Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Математическая теория энтропии

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

19.07 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 3518 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

172	Гл. 3. Теория информации

виде схемы, изображенной на рис. 3.2. Поступающее из источ ника сообщение со за каждую единицу времени продвигается нц один символ через регистр сдвига, и в каждый момент времени на выходе кодера находится буква |/ф(<о)]п, являю

щаяся образом слова источника, расположенного в этот мо мент времени в центре регистра сдвига.

Регистр сдвига

Сообщение,

поступающее и) *

из источника

Рис. 3.2.

Это определение можно использовать и при N — оо. В этом

случае /(0О>— это отображение из 2 (S) в А, которое называется скользящим блоковым кодером бесконечной длины. Получен ная в результате кодирования сообщения источника со после-

доЬательность	ф (со) имеет	вид [ф (со)]я = /<00) (Tsco), где	Ts — это
сдриг в 2(S).	Разумеется,	функция ф является кодом	в смысле

определения из разд. 3.3. Обратно, любой код (т. е. метричес

кий	гомоморфизм) ф	из 2(S) в 2 (Л) однозначно определяет
скользящий блоковый		кодер	бесконечной длины /<00) по фор
муле	/<00) (со) = [ф (со)]0.	Кроме	того, каждому скользящему бло-


корому	кодеру бесконечной длины /(<х>) отвечает разбиение про
странства 2 (S), количество элементов			которого совпадает с
числом	символов в алфавите А. Для		этого в качестве /-го
элемента разбиения надо взять		прообраз /-й буквы алфавита
А (относительно отображения f ”\		Наоборот, любое упорядочен

3.6. Кодирование источника	173
ное разбиение \| пространства 2 (S), содержащее	столько же

элементов, сколько букв, в алфавите А, определяет скользящий блоковый кодер бесконечной длины f°°\ если положить /<я>)(ю) =

= а{ для тех ю, которые лежат в t-м элементе \|(t)		разбиения
I. (Здесь неявно предполагается, что алфавит А также упоря
дочен, так что а{— это его i-я буква.)
Точно так же всякому скользящему блоковому кодеру дли
ны N отвечает однозначно определенное разбиение множества
S2N+i, число элементов которого равно	числу букв	в алфави
те А. Более того, существует взаимно	однозначное	соответст

вие	между словами из $2Л,+1 и элементами разбиения V/L
/	Из леммы 1.10 следует, что	любое	^
			измеримое разбиение
пространства 2(S) может быть с		любой	желаемой точностью

приближено разбиением, элементы которого лежат в

Tsls) , если N достаточно велико. После переформулировки в терминах кодеров отсюда вытекает

Лемма 3.3 [49]. Если даны источник [2 (S), р], скользящий блоковый кодер бесконечной длины /1оо): 2 (S) -*■ А и в > 0, го существуют положительное целое число N = N{e, /(оо>) и сколь зящий блоковый кодер Sw+1 —►А длины N, такие, что

И ({со €= 2 (5):

/<00) (ю) ф

f{N) (©—лг........ ю0,

©о,

... ,

©лг)}) < е.

Доказательство. Обозначим через я разбиение пространства

2 (S),

отвечающее /<оо). По

лемме 1.10 существуют число N и

разбиение

rj,

содержащее

столько же элементов,

что

и ц, та

кие, что tj <

Тsis

22* ц (т| (0 Д fj (0) < е.

Определим

функцию

fiN) на S2N+l со

значениями

в множестве

А = {ах,

Ог. •••> ап)> полагая

f N) («о, Su •

• •. S2N+1) = at

тогда

и только

тогда, когда

{©: ©_JV= «о,

....

©лг = S2N+1} <=

(i).

Ясно,

что f N) —это

скользящий блоковый

кодер длины N и

р ({©: /(оо) (ю) Ф f N) (ю-лг, ... .

©лг)}) ^ е.

Доказанная

лемма утверждает, что

если

на

вход

кодеров

/("> и f{N)

поступают

одни

те же сообщения

из

источника

[2 (S), р],

то

в любой

момент

времени

вероятность

того, что

на выходе у них будет находиться одна и та же буква, не меньше, чем 1 — в.

174 Гл. 3. Теория информации

Другое наблюдение позволит нам оценить число ошибочных символов на выходе, возникших из-за одной ошибки на входе.

Теорема 3.4.		Пусть	f N): S2N+l -*■ А — скользящий			блоковый
кодер	длины N,	a {Wn} и {К„} — две		стационарные		случайные
последовательности со значениями в S,				определенные на одном
и том же вероятностном пространстве (£2, £F", Р). Тогда
P { f N) (W-H, ....		Wo........	WN) ¥ * f N) {V-N...........		Vo...........	VN)}<
		^ ( 2 N + l ) P { W 0¥*V0}.
Доказательство. Оно сводится к следующей выкладке:
	р if{N) {W-N.........		WN) * fm (V .N............		м <
<	P {со: (W . N(со), . . . , W N(со)) ф (V_N(со)..........				VN(со))} ^
< P ( J J ^ {®: Wt (со)			Ф Vt (со)}) <
<	(2N + 1) P { со: W0(со) Ф V0(со)} =
=	(2ЛГ+1) Я { Г 0> М .

Для того чтобы сформулировать и доказать теорему о				бес-
шумовом скользящем блоковом кодировании источника,				нам
теперь необходимо ввести понятие пары кодер-декодер				')
для	источника.	Как и можно было предполагать,	это не	что
иное,	как пара	скользящих блоковых кодеров fp :	S2A,+1—»-Л

и /о*’: А2(М,+1 —*■5. Ошибки, возникающие при использовании пары кодер-декодер, можно считать шумами. Обозначим через 8

множество всех тех сообщений coe2(S), для				которых исполь^
зование данной пары		кодер-декодер приводит		к ошибке, т. е.
8 =	{со s 2 (5): со0 Ф f T	о	о TJM(со), . . . ,	о N* о т £ («,))},
где	N'v: 2 (5)-► S2W+I — это естественЦая проекция, т. е. N^(0 )==

= (a>_w..........®лс)- Про пару кодер-декодер говорят, что она является е-бесшумовой (e-noiseless), если р(!Г )^е, и что она является бесшумовой, если р (8 ) = 0, т. е. если вероятность возникновения ошибки при декодировании равна нулю.

Теорема 3.5 [49]. Если два источника [2(5), р] и [2(Л), v]


изоморфны, то существует бесшумовая> пара (/в0’,					состоя
щая	из кодера и декодера бесконечной		длины, такая, что ре
зультатом		кодирования источника [2(S),	р]	с помощью кодера
является источник [2(Л), v]. Более того,				для любого е > 0
]) Здесь		Е и D — это начальные буквы английских слов			encoder и de
coder	(кодер	и декодер). Иногда эту пару называют «кодек». — Прим. перев.

3.6. Кодирование источника	175
существует е-бесшумовая пара {fp, f p ) , состоящая	из кодера

и декодера конечной длины, такая, что случайный процесс, полу

ченный кодированием источника [2(S),			ц],	отстоит от [2 (Л), v]
не более чем на г в d-метрике.
Доказательство. В силу изоморфности				источников [2 (S), р]
и [2 (Л), v]	существует	обратимый код		<р: 2 (S) —►2 (А) (см.
разд. 3.3).	Обозначим	через f p и f P	скользящие блоковые

кодеры бесконечной длины, отвечающие отображениям q> и ф“ * соответственно. Применяя лемму 3.3 к fP , поучим скользя

щий блоковый кодер конечной длины fp : i42M+1-*S, такой, что

v( {«/€== 2(A):

!{о Чу) ф №Чу- м......... Ум)})<Ф -

Поскольку ф — изоморфизм,

p({*€=2(S): №(<р(х))Ф/Р.((<Р(х))-м..........(ф М Ы ) ) -

= V ( {у s 2 (A): f P (у) ф f P (у_м, . . . ,

Ум)\ ) < е/2.

(3.1)

Вновь применяя лемму 3.3, теперь уже к fP , получим такой

кодер f p

конечной длины,

что

р ( {JCе

2 (S): f P

(х) Ф

f P

(x_N, ... ,

*„)} ) <

. (3.2)

Определим отображение г:

2 (S)-*S,

полагая

z{x) =

f P )'X

X ((ф (*))-м. • • • , (ф(*))*),

т. е. г (х) — это

буква, получающаяся

в результате

прохождения сообщения х через кодер f P

беско

нечной длины и декодер

конечной-ляины f p .

Аналогичным

образом определим отображение J£: 2

формулой

* (х) =

f P ( f P оNwоTJM(х),

. . . , f P оNwо Т ?(*)),

так что

it(x) — это

буква,

получающаяся

при

прохождении

сообщения через кодер и декодер

конечной длины.

у) = 0

Зададим

функцию

d: S X S -*•{(), 1},

считая

d(x,

для х =

и d(x, у) =

1 для х Ф у . Тогда

I» (#) =

5 25(S)1* (<**) d {xQ,

Si (x)) <

jj2(S)P (dx) d (x0,

z (x)) +

Sso)ft(^ )d (zW *

(3-3)

Определим теперь

стационарные последовательности

{ Wn}

и {Vn} соотношениями Wn(х) = f p

0Ts (x)

и Vn (x) = f p о Nw °

о Ts(x).

Применяя

теорему

3.4 к

последовательностям

{№„},


176	Гл. 3. Теория информации
{У,,} и кодеру	\ получим, что
5£(S)p.(^)rf(zW ,		t (х)) = р ({ лг: z(x) Ф £ ( х ) } ) ^
< ( 2 М + 1 ) р { * :		\Р0(х)ФУ „(*)} =
= (2Л1 +	1) P ({ x: PP (x) ф p p (_,		« ...	xN) } ).
Тогда в силу неравенства (3.2)
	$2(5)Р (dx) d (г (х), * (х)) <		е/2.	(3.4)

Поскольку ср —это изоморфизм, а / ^ — отвечающий ему скользящий блоковый кодер бесконечной длины, то

ц{х<=2 (S): х0Ф г (х) } = ц{х: РР (ф (х)) Ф РР ((Ф (*))_*„ ...

••• . (<P W)JH)},

апотому на основании неравенства (3.1)

	$S(S)H(rf)rf(, Z W )<8/2.	(3.5)
Сочетание неравенств (3.4) и, (3.5) с соотношением		(3.3) дает
н^м, что	ц (1 )< е .
Более	того, если заметить, что стационарный процесс, опре

деляемый кодером РР (т. е. введенная выше случайная после довательность {Wn}), совпадает со случайным процессом, опре деляемым источником [2(Л), v], то из неравенства (3.2) сле

дует, что закодированный процесс, полученный с помощью ко
дера	рр, отстоит от процесса	(2(Л), v] не более чем на е/(4М +
-fi 2)	в d-метрике. Тем самым	теорема доказана.

Сочетание доказанной теоремы с теоремой Орнстейна об изоморфизме (достаточность равенства энтропий для изомор физма систем Бернулли; см. теорему 4.38) позволяет получить следующий результат.

Следствие 3.6. Если [2(5), р] и [2 (A), v] — бернуллиевские источники с равной энтропией, то существует бесшумовая пара, состоящая из кодера и декодера бесконечной длины, такая, что

результатом кодирования источника [2 (5),	р] является источник
[2 (Л), v]. Более того, для любого е > 0	существует г-бесшумо-

воя плра, состоящая из кодера и декодера конечной длины, та кая, что случайный процесс, полученный кодированием источни

ка, [2 (5), |х], отстоит от [2 (Л), v] не более чем на г в d-метрике.

3.6. Кодирование источника

177

Для того чтобы применить теорему 3.5 к задаче о коди ровании источника, т. е. в той ситуации, когда .при кодирова нии полученных из источника сообщений для передачи по каналу энтропия падает, в качестве источника [2 (Л), v] из теоремы 3.5 возьмем последовательность независимых оди


наково распределенных				равновероятных символов, т. е. сдвиг
Бернулли	с	равномерным			распределением,			так что А(ТЛ) =
= log£,	где	k — число		букв		в	алфавите	Л.	Такой	выбор
[2 (Л), v]	является		наиболее			эффективным,			поскольку	этот
источник	обладает		наименьшей				возможной		избыточностью
(т. е. его	энтропия		максимальна). При таком выборе [2 (Л), v]
теорема	3.5	утверждает,			что	источник [2(S), р] может быть

закодирован с помощью некоторой е-бесшумовой пары так, что полученный при этом процесс будет достаточно близок к [2 (Л),

v] в d-метрике. Например, любой источник, энтропия которого составляет один бит на символ, может быть закодирован в

процесс, сколь угодно близкий в <1-метрике к последователь ности независимых подбрасываний правильной монеты. Более того, кодирование при этом можно осуществить так, что ве роятность появления ошибки при декодировании будет сколь угодна мала.

Теперь наше внимание будет сосредоточено на задаче о кодировании источника при наличии некоторого критерия точ ности воспроизведения. Как уже говорилось в разд. 3.1, мы не будем касаться обычной зависимости “скорость как функ ция искажения". Вместо этого мы обсудим связь понятия кри терия точности с р-расстоянием между стационарными процес сами [50]. Это расстояние является естественным обобщением

введенного выше d-расстояния. Связь между р-метрикой и скоростью как функцией искажения подробно рассматривается


в [51].	задан		эргодический	источник		[2(5), р] с конечным
Пусть
алфавитом 5. Через Л обозначим					алфавит пространства				вос
произведения		(2 (Л), &~а)‘ Неотрицательной					мерой искажения
отдельной	буквы		называется	заданная		на множестве			is, а)
.неотрицательная			функция р. Для		фиксированной			пары
значение р (s, а) можно считать				искажением			или	штрафом за
то, что буква		источника s воспроизводится					как а.

Пусть /(ЛГ): S2W+1 -*■ А — скользящий блоковый кодер, а (Х„) — стационарный случайный процесс, определенный на простран стве [2(S), р] по формуле

(©) = f N) ifOn-N, •. •, Юп+w)-

Если р — неотрицательная	мера	искажения отдельной буквы,
то средним искажением	при	использовании скользящего

178 Гл. 3. Теория информации

блокового кодера	будет
р (/<">) =	£ ( р ( о > о Д о ) ) =	\ ц (^ ) р (( О о Д о ( © ) ) .
	I	S(S)
Заметим, что пространством		реализаций процесса Хп (т. е.

пространством последовательностей {^„ (©)}"__„,) является 2 (Л),


поэтому		на пространстве (2(Л),			А)	возникает	мера v. Энтро
пию	динамической		системы	(2 (Л),		А, v, Тл),		где	Тл —это
сдвиг	в пространстве		воспроизведения, будем				называть энтро
пией скользящего блокового				кодера		и обозначать			ее через
h ( f w ),		т. е. h(fw ) = h(Тд).			источника		является его за
Поскольку целью			кодирования
мена на близкий к нему источник,						имеющий	меньшую энтро
пию, мера их близости должна быть выражена								через р. Это
можно		сделать с использованием				величины,	известной как

наилучшая теоретически возможная эффективность, которая оп ределяется следующим образом.

При заданных		положительном числе R (наибольшей допу
стимой	скорости)	и блоковой длине N определим величину
б (R, N)	как	6 (Я, N) = ini{9 ( f N%
		6 (Я, N) = ini{9 ( f N%

где инфимум берется по всем таким кодерам f{N\ что h (/<JV)) Тогда наилучшая теоретически возможная эффектив

ность б (R) определяется как

б (R) — inf {б (R, N): N > 0}.

Из определения видно, что b(R) — это наименьшее среднее искажение на единицу времени, которое может быть достиг

нуто при использовании скользящего			блокового кодера конеч
ной длины для канала со скоростью			передачи	информации R.
Заметим, что b{R) = limN-*oob(R, N) и б является непрерыв
ной функцией R.	и [2 (Л), v] — два	источника,		а р — заданная
Если [2(5), р]
неотрицательная	мера искажения	отдельной буквы на 5 X Л,
то р-расстоянием	между этими источниками называется вели
чина
р ([2 (5), р],	[2 (Л), v]) = inf	$	р [d (х, у)] р (х0, Уо)>
	2 (S) х		X (Л)
где инфимум берется по всем стационарным мерам р на 2 (5) X
X 2 (Л), таким,	что р (2 (S) X £) =	v (£) и Р (£ X 2 (Л)) = р (Е).

Рассматривавшаяся выше d-метрика является частным случаем

этой метрики	для такой функции р, что р(х, у) — 0 при х — у
и р (х, у) = 1	при х Ф у .

3.6. Кодирование источника	179
Теперь мы готовы к тому, чтобы сформулировать	теорему

о кодировании источника при наличии критерия точности вос произведения.

Теорема 3.7 [50].	Если	[2 (S), р] — эргодический		источник,
алфавит S конечен, а р	— некоторая		неотрицательная	мера ис
кажения отдельной буквы,		то
6(T?) = inf{p([2(S),p],			[2 (Л), v])},

где инфимум берется по всем процессам [2 (Л), v] таким, что алфавит А конечен и h(TA) ^ R .

В этой теореме говорится о том, что наименьшее искаже ние, возможное при использовании скользящего блокового ко дера источника, совпадает с р-расстоянйем между источником и ближайшим к нему процессом, энтропия которого не пре


восходит заданной			величины.
Из		определения 6(7?) непосредственно следует, что
		б (7?) >		inf {р ([2 (S),p], [2 (Л), v])},
поскольку для любого				кодера f N) конечной длины, такого,					что
р (/(ЛГ))		отличается	от 6(7?) не более чем на е, определяемая						им
мера	р	на 2 (Л) обладает тем				свойством, что энтропия [2 (Л),
р] не	превосходит		7? и р ([2 (S), р], [2 (Л), р]) < б (7?) + е.
Обратное неравенство вытекает из следующей леммы.
Лемма 3.8. Если [2 (S), р] и						S	[2 (Л), v] — эргодические источ
ники с конечными алфавитами							и А, р —неотрицательная		ме
ра искажения отдельной					буквы		и 6 > О, то существует целое
число N0, такое, что для					любого		N ^ N 0	найдется скользящий-
блоковый кодер			источника [2(S), р],					такой, что

P(/W) < P ( P ( S ) , р], [2 (Л Ы ) + 6

h(f(N)) ^ h { Тд) + 6 .

В доказательстве этой леммы используется рассуждение, несколько отличающееся от тех, которые применяются в обыч ной теореме о блоковом кодировании источника. Там доказа тельство основывается на рассмотрении некоторого множества случайных кодов и последующей проверке того, что в этом множестве найдется хотя бы один код, который будет почти оптимальным. Для случая скользящих блоковых кодеров до казательство включает в себя нахождение хорошего описания для совместного процесса ') в рамках процесса, представляющего

') То есть процесса, отвечающего паре источников, рассматриваемых вместе. — Прим, перев.

180	Гл. 3. Теория информации
только	один источник. Это описание (башня) в свою оче

редь позволяет построить скользящий блоковый кодер. Указан ное соображения близки к используемым при доказательстве теоремы об изоморфизме (см. разд. 4.5). Хотя эта конструкци!я также имеет ограниченное практическое применение, она неравно привела к построению класса кодов, которые, возмож-

но[	будут действительно		использованы.	при доказатель
I Понятие,		которое мы	хотим использовать
стве	леммы	3.8, — это (е, я)-башня ')• Вопрос		о существовании

таких башен подробно обсуждается в разд. 4.5 следующей


глрвы, поэтому здесь мы лишь введем необходимые								обозначе
нии.	Р, Т) — обратимая динамическая система, а £ —
I Пусть (Q,
конечное упорядоченное			разбиение пространства				Q с элемен
тами £(»). t — 1, 2, ....			k. Дискретное вероятностное					распреде
ление (Р(£(1)).........		Р (£(&)) называется			распределением				этого
рарбиения и обозначается через d(Q. Для любого								множества
разбиение		V /JoT -/£ (его		элементы		считаются			упоря
доченными	лексикографически)			определяет		на	Е	упорядо
ченное разбиение		£(] (V"Io T-/i).		Если	Р ( £ )>		0,	то	через

d(Ef ) (V"~QT-/|))

будем

обозначать

распределение

этого

разбиения,

рассматриваемого

как

разбиение

пространства

(Ei SFв, Ре)-

Усиленная форма

теоремы

Какутани — Рохлина

(теорема

4.31)

гласит,

что

если

(Q,

Р, Т) — эргодиче-

ская

динамическая система,

£ — конечное

разбиение про

странства

Q, то для любых положительного

числа с

и поло

жительного целого числа я существует

множество Е е

та

кое,

что

множества Е, ТЕ, ..., Тп_1£

попарно

не пересека

ются,

р ( и ; : ‘т /£ ) >

1 - с

d ( v ; : i T _/i ) = d ( p n v ; : o т~'б).

Иными словами,

подмножество

пространства Q,

имеющее ме

ру! не меньше чем 1 — с,

может быть разбито на я непересе-

каЬщихся

множеств,

полученных

сдвигами лежащего

в осно

вании множества,

которое

не зависит от разбиения V "jjT _/£.

Разбиение

а пространства Q на я +

множество

<т(0), ст(1), ...

... , <т(я)

называется

(с, я)-башней,

если

Tfa(0) = a(j)

для /==

= 0,

........ я — 1 и Р(ст(я))<с.

Оснащенной (с, я)-башней на

зывается

(с, я)-башня

вместе

разбиением

£, таким, что

a qv;~o т - 'i ) = d (а (о) n v ; : j T - 'I ).

Предположение об эргодичности не является обязательным в теореме Какутани — Рохлин^. У Халмоша [56] приводится доказательство, в котором используется только апериодичность)*

*) В оригинале — (е, /z)-stack. — Прим, перев.

3.6. Кодирование источника

181

метрического автоморфизма Т , т. е. то, что множество перио дических точек имеет нулевую меру *)• Усиленная форма тео ремы Какутани — Рохлина выводится из ее обычной формы и также справедлива для всех апериодических автоморфизмов 2)*. Мы приводим здесь эти . пояснения по той причине, что в до казательстве леммы 3.8 усиленная форма теоремы Какутани — Рохлина применяется к автоморфизму Т , который апериодичен, но не обязательно является эргодическим. Дело в том, что даже если автоморфизмы Т д и Т$ эргодичны, их произ ведение Т5 X Т д не обязано быть эргодическим, хотя оно и апериодично.

Доказательство леммы 3.8. Пусть [2(S), р] и [2 (Л), v] — эргодические источники, 6 > 0, а р — стационарная мера, на 2 (S) X 2 (Л) с правильными маргинальными распределениями, такая, что

5	Р [d (X, у)] Р (Х„(*),				Ко (у)) < Р (Р (S), ц],		[2 (Л), V]) + б/З.
2 (S) X X (Л)
[Здесь Х0 и Уо обозначают					проекцию на	нулевую координату
в пространствах 2 (S) и 2 (Л) соответственно.]
Обозначим		через	Т	метрический автоморфизм пространства
(2 (S) X 2 (Л),		s X	а>Р)> определенный			формулой Т (х , у) =
= (Ts (х), Т д (у)) — (Ts X Т д ) (х , у). Пусть \|						и л — разбиения про
странства 2(5)Х2(Л),				такие, что £f]2(S) — начальное разбие
ние пространства 2 (S),				a ч Л 2 (Л) — начальное разбиение 2 (Л).
Иначе	говоря,	I (/) =	{(*, у): Х0 (х) = s(} для				/ = 1, 2........ I и
Л ( / ) —	{(•*. У)- Уо («/) =		«/} Для /' = 1, 2, . . . ,			А.
Разбиение \| V Ч является образующим для Т, автоморфизм
Ts изоморфен		факторавтоморфизму Т ^ ,				где £“ = УП—вД*!,

и автоморфизм Т д изоморфен факторавтоморфизму Т ^ » . Более

того, автоморфизм Т		апериодичен (поскольку					Ts	и Т д эргодич
ны)	и			k	i
				k	i
S	' Р [d (х, У)] Р(Х0(*)> Ко (У)) = £				£	р (S<) Q/) р It (i) n Ч (/)).
I ( S ) X X W )				/ - 1 <-1
Поскольку Т д изоморфен			Т ^оо,	а разбиение ч конечно,
	h ( Т д ) =	А ( Т ,	t\|) =	П т 1	Я ( V Т		- ' ч )	-
				п-+оо п	\ i -	0	/

*) Исходное доказательство Рохлина [124] также использует апериодич ность. — Прим. перев.

2) См. [156]; — Прим, перев.

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 3518 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги