книги / Принципы динамической теории решетки
..pdf202 |
Глава 3 |
доченной системы, эти возбуждения из-за рассеяния на структурных не однородностях разрушаются, и понятие фонона имеет смысл, лишь если его время жизни превосходит примерно один период колебаний. Следует отметить, что аналогичные когерентные эффекты также наблюдались в простых жидкостях и аморфных ферромагнитных материалах. Это сви детельствует о наличии коллективных возбуждений соответственно фо нонного и магнонного типов в простых жидкостях и аморфных ферро магнетиках.
Перед тем как перейти к обсуждению основных эксперименталь ных и чиоленных результатов, приведем ряд формул, описывающих кол лективное движение. Экспериментально наблюдаемая величина, харак теризующая это движение, — сечение когерентного нейтронного рассея ния. Сечение пропорционально функции рассеяния (динамический струк турный фактор), определяемой соотношением [см. (П3.67), (П3.74)]
|
оо |
|
S(k, со) = |
Е J d< e'"1{e~iknM eikR(-l''w) , |
(3.2.1) |
|
— oo |
|
где fik и ftсо - |
это изменение импульса и энергии в процессе рассея |
|
ния; R{1, t ) обозначает положение /-го атома в момент времени t ;
< .. .> представляет собой термодинамическое усреднение, а в случае необходимости (неупорядоченные тела) и конфигурационное усреднение; наконец, N — число атомов в системе. Отметим, что в литературе функ цию рассеяния S (к, оо) часто определяют как фурье-образ корреляцион ной функции флуктуаций плотности числа частиц, а не непосредственно самой этой плотности. В этом случае в (П3.72) плотность числа частиц п (х, t ) следует заменить на ( п ( х , t) — $)(Q —средняя плотность чис ла частиц), что приводит к появлению добавочного члена — ^>(2 -тг)3б (А) б(со) в правой части уравнения (3.2.1). Этот член устраняет расходимость
для рассеяния вперед. Для твердых тел, где Я (/) = # ( / ) + и (/) |
(см. обо |
||
значения к (1.2.1)), в гармоническом приближении функция рассеяния |
|||
для однофононных процессов записывается в виде (см. (П3.95)) |
|
||
e -2W |
00 |
|
|
Г |
|
|
|
S(fc, ft)) = 2 ^ - Е |
I cU |
t)) (k u ( l ', 0))), |
(3.2.2) |
— OO
где W - фактор Дебая - Уо.длера (П3.83); здесь предполагается, что он не зависит от конфигурационного усреднения.
Колебательные свойства систем со структурным беспорядком |
203 |
В случае когда частотная зависимость S (к, <о) имеет острые пики, частота этих пиков как функция волнового вектора к определяет дис персионную кривую элементарных возбуждений в системе (см., напри мер, (П3.97)).Эта кривая называется дисперсионным соотношением для флуктуаций плотности. Цванциг [438] показал, что возбуждения фонон ного типа в жидкостях и стеклах можно строить безотносительно к опор ной решетке, если от переменных "координата" и "импульс" перейти к переменным "импульс" и "сила" в динамическом описании. Оказывает ся, что продельная фурье-компонента тока
J 0 , Q = ^ £ Ш , >■) е‘кШ1> |
(3.2.3) |
в таких системах становится коллективной переменной, описывающей возбуждения фононного типа. Здесь р ( / , t ) - импульс /-го атома в
момент времени t и М - |
масса атома; предполагается, что М не зави |
|
сит от / . Ввиду той роли, которую играет J ^ ( k t t ) |
можно ожидать, что |
|
корреляционная функция продольного тока |
|
|
<) = ^ г |
t) Щк, 0» |
(3.2.4) |
обладает осцилляторным (затухающим) временным поведением. Таким образом, фурье-представление
C||(fc, со) = co2S(h, со) |
(3.2.5) |
можно использовать для получения дисперсионной кривой, изучая зави симость от к пиков функции Cjj (At, со). Это дает так называемое диспер сионное соотношение для флуктуаций тока. Недавно бщли высказаны соображения в пользу того, чтобы использовать для получения диспер сионных соотношений функцию рассеяния S(к, со), а не функцию
Сц(А, со), поскольку иногда функция Сц (к, |
со) обладает рядом фиктив |
ных пиков, которые нельзя поставить в соответствие коллективным |
|
модам (см., например, работу [429]). |
|
В дальнейшем нам понадобится также статический структурный |
|
фактор; он определяется выражением |
|
8(к) = Jсо da>S(k, ш) = |
(3.2.6) |
—00
Вкристалле S (к) имеет Б-функционные пики в узлах обратной решет ки, в то время как в системе со структурным беспорядком в общем
204 |
Глава 3 |
Рис. 3.7. Статический структурный фактор S (к) для модели из 8 00 атомов,
описывающей двухкомпонентное металлическое стекло (Mg7oZn3o). (Соглас
но [176] .)
случае есть только один сильный пик при к0 = 2тт\/а (а - среднее рас стояние между ближайшими соседями). Последний пик отражает сущест вование ближнего порядка.
На рис. 3.7 представлен статический структурный фактор, рассчи танный для описывающей металлическое стекло (Mg70 Zn30) модельной структуры из 800 атомов. Атомы находятся в равновесных позициях (релаксационная модель), и на систему наложены периодические гра ничные условия. Затухающее на брльших волновых векторах оеццдляторное поведение S (к) отражает факт отсутствия дальнего порядка. Ре зультаты численного расчета динамического структурного фактора для продольных возбуждений в этой модельной структуре приведены на рис. 3.8. Дисперсионное соотношение (зависимость со от k), следующее из данного рисунка, обладает явно выраженным максимумом, однако минимум, следующий за этим максимумом, выражен весьма неопреде ленно из-за того, что спектр S(k, со) становится слишком широким. Дисперсионные соотношения для продольных и поперечных возбуждений
изображены на рис. 3.9. Для возбуждений последнего типа явно выражен ный максимум отсутствует1К
На рис. 3.10 приведен динамический структурный фактор, рассчи танный для 500-атомноЙ модели аморфного вещества с периодическими граничными условиями. О увеличением к частота проходит через мини мум, соответствующий максимуму рассеяния; такое поведение яцляется в некотором роде "ротоноподобным".
^Результаты, аналогичные описанным выше для металлического стекла
Mg70Zn30 , получили Ямамото и др. [425] для аморфного Fe в рамках хаоти ческой релаксационной модели из 1450 атомов.
Колебательные свойства систем со структурным беспорядком |
205 |
Рис. 3.8. Динамический структурный фактор продольных возбуждений для модели из 800 атомов, описывающей двухкомпонентное металлическое стек ло (Mg7o Zn30). (Согласно [1 7 6 ].)
Рис. 3.9. Дисперсионные соотношения (черные полоски — для продольных возбуждений, светлые полоски — для поперечных возбуждений) для модели из 800 атомов, описывающей двухкомпонентное металлическое стекло (Mg70 Zn3o) (Согласно [1 7 6 ].)
206 |
Глава 3 |
со
Рис. 3.10. Нормированный динамический структурный фактор S (к, СО) =
= S (к, со) (МЫ2/*:2 ) [и № ы/кТ) + 1] для аморфной модели из 500 атомов в
зависимости от безразмерных переменных к = к(г, <о= coliMOC)'}^2 (М — атом
ная масса, а — силовая |
постоянная, 1,1 О — среднее расстояние между бли |
жайшими соседями, п - |
число заполнения (1 .4 .5 0 )). (Согласно [320] .) |
Оно характерно для сверхтекучего Не (см. ниже). Отметим также, что для рассмотренной модели минимум выражен довольно слабо, поскольку за максимумом со(к) спектр S(k, со) становится очень широким (см. также работу [215]).
Ротоноподобное поведение в некристаллических материалах экспе риментально до сих пор не обнаружено. Недавно коллективные попереч ные моды исследовались с помощью рассеяния нейтронов в металличес ких стеклах Mg70 Zn30 [467] и Са70 Mg80 [468]. На рис. 3.11 приведены экспериментальные данные, полученные методом рассеяния нейтронов в стеклообразном Ge02. В области вблизи первого максимума стати ческого структурного фактора обнаруживается существование продоль ной и поперечной ветвей фононного типа.
Обратимся теперь к рассмотрению коллективных движений в прос тых жидкостях. В соответствии с рассматриваемым масштабом длины и временным масштабом динамическое поведение простых жидкостей качественно можно поделить на три области. Для времен, малых по
Колебательные свойства систем со структурным беспорядком |
207 |
Рис. 3.11. Дисперсионные соотношения для стеклообразного GeO?, получен ные из экспериментальных данных по рассеянию нейтронов. Положения пи ков S (к, со) отмечены прямоугольничками,, полоски указывают границы пи
ков на половинной высоте. (Согласно [235] .)
сравнению со временем стрлкновений, которое порядка 10 * 11 - 10 е12 с, и на расстояниях, малых по сравнению со средним межатомным, движе ние фактически свободное. В противоположном предельном случае мед ленных временных и пространственных изменений, т.е. в так называе мом гидродинамическом режиме, движение коллективное. В плотных жид костях переходные локальные структуры приводят к появлению промежу точной области, называемой нуль-звуковым режимом, где динамическое поведение можно приближенно описать в терминах высокочастотных фо ноноподобных коллективных мод. Характерные частоты этих мод поряд ка Ю13 с " 1, и их можно исследовать с помощью рассеяния нейтронов.
Можно сказать, что в жидкостях в режиме нулевого звука атомы совершают почти гармонические колебания около узлов "замороженной" конфигурации жидкостного типа. Диффузионный распад равновесной кон фигурации приводит к сильному затуханию коллективных мод. Этот же распад приводит к тому, что время жизни фононов в жидкостях оказы вается много меньше соответствующей величины в некристаллических телах. По данным рассеяния нейтронов и численного моделирования, фо ноноподобные возбуждения существуют в жидкометаллических системах (например, в жидком Ш>) вплоть до волновых векторов k -0,6^ , где AQ отвечает главному пику в зависимости 5 (А). В жидких инертных газах возбуж дения такого типа существуют лишь при гораздо меньших волновых век торах А. Это обстоятельство обычно связывается с тем, что короткодей
208 Глава 3
ствующая часть парного потенциала взаимодействия в случае жидкого металла "мягче", чем в случае жидких инертных газов. "Жесткое" корот кодействующее взаимодействие ведет к эффективному рассеянию ато мов на большие углы, что, видимо, нарушает необходимую для коллектив ных атомных колебаний когерентность (за деталями результатов иссле дований коллективных движений в простых жидкостях мы отсылаем чита теля к обзору Копли и .Лавси [ 98]).
В сверхтекучем гелии в противоположность классическим простым жидкостям при низких температурах в S(A,.co) наблюдаются резкие пики и, таким образом, понятие фононоподобных возбуждений вполне хорошо определено. Дисперсионная кривая сверхтекучего гелия приведена на рис. 3.12. Начальный линейный участок с наклоном, соответствующим скорости звука, сменяется максимумом и минимумом— так называемым ротонным минимумом. Наличие такого минимума яцляется необходимым
Рис. 3.12. Дисперсионная кривая элементарных возбуждений в Не II при
температуре Т = 1,1 К. (Согласно [105] .)
Колебательные свойства систем со структурным беспорядком |
209 |
Рис. 3.13. Закон дисперсии спиновых волн в аморфном ферромагнетике
С04Р. (Согласно [269J .)
условием сверхтекучести1 > (более подробно о возбуждениях в жидком гелии см . обзор Вудса и Каули [422]).
Задача о спиновых волнах в структурно неупорядоченных ферромаг нитных материалах математически вполне аналогична соответствующей задаче о фононах в некристаллических материалах. В этой связи пред ставляет большой интерес ротоноподобное поведение спиновых волн (рис. 3.13), наблюдавшееся в аморфных ферромагнетиках с помощью рассеяния нейтронов.
В заключение этого раздала отметим, что в противоположность прос тым (классическим) жидкостям коллективные движения в гармонических телах с произвольным беспорядком являются по определению долгоживу щими. Однако к настоящему времени об этих истинных собственных мо дах известно немногое. Таким образом, оказывается разумным исполь-
11 Вообще говоря, наличие ротонного минимума непосредственно с усло
вием сверхтекучести не связано. — П р и м , перев.
14-ЛУУ
210 |
Глава 3 |
зовать представление о возбуждениях типа плоских во.лн также и в слу чае неупорядоченных тел, поскольку такие возбуждения можно изучать с помощью рассеяния нейтронов. Найденные экспериментально дисперсия и затухание данных возбуждений могут использоваться для расчета интересующих величин,-таких, как, например, термодинамические ве личины.
3 .2 .2 . Изучение дисперсии и затухания аналитическим и методами
Нель настоящего раздела - исследование фононоподобных возбуж дений в одноатомном структурно неупорядоченном материале. В пред положении о гармоническом характере колебаний, динамический струк турный фактор S (к, со) дается выражением (3.2.2). С помощью (2.1.14) и (2.1.22) это выражение перепишем в виде
S(k, ш) = -в ~ ш ± |
(1 - е-*“Р)-1 х |
|
|
TiN |
|
|
|
X Е |
Im G„iU', со + |
is)), e -> + 0 , |
(3.2.7) |
где < .. .> означает конфигурационное |
усреднение. Используя (2.1.38), |
||
мы видим, что |
|
|
|
S(k, со) ссIm 1 ^ 2 ; |
д(Ц'уш + ге))|, £ +0. |
(3.2.8). |
|
Таким образом, исследование фононоподобных возбуждений сводится к изучению конфигурационно усредненной функции Грина смещений в A-представлении. Перед тем как перейти к изучению этой величины, оп
ределим некоторые функции, характеризующие структуру рассматривае мой неупорядоченной системы.
Для вычисления конфигурационных средних мы введем N-частичную
плотность вероятности Р(хух2 ... x N ), -обладающую тем свойством, чго
/ d®i d®2... dxNP(XiXz... xN) = 1 |
(3.2.9) |
|
(N -число атомов в системе, |
= х(1)). Р ( х ^ х 2 . .. x N)d xAdx2 и,.dxN |
|
равно вероятности найти первый атом системы в элементарном объеме
d#t , расположенном в х%, второй атом в d* 2 в х 2 и т. д. Если мы инте ресуемся лишь атомами 1 ,2 ,..., п (п < N), то соответствующая плот ность вероятности дается выражением
Р{х1X2 ••. х п) = J* dacn+i ... dXflP(X\X2 ... X)j) . |
(3.2.10) |
Колебательные свойства систем со структурным беспорядком |
211 |
Эта функция также нормирована на единицу.
Введем условные цлотности вероятности с помощью соотношения
Р(хг ... х п |x n+i ... x N) = Р(ж, ...Ху)1Р(хх ... х п) |
(п < N). |
||
|
|
|
(3.2.11) |
Р ( х л ., „ хп |х п + , , „ о xN ) d x n + 1.. . dxN |
- вероятность найти (п+ i )-й |
||
атом в интервале dx п + вблизи x n + l- |
(i = 1,2 |
п )) при условии, |
|
что атом k находится в интервале d x A вблизи x k (А = 1 ,2 ,..., я). В |
|||
частности, имеем |
|
|
|
Р(Ж! ...Ху) = |
P(Xi) Р{Х\ \x2... x N) |
= |
|
= |
Р(хх) Р(хх I х 2) Р(хгх 2 \x3... x N). |
(3.2.12) |
|
Используя (3.2.10), мы видим, что условная вероятность нормирована |
|||
следующим образом: |
|
|
|
/ dacn+1 ... dXyPfa . . . х п\х п+1... x N) = 1. |
(3.2.13) |
||
Конфигурационное усреднение величины А (х, „ .. xN ) определяется сле дующим образом:
(А) = / dxx ... 6xyA(xx ... x N) Р(хх |
|
|
(3.2.14) |
||
Аналогично условное усреднение < А > |
оо в |
величины А при фиксиро |
|||
ванных атомах х , . . . х п определяется как |
|
|
|||
(A)Xl...Xn = |
/ |
da?n+1 ... dxyA(xx ...x N) P(xx ... x n\x n+l ... x N). |
|||
|
|
|
|
|
(3.2.16) |
Введем теперь парные, тройные и т. д. корреляционные функции с помо |
|||||
щью соотношений |
|
|
|
||
дг{хх') — i |
[(»(*) {те(ж') — <5(ж — ж')})], |
|
(3.2.16) |
||
д3(хх'х") |
= |
[(«И [п(х') - <5(ж - |
ж')} х |
|
|
|
|
Х{п(ж") - <5(ж - ж") - |
й(ж' - |
ж")})], |
(3.2.17) |
п(ж) = |
<5(ж — ж(Z)) |
|
|
(3.2.18) |
|
есть плотность числа частиц (ср. (П3.76)) и р = N\/V (V - |
объем систе |
||||
мы). Функции (3.2.16), (3.2.17), .. . по крайней мере в принципе можно определить экспериментально. На практике, однако, из экспериментов но рассеянию можно найти лишь функцию g 2 , а корреляционные функции