книги / Моделирование контактных явлений при абразивном глобоидном зубохонинговании

Точная формулировка уравнения (36) применительно к изменяющемуся во времени объему может быть записана в виде

Рис. 103. Иллюстрация типичной ячейки с центром в точке P, граничащей с ячейкой, центр которой в точке N

Далее представлены основные требования, необходимые при проведении полной дискретизации методом контрольных объемов, а именно дискретизации по времени и по конвективным составляющим.

Пространственная дискретизация

Метод описания конвекционных и диффузионных потоков с использованием приведенных к центру ячейки значений функций в узлах сетки является одним из ключевых методов, которые определяют точность и устойчивость как стационарных, так и нестационарных расчетов. Существует два главных класса аппроксимации конвективных потоков, которые широко применяются:

– схемы низкой аппроксимации для дискретной формы уравнений, которые легко решаются и дают результаты с весьма реальной физической картиной явления, но иногда дают размытые градиенты. Это явление известно под названием «численная диффузия». Оно

101

является ошибкой усечения, которая уменьшается по мере измельчения сетки, но при этом увеличивается время счета;

– схемы высокой аппроксимации, которые лучше сохраняют градиенты, но в результате могут получиться уравнения, которые труднее решаются (а иногда вызывают появление численной неустойчивости) и/или выдают решения с нефизическими пространственными осцилляциями. В некоторых случаях они приводят к ложным значениям, например к отрицательной концентрации веществ или турбулентной кинетической энергии. Это явление часто именуют численной дисперсией, которая также может быть уменьшена по мере измельчения сетки или при использовании монотонных схем (например, методики усреднения).

Представленная в STAR-CD методика предлагает альтернативные схемы, по выбору пользователя, по каждой из названных выше категорий, о чем говорится в этом подразделе ниже, а также приводятся рекомендации по их использованию. С этой целью коэффициенты Cj переписываются следующим образом:

где Fj – поток массы через грань j, Fj ≡(ρuGr SG); ϕj – осредненное

значение по грани, находится интерполяцией по выбранным узловым значениям в соответствии с используемой схемой.

Поверхностные значения дополнительных функций, таких как ρ и Г, также получаются интерполяцией, как правило, линейной. Исключение составляет плотность в сверхзвуковых потоках, где иногда используется односторонняя интерполяция.

Временная дискретизация

Как уже говорилось выше, FV-уравнения используют произвольный шаг по времени t, связывающий «старый» и «новый» временные слои. В рамках временной дискретизации существует два варианта. Основной – полностью неявная схема. Альтернативный – схема Кранка – Николсона.

102

Чисто неявная схема При такой формулировке потоки, вычисленные в данный ин-

тервал времени, рассчитываются на основе значений переменных нового временного шага. Хорошо известно, что этот метод обходит ограничения, связанные с влиянием шага по времени на устойчивость.

Схема Кранка – Николсона Полностью неявная схема имеет первый порядок точности по

времени. Схема Кранка – Николсона имеет ошибку округления порядка t2, в связи с чем относится к разряду схем второго порядка точности по времени. Эту схему можно использовать с малыми значениями t или с помощью смешивания с полностью неявной схемой с использованием коэффициента смешивания, заданного вручную.

Окончательные FV-уравнения

Окончательная форма дискретного уравнения конечного объема достигается путем подстановки различных аппроксимированных величин в уравнения (36) и (37) и вывода дискретного уравнения неразрывности в виде

Значения Fj на шаге n + 1 определяют по полностью неявной схеме, а на шаге n + 1/2 – по схеме Кранка – Николсона.

Окончательно его можно представить в более компактной форме

где Am – эффект конвекции и/или вязкости; s2 – cуммарное значение со всех соседних узлов, используемых при дискретизации потока;

BP = (V)0 /t.

m

103

Уравнение (40) существует также для каждой расчетной ячейки (соответствующим образом модифицированное для задания граничных условий). Наборов таких уравнений существует столько же, сколько и переменных, если принять во внимание уравнение неразрывности (39).

Стратегия решения в STAR-CD включает итерационное решение этих систем уравнений. Следует помнить, что выбор схемы конвекционного дифференцирования может оказать сильное отрицательное влияние на достоверность и скорость сходимости итерационных методов. При необходимости уравнение сохранения для полной энтальпии и ротальпии может быть решено вместо статической энтальпии. В этом случае какой-либо дополнительной информации от пользователя не требуется.

Граничные условия

STAR-CD содержит встроенные опции для установки граничных условий, которые охватывают большинство практических ситуаций. Эти опции выбираются с помощью PROSTAR, который обеспечивает уровень пространственного разрешения для установки граничных условий в пределах от индивидуальной ячейки до всей поверхности расчетной области. Допускается любое физическипоследовательное соединение граничных условий. Отметим, что граничные условия на энтальпию иногда применяются косвенно, заданием температуры и концентрации веществ, с которыми она связана. Ниже приводится краткое описание этих опций:

1.Вход (заданный расход) – Inlet, когда известны распределение расхода и свойства газа, например во входном отверстии или на «свободных» границах.

2.Выход – Outlet. В этом случае градиенты всех переменных

внаправлении потока к поверхности выхода принимаются равными нулю и поток массы на выходе фиксируется из условия неразрывности для всей расчетной области в целом.

3.Заданное давление – Prescribed Pressure, когда известно распределение давления на границе (статического, барометрического

104

или давления окружающей среды) и должны быть определены направление и величина потока. STAR-CD также поддерживает специфические условия равновесия в радиальном направлении, специально разработанные для расчетов турбомашин.

4.Заданные параметры торможения – Prescribed Stagnation Conditions, когда на границе известны давление торможения, температура торможения и направление скорости, а величина скорости, плотность, температура и статическое давление определяются.

5.Условия торможения и не отражающее давление – Nonreflecting Pressure and Stagnation Conditions. Другая формулировка условий торможения и давления, разработанная для расчетов стационарных задач турбомашин.

6.Непроницаемая стенка и перегородка – Impermeable Wall and Baffle Surfaces, когда применяются непосредственно условия неприлипания либо при расчете турбулентных течений используются «пристеночные функции». Эти функции включают условие шероховатости. Может также быть задано движение стенки или перегородки с известной скоростью.

7.Поверхность скольжения – Slip Surface. Это условие может применяться к поверхности стенки или перегородки и обычно предназначено для расчетов невязких течений. Его можно также применять в других случаях, например для течений со свободными поверхностями. Здесь применяются те же условия, что и для плоскости симметрии, т.е. нулевая нормальная составляющая скорости и нулевые градиенты по нормали для всех других переменных, кроме давления.

8.Плоскость симметрии – Symmetry Plane. Обозначает поверхность, в которой нормальная составляющая скорости и градиенты по нормали для всех других переменных равны нулю.

9.Периодические границы – Ciclic Boundaries. Пары поверхностей, на которых потоки повторяются либо по всем, либо по некоторым переменным. Не повторяющиеся переменные имеют подобные профили, но смещенные с постоянным шагом, определяемым из общего баланса.

105

10.Не отражающие свободные границы – Transmissive Free Stream. Это условие, которое применяется только в сверхзвуковых «свободных потоках» с заданной скоростью, температурой. Благодаря применению теории косого скачка уплотнения позволяют пропускать наклонную ударную волну без отражения.

11.Не отражающие свободные границы для нестационарных потоков – Transient Transmissive. Применимы только при расчете нестационарных сжимаемых течений. Эта опция благодаря применению волновой теории позволяет пропускать через границу нестационарные волны давления без отражения.

12.Условие Римана – Riemann. Это условие основано на теории инвариантов Римана, позволяет пропускать через границу волны давлений без отражения. Применимо для нестационарных и установившихся течений. Следует отметить, что полюсы и оси симметрии не должны быть явно объявленными, так как они определяются из структуры сетки и прочих граничных условий.

Для задания граничных условий движения потока тепла или

массы STAR-CD предлагает ряд граничных условий на стенках

иэкранах.

13.Заданная температура/концентрация – Prescribed Temperature/Mass Fraction. Позволяет задать температуру на стенке или распределение концентрации примесей, которые будут определены на внутренней или внешней поверхности стенки с пристеночным сопротивлением, задаваемом в последнем случае.

14.Заданный поток – Prescribed Flux. Позволяет задавать тепловой или химический поток вещества. Как разновидность может быть рассмотрен случай «адиабатической» поверхности с нулевым потоком.

15.Заданная поверхностная реакция – Prescribed Surface Reaction. Это специальное граничное условие, применимое к гетерогенным химическим реакциям.

Одномерная проводимость через стенки может быть смоделирована заданием соответствующего «теплового» сопротивления. Если решается полная задача теплопроводности (сопряженный тепло-

106

обмен), тогда опции 8, 9, 13 и 14 доступны на внешней поверхности твердого тела. Опция теплового сопротивления также доступна и для внутренней области контакта твердого/жидкого компонента.

Если граничные значения скорости и/или скалярных величин, таких как температура или концентрация, известны, то они напрямую задаются на соответствующих поверхностях ячеек, а уравнения для потоков соответствующим образом модифицируются, чтобы можно было вычислить потоки на границах. И наоборот, если задаются граничные потоки, то они вводятся напрямую, а соотношения, связанные с потоками, после соответствующих модификаций, используются для получения граничных значений зависимых переменных.

5.2. План расчета значений температуры при хонинговании детали

Для работы программы необходимы следующие данные:

–графическая твердотельная модель процесса обработки;

–диаметры инструмента и детали;

–площадь контакта инструмента и детали;

–теплофизические характеристики материалов;

–скорости вращения инструмента и детали;

–скорость перемещения детали;

–величина источника теплоты.

Каждый из этих параметров имеет постоянное или переменное значение относительно выбранного материала, физико-технологиче- ских, геометрических параметров.

Постоянные параметры – размеры глобоидного хона и ротора, угловые скорости вращения хона и ротора.

Переменные параметры следующие:

λ– коэффициент теплопроводности, Вт/м·К;

ρ– плотность материала, кг/м3;

с – удельная теплоемкость, Дж/кг·К;

s – площадь контакта, м2, s = lh, где l – длина контакта, l = 46,67·10–3 м;

107

V’д – продольная скорость перемещения детали, м/с;

q – источник теплоты, Вт/м2, q = sQτ, где s – площадь контакта;

τ – время контакта.

Средний радиус режущих зерен r зависит от размеров зерна: чем меньше номер структуры, тем меньше радиус зерна r и средний шаг l (см. табл. 3).

Рассмотрим два варианта обработки:

–зубохонингование при Vх = 25 м/мин;

–зубошлифование при Vх = 30 м/с.

При скорости вращения инструмента Vх = 25 м/мин

Частота вращения инструмента, об/мин,

где Dx – средний диаметр глобоидного хона, Dx = 122,89 мм. nx = π1000122,8925 = 65,261 об/мин, или nх = 1,088 об/с.

Угловая скорость вращения инструмента, рад/с,

ωx = 2πnx = 2π 1,088 =7,423.

При повороте инструмента на один полный оборот деталь поворачивается на один зуб. Поскольку ротор имеет девять зубьев, число оборотов детали в девять раз меньше числа оборотов инструмента.

nд = n9x = 65,2619 = 7,251 об/мин или nд = 0,126 об/с.

Следовательно, деталь совершит один оборот за 7,60251 с. Таким образом, время одного оборота детали t = 8,274 с.

108

Скорость вращения детали

Vд = π1000dдnд ,

где dд – средний диаметр ротора, dд = 49,28 мм.

Vд = π49,28 7,251 =1,122 м/мин. 1000

Угловая скорость вращения детали, рад/с,

ωд = 2πnд = 2π 0,126 =0,824.

Продольная скорость движения детали, м/c:

Угловая скорость вращения инструмента, рад/с,

ωx = 2πnx = 2π 77,75 = 488,24.

При повороте инструмента на один полный оборот деталь поворачивается на один зуб. Поскольку ротор имеет девять зубьев, число оборотов детали в девять раз меньше числа оборотов инструмента.

109

nд = n9x = 77,759 =8,63 об/с.

Следовательно, деталь совершит один оборот за 8,6391 с. Таким

образом, время одного оборота детали t = 0,116 с. Скорость вращения детали, м/c,

Vд = π 49,28 8,639 =1,337. 1000

Угловая скорость вращения детали, рад/с,

ωд = 2πnд = 2π 8,639 =54,253.

Продольная скорость движения детали, м/c,

Vпрод = Snд,

где S – подача, S = 0,5…3,0 мм/об,

Vпрод′ = 0,5 8,639 = 4,320 мм/с, или Vпрод′ = 4,320 10−3 м/с – при подаче S = 0,5 мм/об;

Vпрод′′ =3 8,639 = 25,917 мм/с, или Vпрод′′ = 25,917 10−3 м/с – при подаче S = 3,0 мм/об.

Нормальная составляющая силы резания Ру, Н, зависит от деформации и напряжения и находится по формуле

где σ – напряжение, Н/мм2; δ – деформация, мм.

Сила резания определяется для каждой из 30 точек профиля. Для облегчения расчета силы резания была создана программа

при помощи среды программирования Visual Basic for Application. Алгоритм данной программы представлен на рис. 104.

110