >			0 и обра
тимой эргодической динамической системы								(Q,	Р, Т), такой,
что Л (Т) ^		Н (р), существует разбиение т] е						3Ck (Q), для которого
			\ d ^ ) - p \ < d							(4.17)
			0 < H ( p ) - h ( T , i])< d.							(4.18)
Доказательство.			Зафиксируем		d >	0	и	выберем		dx < d/6.
Пс\| следствию 4.24 существует разбиение									е 2£, (Q),' для
которого		2 d l < H ( p ) - h ( T , i , ) < 4 d , .								(4.19)

4.5. Кодирование, и основная лемма Орнстейна

229

Пусть d столь мало, что из соотношения |£ — £ '\< d сле дует неравенство |А(Т, £) — А(Т\ £ ')l< ^ i. a d столь мало, что из неравенства | d (£) — d (v )\< d следует неравенство Я (£) < d{ для любых разбиений £, £ 'е 5 > Л(£2). Положим

d2 — min {[Я (р) — A (Т, |,)]/2, Я/4, Я/4, Я/(4Л* + 1)}.

Обозначим через £о начальное разбиение сдвига Бернулли (2(S), цр, В), где |ip — продакт-мера, построенная по распре

делению р. Напомним, что (2(S)$0, d (l0)) = (S, р).

Всилу свойства равномерной распределенности (след

ствие 2.54)	существует	N ь для которого при всех	n ^ N {
выполнены	неравенства
ехр {— п [Я (р) +		d2] } < Up \|V '*(N i5_n (s)^\| <
	< exp {— п [Я (р) — d2] }		(4.20)

для всех s s S ( S ) — В0(п), где В0(п) — некоторое % "-множество,

такое, что	рр (В0 (п)) < d2.
В силу	эргодической теоремы (теорема 1.24) и того обсто

ятельства, что из сходимости п. в. следует почти равномерная
сходимость ’) существует целое число N2, для которого при всех
п > Я 2		п-1
	Е				< d2	(4.21)
		x Z	lbw W s) — pt
	< e S	/- 0
для	всех s e 2 ( S ) —Е0(п),		где	Е0{п) — некоторое		'^"-множе
ство,	такое, что рр (£0 (п)) < d2.			Положим	В0 («) =	В0 {п) 1J Е0(л).
Вновь используя свойство равномерной распределенности,
но на этот раз для		системы (Q, iF, Р, Т), получим целое Я3,
для которого при всех			выполнены неравенства
	ехр { - п [А (Т, I,) +		d2] } < Р		И ) ) <
	<	ехр {— n [А (Т, \|,) — <f2] }				(4.22)

для всех о е й — В (п), где В (п) — некоторое такое ^ “"-множе ство, что Р (В (п)) < d2.

1) Здесь имеется в виду теорема Егорова, согласно которой сходимость последовательности измеримых функций п. в. равносильна существованию множества сколь угодно малой меры, на дополнении к которому сходимость этой последовательности равномерна. — Прим» перев.

230	Гл. 4. Эргодическая			теория
Поскольку d2 < Y [Н (Р) — Л (Т, \|,)], существует целое число Я4,
для которого при	всех t i ^ N 4
4 ехр { - л [Н (р) -			h (Т, 6,) -	2сУ} < 1-	2d2.
Пусть теперь л > тах{Л^ь N2, N3, Nit 2d-1}. Определим под
множества G0(л)	и Gi(n)	пространств		2(S)u_rt и £2u_rt соответ-
ственно как				S,	*,

Go(») = {г: V			(г) с 2 (S) — В0(л)},
G » 4 { / :		,6-*(/)c=Q — В(л)}.

По определению множеств В0(п) и В (л) выполнены неравенства

	(G0 (л)) > 1 — 2е^ и Pi5_n (G, (л)) >						1 — d2. Кроме того,
		>	(1 -	2d2) ехр {л [Я (р) - h (Т, I.) -				2d2] },
где	\| • \| обозначает			число	элементов		множества.		Поскольку
	4’			I G0(л)\| >		4 1G, (л) \|,			(4.23)
т. е.	число	точек в		О0(л)	по	меньшей мере^в			четыре раза
больше числа точек в Gx(л).						э, и s2 — это точки			из множе
Предположим			теперь, что
ства	'i^ n(r)	при	некотором		r s 2 ( S ) i5\ n. Тогда			N6#<>B/ ($1) =
==NSOOB/ (S2) д л я			всех / = 0,		1........ л — 1, и это общее значение
является /"-й		буквой		слова	М\|,_п(г),		состоящего	из символов
						4°	п-1
алфавита S. Таким образом, функция							Х/-о l$o(o(B/s) постоянна

на каждом элементе 1^'"(г) разбиения 1^ 'п, и ее значение на каждом таком элементе равно количеству появлений буквы i e S в слове Mu_n(r). Тем самым, если через ft (л, г) обо-

значить количество букв i в слове	неравенство	(4.21)
примет вид
£ \ h ^ n>	d2	(4.24)
i s S

Теперь мы готовы к тому, чтобы построить башню, которая будет использоваться для кодирования, как это было описано выше. Из усиленной формы теоремы Рохлина (теорема 4.31) следует, что для динамической системы (£2, Р, Т) суще ствует (d2, л)-башня а', для которой

d (V " Л or'(0))==d(,i,- '*).

4.5. Кодирование и основная лемма Орнстейна							231
Заменим башню а'	на башню			а с этажами,		составленными
из элементов Т1[lIj'n(/) Г) о ' (0)], где / е б , (л) и / =						0,	1........« —1.
Для этого положим
сх(0) =	<х'(0)П		П		‘I Г“ (0.
		/ S cTj (п)
<т(/) — Т^сг(0),			/ =		1, 2........ л — 1,
сг (л) =	Q — U <*Ц)-
	/-о
Из неравенств	Pi^-n (G, («)) > 1 — d2 и Р (U/-o T V (0)) >

> 1 — d2 следует, что Р(сг(л)) < 2d2. Таким образом, о является

(2d2, л)-башней, а колонны этой башни,	отвечающие разби
ению li, могут быть помечены словами из	множества Gi (л).
Поскольку множество О0(л) содержит больше точек, чем
множество б 1(л), существует взаимно однозначное отображе

ние	ф, вкладывающее Gi(n) в G0(n). Оно порождает отображе
ние	Ф из	совокупности	слов	в совокупность слов
^М^пСг)!,		где /< = б 1 (л),	rsG o(fl),	по формуле
		ФМ, _„(/) =	М .-Л фО,	/е б ,( л ) .
		«1	«о

Определим разбиение t), применяя описанный выше процесс кодирования к отображению Ф. А именно, для любого i е 5 положим

А1 = иТ, (ог(0)П,|Г п(0).

где объединение берется по всем / е { 0, 1, 2, ... , л — 1} и l^ G i(n ), для которых /-я буква слова ФМ^_„(/) есть i. Допол

ним каждое множество Лг с помощью подмножеств о (л) так, чтобы полученные множества (будем их обозначать по-преж нему Af) образовывали разбиение (Л0. • • •» A*-i} пространства Q. Это и есть искомое разбиение TJ.

Покажем теперь, что т) удовлетворяет условиям (4.17) и (4.18). Рассмотрим сначала условие (4.17). Для каждого Z sG j(n)

обозначим через С(1) колонну с основанием в (0) f) '|Г П(/), т. е.

С (I)= U*Т1['6ГП(0 П о(0)],

и положим Qi = U,e0|(rt)C(/). Напомним, что Q — Q[ = а (л), и, следовательно, Р (Q — Q,) < 2d2.

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 3523 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги