книги / Принципы динамической теории решетки

Состав

Рис. 2.16. Типы смешанного поведения кристаллов, a —разрешены ка к щеле­ вая, так и локализованная моды (двухмодовое поведение); б — разрешена

только локализованная мода (смешанно-модовое поведение); в — разреше­ на только щелевая мода (смешанно-модовое поведение); г - н е разрешены ни щелевая, ни локализованная моды (одномодовое поведение).

в следующем разделе. Вообще говоря, основные особенности поведе­ ния мод в настоящий момент поняты довольно хорошо, по крайней ме­ ре количественно. Однако существуют некие тонкие детали в спектрах смешанных кристаллов, которые все еще представляют интересные объекты исследований.

Вернемся теперь к вкладу в однофононные инфракрасный и ком­

бинационный спектры смешанных кристаллов от плотности состояний, определяемой примесями. Он возникает вследствие устранения пра­ вил отбора по импульсу (к = 0) кристалла совершенно аналогично слу­ чаю одиночного дефекта (см. разд. 2.2.2). Совсем не просто идентифи­ цировать экспериментально такой вклад, потому что он может быть замаскирован вкладом зон с к « 0, зон резонансных мод, а также пе­

рекрытием однофононного и многофононного спектров. Для иллюстра­ ции на рис. 2.17 изображена низкочастотная область спектра комбина­

ционного рассеяния в смешанном кристалле Gel , где зона ниже

120 см "1 приписывается рассеянию ТА-фононов Ge благодаря наличию беспорядка, а ниже 170 см "1 - рассеянию ТА-фононов Si. Отметим, что остальные пики на этом рисунке идентифицируются как двухфонон-

144 Глава 2

приближения для описания такой зависимости от концентрации: при­ ближение когерентного потенциала (ПКП) и модель равных смещений (PC). В ПКП смешанный кристалл заменяется на упорядоченный крис­ талл с массами и силовыми постоянными, усредненными по конфигу­

рационному пространству, в то время как в модели РСРС смешанный

кристалл заменяется на упорядоченный кристалл с псевдоэлементарной ячейкой, также усредненной по конфигурационному пространству,, Ока­ зывается, что ПКП удобен для описания одномодового поведения, а

PC — двухмодового.

Рассмотрим смешанный кристалл типа АВ1_ с Сс и ограничимся

для простоты одномерными системами. Последующая процедура мо­ жет быть легко применена к системам высшей размерности. Соглас­ но (2.1.27) и (1.3.52), функция Грина такой системы подчиняется урав­ нению

Используя числа заполнения, определяемые (2.1.66), можно выра­ зить массы и силовые постоянные, входящие в (2.3.1), в следующем

М’ (1) = МА, М2(1) = М3(1) = М1 (2) = 0, М2(2) = МВ, М3(2) = Мс , где

МА, и Мс обозначают соответственно массы атомов А, В и С.

Уравнение (2.3.3) основывается на предположении, что константа взаи­ модействия определяется только двумя атомами, которые оно связы­

роткодействующего отталкивания и дальнодействующей электростати­ ческой части. В двух- и трехмерных системах последняя часть приво­ дит к расцеплению LO- и ТО-колебаний. (см, разд. 1.5). Учет этого эф­

146 Глава 2

где _

/Г

Сравнивая (2.3.8) и (2.3.1), мы видим, что (2.3.8) описывает кристалл с усредненными массами (2.3.9) и усредненными силовыми постоян­ ными (2.3.10).

Разложим теперь § в ряд Фурье

™ к

где N означает число атомов в подрешетке, а х(1« ) описывает поло­ жение атома (/*)• Подставляя (2.3.11) в (2.3.8). мы получаем

Полюса § или соответственно нули det| § ~ 1 1 определяют соб-

ственные частоты системы. Так как выражение в фигурных скобках в (2.3.12) - действительная матрица 2 x 2 , мы получаем из равенст­ ва det |§ “ 1|==0 две фононные ветви: акустическую и оптическую.

Итак, ПКП приводит к возбуждениям типа плоской волны, которые не подавляются беспорядком. Но это противоречит тому факту, что такие возбуждения не могут быть собственными модами неупорядо­ ченной системы, поскольку периодичность решетки отсутствует.

Исследуем сейчас длинноволновые колебания в ПКП. Для этого

положим в (2.3.12) k ■+0 и предположим для простоты, что взаимодей­

то секулярное уравнение для длинноволновых колебаний примет вид

Это уравнение имеет два корня:

сох = 0 (акустическое колебание),

Следовательно, ПКП для любой концентрации дает одну длинноволно­ вую оптическую моду. Поэтому это приближение может быть исполь­ зовано только для объяснения (но не для предсказания) одномодового поведения. Оно представляет собой наиболее грубую интерполяцион­ ную схему во всей области концентраций.

Возвратимся к модели РССЭ. Снова начнем с уравнения (2.3.1). Заменяя в этом уравнении массы и силовые постоянные с помощью

(2.3.2) и (2.3.3), умножая получившееся уравнение на л; . и усредняя

{М)

его, мы имеем

Здесь иерархическая система уравнений, упомянутая выше, разбивает^ ся с помощью следующего приближения в (2.3.16):

Это представляет собой одноузельное приближение, так как атомы, оставленные фиксированными при усреднении, не "чувствуют”, явля­ ется ли другой атом также фиксированным или нет. То есть мы пре­ небрегаем соответствующими корреляциями между двумя или более атомами. С помощью (2.3.17) уравнение (2.3.16) приобретает вид

аРМЧх) $i(lx, l'x', at) = бц'дхк' 4- 27 ф”'(lx, l"x") с{ х

где также использовано (2.1.96).

Заметим, что в (2.3.18) входит только один элемент функции Гри­ на &iH(lx, I V , со) с / ~ = / и х " = х. Но при выводе приближений ПУТ и ПКП (см. разд. 2.3.4) помимо таких диагональных элемен­

148 Глава 2

тов мы должны также учитывать недиагональные элементы (см. [ 61]).

Величину $1 (1х, 1'х', со), можно разложить в ряд Фурье анало­ гично §(/*, Гх', со) в (2.3.11). Уравнение (вытекающее из (2.3.18)) для соответствующих коэффициентов Фурье имеет вид

27 {[*W M (1 - д ц - д т ~ ) < % № Г ( Ы , Г '*'")] M r -

Таким образом, собственные частоты системы могут быть определе­

ны из уравнения det |{•••11 = 0, потому что полюса функций § и g”

совпадают. Так как {••• J - действительная матрица 3 x 3 , уравнение

det | |= 0 дает три ветви незатухающих фононов: одну акусти­ ческую и две оптические.

Секулярное уравнение, вытекающее из (2.3.19), совпадает с урав­

нением для собственных значений для кристалла с псевдоэлементар-

ной ячейкой, составленной из атомов А, (1 - с)В и с С (рис. 2.18).

Атомы В и С расположены в тех же самых узлах псевдоэлементарной ячейки. В уравнение движения для такой системы массы и силовые постоянные входят с весом, равным концентрации рассматриваемых атомов. Для более детального ознакомления с формулировкой такой модели псевдоэлементарной ячейки и строгим вычислением с ее по­ мощью дисперсионных кривых отошлем читателя к работе [ 401].

Рассмотрим теперь длинноволновый предел уравнения (2.3.19).

Предположим, что межатомные силы простираются вплоть до вторых соседей. С помощью

Это уравнение идентично секулярному уравнению, полученному в ра­ боте [91] для модели PC, которая представляет собой описанную выше модель псевдоэлементарной ячейки для к = 0. Интересно отметить, что (2.3.23) не содержат силовых постоянных F ^ , FBB и Fc c для вторых соседей. Вклад этих силовых постоянных, возникающий из первого и второго члена в фигурных скобках (2.3.19), при k = 0 сокра­ щается. Это отражает тот факт, что в рассматриваемом приближении при к = 0 все атомы данного типа колеблются в фазе, как и в идеаль­ ном кристалле. Эти равные смещения и являются основой предположе­ ния при выводе (2.3.23) с помощью PC модели. Здесь этот результат вытекает из разбиения (2.3.17).

Уравнение (2.3.23) имеет три корня, причем один из них равен нулю (акустическая мода). Вблизи предельного случая кристалла одна из остающихся двух мод представляет собой колебание примеси, в то время как вторая является оптическим колебанием. Для системы, об­ наруживающей двухмодовое поведение, колебание примеси представ­ ляет собой локальное колебание,, когда состав смеси близок к одному

предельному случаю, и щелевую моду - когда к другому. Применение PC-метода к одно- и смешанномодовым системам требует дополнитель­ ного предположения, которое, вообще говоря, не очень убедительно.

В первом случае, например, полагают, что колебанием примеси явля­ ется резонансная мода, а во втором случае, по-видимому, более под­ ходит комбинация резонансной и щелевой или локализованной мод.

Преимущества модели PC таковы: 1) двухмодовое поведение может быть объяснено, 2) может быть учтено изменение силовых постоянных, 3) возможна интерполяция на всю область концентраций. Недостатки же этой модели следующие: 1) все колебания описываются незатухаю - щими возбуждениями типа плоских волн независимо от того, являет­ ся ли данная мода примесной или зонной, 2) сравнение с эксперимен­

том дает для силовой постоянной F BC для взаимодействия атомов, следующих за ближайшими соседями,величину, вообще говоря, того же самого порядка, что и силовые постоянные для ближайших сосе­ дей. Для критического изучения модели PC отошлем читателя, напри­ мер, к работам [192, 249]; см. также примечание на с. 000.

2.3.3.'Колебания, 'активированные беспорядком,в инфракрасном и комбинационном спектрах

Как уже отмечалось в разд. 2.3.1, однофононные спектры инфракрас­ ного поглощения и комбинационного рассеяния в неупорядоченных системах иногда недвусмысленно показывают наличие мод, ативированных беспорядком. В частности, такие спектры могут отражать не­ которые особенности плотности колебательных состояний. Прежде чем рассматривать детально данное явление, приведем некоторые основ­ ные формулы для комбинационного рассеяния и инфракрасного погло­ щения.

Используя (П3.56), (П3.57), (2.1.45) и (2.1.22), мы получаем сле­ дующее выражение для сечения (нерезонансного) однофононного ком­ бинационного рассеяния:

d2g _ соа