книги / Математическая теория энтропии

заключающееся в повороте единичной окружности на угол 2яа. Иначе говоря, для любого вещественного числа а преобразо­ вание Ra определено на Тх формулой Ra (e2nix) — е2л1<х+а\ Ясно,

Поскольку Re — метрический автоморфизм, из следствия 2.41 вытекает, что A(Ra) = 0.

2.12.8. Эргодические автоморфизмы компактных абелевых групп

Пусть G — компактная абелева группа, a m — мера Хаара на (пополненной) о-алгебре ЗВ борелевских подмножеств G. Поскольку группа G компактна, мера Хаара конечна, и мы можем считать, что она является вёроятностнЬЙ мерой *). Если А — произвольный (алгебраический) автоморфизм группы G, то А является метрическим автоморфизмом пространства (G, 38, т).

поскольку мера т инвариантна относительно 'сдвигов. Тем самым

m'(B + g) = m'(B)

■) Для того чтобы пространство (G, 3), т) было пространством Лебега, группа G должна быть сепарабельной. — Прим, перев.

только два измеримых групповых автоморфизма Г,: тождест­ венный и автоморфизм комплексного сопряжения. Оба этих автоморфизма имеют нулевую энтропию и неэргодичны.

Другие примеры доставляются многомерными торами с их мерами Хаара. Пусть (Г„, Жп, уп) — прямое произведение п экземпляров пространства (Г,, Жи Yi). Групповые эндоморфизмы

(Тп,[Ж„ у„).

Автоморфизмы, отвечающие матрицам, ни одно из собст­ венных значений которых не является корнем из единицы, эргбдичны. Энтропия таких автоморфизмов определяется фор­ мулой

h (А (М)) = X log I ai I,

I- 1

где { at: i= 1, 2, ... , к } — множество собственных значений М, абсолютная величина которых больше единицы.

Этот результат был доказан для п = 2 Синаем [142], а в об­ щем) случае Бергом [17].

Кацнельсон [63] показал, что автоморфизмы конечномерных

казал, что эргодические (алгебраические) автоморфизмы ком­ пактных абелевых групп — бернуллиевские, и отметил, что его методы могут быть применены и в неабелевом случае. С по­ мощью других средств этот же результат был независимо получен Майлсом и Томасом [83—85]. В работе [80] Линд также показал, что множество значений, которые может при­ нимать энтропия групповых автоморфизмов, или совпадает

') т ак как мера Хаара единственна с точностью до постоянного множителя.|— Прим, перев.

с множеством всех неотрицательных вещественных чисел, или счетно в зависимости от решения стоящей уже около 40 лет проблемы Лемера из алгебраической теории чисел. А именно,

если р (*)-IL (* — ^t) ~ многочлен с целыми коэффициентами без кратных корней и со свободным членом ±1, то может ли

= ©/+i], называется сдвигом Бернулли. Мы показали в при­

Бернулли, с той лишь разницей, что вместо продакт-меры используется марковская мера. Эта мера определяется по на­ чальному вероятностному распределению f и матрице А пере­

X /-i а*/— 1 для t = l, 2, ... , k. Кроме того, пусть {/(i): i е S } — дискретное вероятностное распределение на S, такое,

Пусть G = {go < gt < ... < gfi} — конечное множество целых чисел. Определим на цилиндрических множествах вида

где /0, tj, ... , iN выбраны из 5, функцию Ра формулой

где через dfj обозначены элементы матрицы AL , I-й степени матрицы А. Функция Ра обычным образом продолжается на

') То есть А — матрица переходных вероятностей марковской цепи с мно­

жеством состояний S, а f — стационарное распределение этой цепи.— Ярил.

перев.

148 Гл. 2. Энтропия и информация

2.1$.13. Преобразования непрерывных дробей

Определим на интервале / преобразование G формулой

Подобно тому Как системы (/, SB, X, Тг) изоморфны одно­ сторонним сдвигам Бернулли, Система (/, SB, р, G) изоморфна одностороннему сдвигу в пространстве последовательностей целых чисел. Связующий изоморфизм ставит в соответствие числу х е / последовательность (а0, at, а2, ...) целых чисел, возникающую при разложении х в непрерывную дробь, т. е. хн4э"(ао, ах, ...) тогда и только тогда, когда х — lim хп, где

х„ — (°о + (й| + • • • + (яп + I)- *. • - ) 1)-1 (в этом выражении ra-f; 1 пара скобок). Первым преобразование G изучал Гаусс1).

См, также статьи Хартмана [58] и Перри [ПО].

2.12.14. f -преобразования

Описываемые здесь системы обобщают примеры из разд. 2.12.12 и 2.12.13. Эргодические (свойства этих систем изучались Рецьи [120] и Хартманом [58], а их энтропия была вычислена Рохлиным [125] и Перри [111].

Пусть f — положительная монотонная функция с вещест­ венными значениями. Для каждого положительного вещественHorjo числа х индуктивно определим две последовательности (а^(х)} и {г„(х)} следующим образом:

Реньи [120] показал, что при некоторых условиях на / каж­

1) Поэтому G часто называют преобразованием Гаусса. — Прим, перев.

Приведенные значения энтропии получаются по формуле Перри. [Формула для ft (Tf,) справедлива только для тех значений а й Р, при которых эндоморфизм Tf, сильно эргодичен.] Подроб­ ности см. в [ПО], [111].

2.13.Л-ЭНТРОПИЯ и г-ЭНТРОПИЯ

Вэтом разделе бписываются обобщения инварианта Кол­ могорова — Синая и : скорости создания информации, которые иногда оказываются полезными. Мы не будем изучать их под­ робно, а ограничимся лишь определениями и указанием при­ менений. ;

Первое обобщение было предложено Кушниренко [73]

сиспользованием принадлежащего Кириллову [67] определения

иназвано им Л-энтропией *)• Оно состоит в вычислении ско­ рости создания информации вдоль некоторой подпоследовгр тельности моментов времени.

Определение 2.62. Пусть (Q, tF, Р, Т)—динамическая система и A — {nj} — последовательность целых положительных чисел.

А-энтропия преобразования Т, или энтропия Т вдоль последо­ вательности А, обозначается через АЛ(Т) и определяется как

hA(Т) = sup {ft.4(Т, 1): ё — конечное разбиение}

где

Нетрудно видеть, что hA(Т) является метрическим инва­ риантом динамической системы и что ЛЛ(Т)^Л (Г) для любой последовательности А. Именно это свойство делает Л-энтропию полезной, позволяя различать неизоморфные динамические системы с нулевой энтропией. Кушниренко [73] использовал

энтропию вдоль последовательности {21} для доказательства того, что поток орициклов на компактном двумерном ориенти­ руемом многообразии постоянной отрицательной кривизны не изоморфен своему дёкартовому квадрату. Как сам этот поток (т. е. автоморфизм, возникающий при t — 1), так и его квадрат имеют нулевую энтропию и непрерывные спектры. В той же работе показано, что динамическая система имеет дискретный спектр (см. гл. 4) тогда и только тогда, когда ее Л-энтропия равна нулю для любой последовательности Л. Салески [135, 136] использовал Л-энтропию для изучения различных видов перемешивания, а Уолтерс [161] применил ее для построения

•) В оригинале также используется термин sequence entropy. — Прим,

перев.