книги / Математическая теория энтропии

/ ----п+ 1

Кроме того,

Ui — liI < Е PM -^nQi) + P(<r(rt))<4rf2<^

А&Ъ|

И h —

По выбору 3 получаем отсюда, что

Более того, в силу соотношений (4.25)

А(Т, tf)< A (T , т] V ог0) < А(Т, л) + Я(а0)< А (Т , л)+ 4 .

A (Т, п') < А (Т, V а0) < А (Т, S) + Я (а0) < h (Т, У + <*,. (4.27)

Здесь мы использовали то обстоятельство, что Я (or0) < dt, поскольку Я(<г(0)) < -^-^d/2, и поэтому | d(a0) — d(v) |< 2«-1< 3. Из неравенств (4.26) и (4.27) получаем, что

А(Т, lO - d i< A ( T , У < A (Т, S0 + di< A (T , л) + 2^,

Следующий этап доказательства основной леммы Орнстейна состоит в обосновании возможности изменить разбиения, рас­ пределения которых близки к данному распределению, таким образом, чтобы полученное разбиение было мало удалено от

данного разбиения в метрике разбиений. Это достигается весьма специальным выбором отображения ср из предыдущей леммы. Для того чтобы правильно выбрать это отображение, мы исполь­

зуем так называемую d-метрику, позволяющую находить рас­ стояние между двумя последовательностями разбиений. Мы не будем подробно рассказывать об этой метрике, ограничившись ее определением и применением в доказательстве очередной

леммы. Подробное и достаточно доступное обсуждение <2-мет- рики можно найти у Шилдса [139]. По поводу применений

d-метрики к изучению случайных последовательностей и в тео­ рии вероятностей см. Орнстейн [101] ').

В приводимой ниже лемме устанавливается условие, обеспе­ чивающее, что две последовательности разбиений, равномерно

близких по распределению, близки также и в Л-метрике.

Лемма 4.34. Пусть (Q/( STt, Pf), / = 1, 2, — непрерывные пространства Лебега, a {gj}" ( — последовательности разбиений из S3k (Qf), / = 1 , 2. Если

последовательность независима,

последовательность Ш}"., с-независима

и

| d (|{) — d ( |2) | < с для 1 = 1 , 2, . . . , п,

то

dn({|{}, {|г}) < 4с.)*

*) Как отмечено редактором перевода статьи [101] на русский язык

d-метрика есть метрика Канторовича — Рубинштейна (или транспортная мет­ рика), отвечающая метрике Хемминга. Она неоднократно переоткрывалась в последующих работах. — Прим. ред.

Доказательство. Оно проводится по индукции и использует то хорошо известное обстоятельство, что для любого непрерыв­ ного вероятностного пространства Q и любого вероятностного распределения {ри ... , pk) — Р существует разбиение 1<=2£к(Q), для которого d (!) = р. Некоторое обобщение этого утверждения приводит к следующему результату.

А1. Если !, и !2 — разбиения из пространств 2Zk(Q[) и & к (Q2) соответственно, то существуют разбиения л, и % из 2Zk (Q), для

п — 1. Предположим теперь, что лемма доказана для п = т и

п. в. на Ет. Из этого неравенства следует, что для каждого элемента В2 разбиения У ^ ,У , содержащегося в Ет,

\d{t?+lnB2 - d { t ? +')\<c.

Поскольку разбиения {У}” */ независимы,

I d (!Г +1 П Pi) — d (!”+1) | — 0

для любого элемента В\ разбиения У ^ У . Тем самым из третьего предположения леммы следует, что

I (Е Г 1П В2) - d ( ! Г ‘ П Bi) I < 2с

для любого элемента В2 разбиения V £.,У, лежащего в Ет, и для любого элемента В\ разбиения У ”_,У.

238 Г л. 4. Эргодическая теория

причем для точек этих множеств выполняются все соотношения <4.20), (4.21), (4.22), (4.23) и (4.24).

множество Gi(n) нёдо заменить на множество G(n) хороших

Ph- n{ G ( n ) ) > \ - d 2

Ю о (я)|> 4 |0 (я)|.

Далее, из усиленной формы теоремы Какутани— Рохлина (теорема 4.31) следует, что для динамической системы (2 (S), ЗГs, р, В) существует такая (d2, л)-башня <х, что

Я (£ )-А (Т , g)< d \.

Следовательно, для любого m > 0

Я (Т"т|) -г- Я (T “ml / V Т-/£) < d[,

и по выбору d\ последовательность {Т”^} является с'-незави-

симой. Кроме того, последовательность {В”^ } состоит из не­ зависимых разбиений. Используя соотношения (4.31) и (4.32),

1 - 0

В силу равенства (4.36) пространства ^ [ст (0)]ig_ra, Я?5-пН 0)^

и ^[a(0)]i6_n, Р?5-.„(-|0)) совпадают, поэтому G0(n) можно счи­

тать подмножеством Qig_„, тем самым для I' е G0 (п) опреде­

Определим теперь подмножество A cz G (я) и взаимно одно­ значное отображение <р из G (я) в G0(n), для которых

минга. [Если а = (аи ... , ап) и Ь — (&,, ... , Ьп), то Ham {а, Ь}—это число позиций, в которых эти упорядоченные наборы различа­ ются.] Для этого при всех / е б ( я ) положим

А'(I) = { V е G0(я): Ham { Мч_„(/'), Ml r „ (1)} < 2 я У ? }

в метрике Хемминга между соответствующими n-именами отно­

сительно разбиений £ и £, меньше, чем 2п V с'. Из предыдущего абзаца ясно, что для этого отношения выполнены условия леммы Холла о существовании системы различных представи­ телей [54] *), и поэтому существует взаимно однозначная функ­ ция <р из Л в G0(ri), такая, что / «знает» ф/. Произвольным образом доопределим ф на множестве G («) — А с помощью значений из множества G0(n)— ф(Л).

Теперь можно определить разбиение т] по отображению ф точно так же, как это делалось в доказательстве леммы 4.32, а затем убедиться в справедливости соотношений | d (ti) — р \ ^ .d и 0 < Я (/э )-А (Т , т])< d .

Для завершения доказательства осталось проверить, что I Л — 1 1< с. Пусть

G (/) = U T4‘r n(0nor(0))

/-0

*) Имеется в виду следующее утверждение (его часто называют «леммой о женитьбе» или со паросочетаниях»): пусть I — конечное множество индек­

элементов, чем А. — Прим, перев.