книги / Принципы динамической теории решетки

Рис. 3.24. Выбор решетки Бете в качестве граничного условия для кластера

(см .текст). (Согласно [196] .)

Можно назвать три основных довода за использование решетки Бе­ те в качестве граничного условия кластера: 1) решеточная модель Бете имеет точное решение, 2) она сохраняет связанность и 3) плот­ ность состояний в ней является гладкой функцией без особенностей (из-за отсутствия колец из связей). Благодаря этому обстоятельству любую структуру в плотности состояний кластерной решетки Бете можно связать с топологией атомов в кластере.

Чтобы проиллюстрировать приближение Бете - Пайерлса, рас­ смотрим колебания решетки кристалла с тетраэдрическими связями. Чтобы преобразовать такой кристалл в решетку Бете, мы поступаем следующим образом (рис. 3.25): в качестве начального выбираем лю­ бой атом и даем ему номер 0. Первый ближайший соседний атом обоз­ начаем номером 1 и буквой v1# где vx пробегает значения от 1 до 4

и обозначает направление от начального атома к заданному. Следую­ щие за ближайшими соседями атомы обозначаем номером 2 и буквами vi* v2. где vx и v2 обозначают ряд направлений от атома 0 к рас­ сматриваемому атому. "Третьи11ближайшие соседи обозначим набо­ ром 3, v lt у2, v8 и т. д.Обозначив таким.образом каждый атом, по­

Рис. 3.25. Тетраэдрическая элементарная ячейка алмазной структуры.

лучаем решетку Бете. Для изучения динамики этой решетки постули­ руем, что каждую связь с ближайшими соседями можно охарактеризо­ вать матрицей 3 x 3 силовых постоянных Фу. Эта связь соединяет атомы на концах связи v (v пробегает значения от 1 до 4). Фу явля­ ется симметричной матрицей.

Обозначив часть функции Грина, соединяющую атом 0 с самим

собой, через Goat а .часть, соединяющую атом 0 с первым ближайшим

где М - масса атома, а Ф0 - матрица силовых постоянных, соединя­ ющая атом с самим собой, определяемая как (см. (1.2.7))

Мы видим, что бесконечная система уравнений (3.3.11) - это последо­ вательность следующих друг за другом четырех уравнений (v = 1, 2, 3, 4), повторяющихся до бесконечности. Эта система уравнений имеет

236 Глава 3

самим собой. Выше уже было описано, как рассчитывается G00 в случае использования приближения Бете - Пайерлса. В случае при­ ближения кластерной решетки Бете мы получаем из (2.1.28) беско­ нечный ряд связанных уравнений для функции Грина. Этот ряд урав­ нений содержит элементы функции Грина, соединяющие атом 0 с атомами кластера и с атомами вне кластера. Используя матрицы перехода, последние элементы можно связать с первыми. Та­ ким образом информация об окружающей кластер среде переносится в кластер. Получающийся в результате конечный ряд уравнений для вычисления GQQ может быть решен точно [ 196, 426].

В случае неупорядоченной системы окончательное выражение для локальной плотности состояний нужно усреднить по различным конформациям кластеров. В присутствии структурного беспорядка это можно сделать с помощью моделей континуальных неупорядочен­ ных сеток путем усреднения по их различным локальным конфигура­ циям.

Таким образом, процедура присоединения решеток Бете к гра­ нице кластера довольно проста, и основная трудность в методе клас­ терной решетки Бете состоит в решении самих уравнений.

На рис* 3.26 плотность колебательных состояний для алмазной решетки, рассчитанная в приближении Бете - Пайерлса, сравнивает­

ся/^

Рис. 3.26. Плотность колебательных состояний для кристалла с алмазной структурой: а — приближение Бете — Пайерлса; б — точное решение. СО^ -*

максимальная частота кристалла. (Согласно [426] ; точные результаты по­ лучены Торпом [385] .)

Рис. 3.27. Плотность колебательных состояний для кристалла с алмазной структурой, вычисленная с помощью приближения кластерной решетки Бете для кластера из 59 атомов. CJj_ обозначает максимальную частоту кристалла. (Согласно Г4261 .)

ся с плотностью колебательных состояний идеального бесконечного кристалла. Видно, что пики ТА- и ТО-мод хорошо описываются приб­ лижением Бете - Пайерлса. В этом приближении, однако, нет про­ дольных пиков из-за отсутствия замкнутых колец связи (см. разд. 3.3.1). С другой стороны, приближение кластерной решетки Бете дает хорошее описание продольных пиков, хотя в кластерах эти пики не столь острые, как в кристаллах (рис. 3.27).

На рис. 3.28 приведены локальные плотности колебательных сос­ тояний для Si02решетки Бете. Если искусственно уширить плотность колебательных состояний SiOtj-решетки Бете при помощи гауссовой кривой шириной 75 см-1, полученная плотность состояний хорошо согласуется с плотностью состояний стеклообразного Si02, получае­ мой из данных по нейтронному рассеянию, и расчетами в модели Белла и Дина (см. разд. 3.3.1). Это иллюстрируется на рис. 3.29. Ис­ пользуемая гауссова кривая учитывает беспорядок в угле связи. От-

оwoo

Част от а, с м '1

Рис. 3.28. Плотность колебательных состояний, рассчитанная для решетки Бе­

те применительно к S i0 2 . (Согласно [232] .)

Рис. 3.29. Плотность колебательных состояний для стеклообразного Si0 2 . а -

данные по рассеянию нейтронов, показывающие плотность состояний, моду* лированную благодаря слабой частотной зависимости матричных элементов;

б — искусственное уширение плотности состояний для решетки Бете (см. текст); в — модель Белла и Дина (см. разд. 3.3 .1). (Согласно [232] ; экспе­

риментальные данные взяты из [236] .)

метим, что изменения угла связи Si—О—Si составляют около 10° и типичны для стеклообразного Si02. Изменение этого угла вызывает небольшое смещение связей в плотности состояний для решетки Бете. Таким образом, флуктуации угла связи должны вызывать размытие плотности состояний в стеклообразных материалах. Как уже отмеча­ лось выше, уширение плотности состояний для решетки Бете вполне аналогично соответствующему явлению в модели Белла и Дина.

Это означает, что беспорядок в угле связи разрушает всякие явные проявления в плотности состояний стеклообразного SiOa факта суще­ ствования замкнутых колец связи. Это, очевидно, происходит из-за отсутствия малых колец связей (в кварце существуют кольца с 12 * связями).

•Следует отметить, .что метод кластерной решетки Бете хорошо подходит также для исследования систем с композиционным беспоряд­ ком [ 211] и систем с.композиционным и структурным беспорядком [ 427]. В случае композиционного беспорядка решетка Бете, соеди­

ненная с кластером, может быть описана в рамках приближений вирту­ ального кристалла, усредненной Т-матрицы или когерентного потен­ циала. Для исследования ИК поглощения, КР и спектров неупругого нейтронного рассеяния использование метода кластерной решетки Бете проблематично, поскольку для вычисления этих величин тре­ буется знать суммы как диагональных, так и недиагональных эле­ ментов функции Грина (см (2.2.10)). В случае локализованных состоя­ ний можно ожидать удовлетворительных результатов, ограничившись суммированием лишь по атомам кластера. Однако для делокализован­ ных состояний суммирование должно проводиться по всем атомам системы, составляющим кластер, помещенный в бесконечную решет­ ку Бете. Таким образом, в последнем случае вычисленные спектры должны определяться решеткой Бете [ 211]. Отметим, что решетку Бете можно также использовать для изучения цлиянияхимических примесей, находящихся на поверхности [ 233], влияния межфазных границ [ 196] и колебательных возбуждений, локализованных на дефек­ тах и аморфных материалах [211, 212].

Замечания о локализации, добавленные при корректуре

Обратим внимание на новое направление в теории локализации, основанное на некотором сходстве между поведением одночастичных

состояний в неупорядоченных системах вблизи Ес (энергия, разделя­ ющая делокализованные и локализованные состояния) и критическим поведением магнитной системы вблизи Тс (температура магнитного фазового перехода): длина локализации при Ес и корреляционная длина при Тс расходятся. Это сходство позволяет применить идеи и методы теории фазовых переходов (идеи скейлинга, методы ренормгруппы) к проблеме локализации [2, 15, 172, 314, 332]. Фронт работ в этой актуальной области исследований продолжает быстро расши­ ряться. Большинство работ по локализации указывает на то, что (для диагонального беспорядка) одночастичные состояния в случайном по­ тенциале всегда локализованы для размерности d 4 2 независимо от степени беспорядка [ 409]. Это подтверждается также численными ис­ следованиями проблемы локализации [ 222].

240 Глава 3

Насколько известно авторам, теории скейлинга для локализации

пока не применялись к колебательным системам, хотя исследование поведения мод в смешанных кристаллах методом ренормгруппы в ре­ альном пространстве, которое выполнили Шмельцер и Бозерман [ 335], можно считать первым шагом в этом направлении» В упомяну­

той работе переход от одномодового поведения к двухмодовому свя­ зывается с переходом от делокализованного поведения мод к локали­ зованному. Отметим, что было достигнуто довольно хорошее согла­ сие между результатами, полученными в рамках приближения коге­ рентного потенциала и модели равных смещений.

Отметим также, что метод ренормгруппы использовался для изу­ чения локальной плотности колебательных состояний в неупорядо­ ченной цепочке [ 160].