книги / Математическая теория энтропии

тогда

$Р(Ао)*(©)> 0.

А

Доказательство. Определим на пространстве интегрируемых

случайных величин, т. е. на Ll (Q, Т , Р), операторы 5„ и следующим образом:

если п — 0,

(Snx)(a)

(Sn х) (и) = max {S* (и): k = 0, 1, 2, . . . . п}.

Заметим, что S ix ^ O и что множества Л„ = {©: Snx(w)>0} образуют возрастающую последовательность измеримых мно­ жеств, объединение которых есть А.

Если &= 0, 1, ... , п, то Snх ^ Skx, откуда Six о Т ^ Skx о Т.

Поэтому

* + S/t*°Ti>x-t-S*xoT = St+,*, 6 = 0, 1,

или же

x + S^xoT>S*x, 6 = 1, 2, ... , /г+ 1,

и поэтому

х + s ix ° Т > шах {Sftx: 1 ^ k ^ п).

Поскольку S n * > 0 на множестве Ап и SoX = 0,

max{S*x: 1 ^ 6 ^ / t } = SnX

откуда в силу неотрицательности функции SnX°T и того, что SnX = 0 на множестве Q — Ап, следует неравенство

Поскольку преобразование Т сохраняет меру, правая часть этого неравенства равна нулю. Множества Ап сходятся к А возрастая, поэтому лемма доказана.

Теорема 1.24 (эргодическая теорема). Если (Л, ЗГ, Р, Т)— эр-

еодичная динамическая система, а х — интегрируемая вещест­ венная случайная величина на пространстве Q,.ro

инвариантным. Поэтому можно применить максимальную эргодическую лемму к ограничению функции *(©) —Ь на множество О (с, V) и получить, что

P id a )x> b P (Л),

где

п - 1

A = {o e Q (o , 6): sup~У * (х —Мо)оТ/(ю) > 0).

Применение аналогичного рассуждения к ограничению функ­ ции а — х (и) на множество Q (а, Ь) дает неравенство

^ Р (da) x^.aP (Q (a, 6)).

0(о.6)

Поэтому

(b — a)P (Q(a, 6))< 0 . Поскольку b — a > 0 , получаем, что P(Q(a, b)) = 0.

ница, поэтому любая функция, являющаяся измеримой отно­ сительно этой e-алгебры, должна быть п. в. постоянна. Таким образом,

k = ^ Р (da) к (to) я** ^ Р (da) х (а).

рованной сходимости немедленно следует, что доказанная схо­ димость имеет место не только п. в., но и в норме пространства £Л В общем случае это утверждение может быть получено с помощью аппроксимации х ограниченными функциями.

Имеются и более общие варианты эргодической теоремы1), однако для наших целей достаточно приведенной формули­ ровки. Сходимость в среднем в эргодической теореме была до­ казана фон Нейманом, а сходимость п. в. — Биркгофом. Поэто­ му, говоря о сходимости в среднем, эту теорему называют эргодической теоремой «в среднем> или теоремой, фон Неймана, а говоря о поточечной сходимости п. в., — индивидуальной эргоди­ ческой теоремой или теоремой Биркгофа2).

Перейдем теперь к рассмотрению случайных последователь­

принимающих значения из некоторого множества Г. Обозначим

которого случайного испытания, проводимого в момент времени п,

то —это совокупность событий, определяемых поведением случайного процесса {*„} от бесконечного прошлого вплоть до

ницей, чтоздесь в качестве к следует взять условное математическое ожи­ дание х относительно cr-алгебры Т-инвариантных множеств. В этом случае динамическая система (£2, ЗГ, Р, Т) может быть разложена на эргодические компоненты в следующем смысле: на п. в. элементах С измеримого раз­

биения пространства Q, отвечающего о-алгебре инвариантных множеств, эн­ доморфизм Т определяет преобразования Тс, которые эргодичны и сохраняют условную меру на С. Такое разложение единственно (modO). По поводу об­ общений и дугах доказательств эргодической теоремы см. Katznelson, Weiss

дической теоремой называют утверждение о-сходимости средних в норме пространства L* доказанное впервые фон Нейманом операторными методами. Индивидуальной эргодической теоремой, или теоремой Биркгофа (а также Биркгофа— Хинчина), называют утверждение о сходимости средних п. в., откуда легко выводится сходимость в норме L* или L*. — Прим, перев.

76 Га. 1. Сведения из теории вероятностей

траекторий случайного процесса на всем их протяжении, и со­ бытиям, определяемым бесконечным прошлым процесса.

В случае когда рассматриваемые случайные величины при­ нимают вещественные значения и их математические ожидания (т. е. интегралы хп) конечны, значение условного математиче­ ского ожидания случайной величины хп+\ относительно разбие­ ния показывает, каким образом знание исходов всех случай­ ных испытаний до момента времени п влияет на ожидаемое зна­ чение исхода испытания, проводящегося в следующий момент времени. Если условное математическое ожидание хп+\ относи­ тельно разбиения \ п совпадает со случайной величиной хп, то знание прошлого никак не скажется на том, чего можно ожи­ дать от будущего. Например, пусть хп— это суммарный выиг­ рыш к моменту времени п игрока, участвующего в какой-то азартной игре. После того как он сыграл п раз, ему известен общий выигрыш хп. Условное Математическое ожидание хп+\ относительно разбиения — это ожидаемое значение его выиг­ рыша по окончании следующей Партии, вычисленное с учетом исходов всех предыдущих партий! Если это условное математи­ ческое ожидание совпадает с текущим значением общего выиг­ рыша, то игру можно считать «справедливой», поскольку в этом случае знание прошлого не может увеличить или уменьшить ожидаемое значение будущего выигрыша. Подобные процессы называются мартингалами.

Определение 1.25. Пусть {хп: / i e Z + } - последовательность вещественнозначных случайных величин, а { £„ } — такая после­ довательность измеримых разбиений, что случайная величина хп является £п-измеримой при любом п. Последовательность слу­ чайных величин {хп} называется мартингалом относительно последовательности разбиений {£„}, если £ „ ^ £ я + 1 для любого n e Z + и

Е П(^т) == %п

при всех ш > п. Последовательность { хп} называется обращен- ным-мартингалом относительно последовательности разбиений {!„}, если £ „> £ „+1 и

Е^т(хп) = хт для всех т > п .

Дубу принадлежит теорема о сходимости мартингалов и обращенных мартингалов. Ее доказательство, подобно доказа­ тельству эргодической теоремы, основывается на одной лемме, которую мы сформулируем и докажем, перед тем как сформу­ лировать теорему о сходимости мартингалов. Предварительно введем необходимые обозначения.

дината некоторой движущейся частицы в момент времени j.

f t * * 00

ограниченности {у„} сходимость здесь имеет место и в /.‘-норме. Зафиксируем е > 0 и Л е Г - Поскольку уп-* у в пространстве

для всех А е Поскольку условное математическое ожидание единственно, у = Е*(х) п. в.

Приводимый далее пример имеет существенное значение. Пусть (£2, SF, Р, Т) — обратимая динамическая система, а ко­ нечное измеримое разбиение пространства Q. Если положить

i n=* V jlnT-/I, то Т-1| п = £я+1 и £„>!„+,. Последовательность {!„}“_© является убывающей, и для любого множества Е <=&"

последовательность случайных величин Р*п(а, Е) = Е*п (1в) об­ разует обращенный мартингал, поэтому в силу следствия 1.27