книги / Принципы динамической теории решетки

132 Глава 2

Отметим, что последнее выражение не зависит от индекса узла решет­

где дебаевская частота coD дается выражением (1.4.40). Сравнивая теперь (2.2.56) с низкочастотным пределом (2.2.53), мы находим по - стоянную затухания

Мы можем различить два вида резонансов: ’’резонанс пружины"

и "резонанс массы". Первый резонанс возникает из-за малой величи­ ны / rff, а последний - из-за большой величины Ме**. Согласно (2.2.57), "резонанс пружины" затухает значительно слабее, чем "резонанс мас­ сы". "Резонанс пружины" дает большое значение статического откли­

последнее можно показать, используя (2.1.38) и (2.1.21). Если мы за ­

меним в (2.2.58) bnGaa(/, Z, со) на lm[Gc c (co)laa из (2.2.53), то полу­ чим следующее значение для локального спектра дефекта d с массой М

оно представляет собой несимметричный лоренциан, который нормиро­ ван следующим образом:

оо

го локального спектра дефекта, которая содержится в резонансной

Рис. 2 .10 . Доля полного локального спектра колебаний примеси, содержа­

щаяся в низкочастотной резонансной моде, ^ (с о ) для трех различных резо­ нансных частот 0 <С О р<С О р<СО р. При спектр превращается в 5-

функцию. (Согласно [113] .)

моде. На рис. 2.10 изображена величина Яд (со) для трех резонансных частот. Мы видим, что полуширина, которая определяется величиной у из (2.2.57), стремится к нулю при coR 0, а локальный спектр при­ меси становится равным Яд (со) = (М/М^)д(а>).

Согласно (2.2.48), (2.2.49), (2.2.37) и (2.2.39), в е л и ч и н ы и Mef* могут быть вычислены с помощью функции Грина G0 идеальной решетки. Так как, вообще говоря, существует только численная ин­ формация о G0, приближения для вычисления и Afrff без использо­

вания точных значений G0 представляют существенную ценность. Та­

кие приближения читатель может найти в работе [113]. В этой статье описанный выше метод применяется к резонансным модам вблизи верх­ ней границы зоны, а также к локализованным колебаниям.

2 .2 .4 . Малая конечная концентрация дефектов

Как обсуждалось в двух предыдущих разделах, изолированные примеси могут приводить к локализованным и резонансным колебани­ ям. Локализованные колебания характеризуются частотами, лежащи­ ми вне области спектра колебанийлдеального кристалла, разрешен­ ные колебания вблизи примеси ослаблены. Резонансные моды харак­ теризуются существенным увеличением амплитуды колебаний вблизи дефекта для разрешенных колебаний в узкой области частот. Следуя работе [ 125], мы покажем здесь, что малая конечная концентрация

134 Глава 2

примесей приводит в образованию зоны локализованных мод, а не од­ ной частоты локализованного колебания, а также к существенному уве­ личению плотности колебательных состояний вблизи резонанса.

Мы начнем с уравнения Дайсона (2.1.59). Вводя представление

и учитывая, что

Щ(к, со) = <5,-,-[со2- шДЛ)]”1, (2.2.66)

как это следует из сравнения (2.2.62) и (2.1.39), мы приходим к урав­ нению Дайсона в виде

В дальнейшем мы ограничимся случаем беспорядка масс в одно­

атомной кубической системе и будем пользоваться выражением для собственной энергии в одноузельном приближении, которое дается ра­ венством (2.1.76) и (2.1.77). В этом случае мы имеем

В дальнейшем мы будем исследовать величину 1ш<G. (Л, со)> .

Эта величина представляет особый интерес, так как она определяет неупругое рассеяние нейтронов (см.(П3.95] с учетом (2.1.22); бо­ лее детально см. [129]), через нее выражаются плотность колебатель­ ных состояний (см. (2.1.42)), а посредством Im<G(/£ со)> (из (2.2.62)

с учетом, что е (А; ) действительны для решетки Браве) - и спектр инфракрасного поглощения, и другие экспериментальные величины.

Используя выражение для JG°(CO) (2.2.24) для собственной энер­

гии, мы получаем

кристалла. Подставляя выражение для собственной энергии (2.2,71) в (2.2.70), находим

Im{в ,(к , *»)> = _ Л(ш)^ _ щДк)]* +-[а)*Дв,)]*; (2-2'74>

последнее справедливо для частот в области g°(oo), когда Г (со) 4 0.

Согласно (2.2.74), величина Im<G^. (А, оо)> должна иметь пик при час­

В случае тяжелой примеси предполагается наличие дополнительного пика на частоте coR, при которой величина Л (со), или соответственно а (со) обращаются в нуль -(последнее условие соответствует условию резонанса (2.2.26), распространенному на случай конечной концентра­ ции примесей). Если аь (А) лежит вблизи резонансной частоты, оба пи­ ка близки и имеют одинаковый порядок по величине. Заметим, что ре­ зонансы имеют место при малых значениях #°(со) и приводят к пику в

Последняя строка в (2.2.76) получена в предположении очень малой концентрации с .

Дополнительный полюс в (2.2.76) имеет отношение к существова­ нию локализованных колебаний. Заметим, что в случае изолированной примеси условие существования локализованной моды с частотой а>0 имеет вид

Здесь G°(co) дается величиной ReG°(co) из (2.2.24). Раскладывая со*G°(coj) по степеням (со, - coQ) и учитывая (2.2.79) и (2.2.80), мы най­ дем выражение для частоты со^ через со^ в низшем порядке по г

c[ct);2(fc) — (1 — <0<О02]

2 (2.2.81)

2€со0В(а)0) [а>оа — ft>/ (fe)]

Равенство (2.2.81) показывает, что для малой конечной концентрации дефектов вместо одной частоты локализованной моды появляется зона локализованных колебаний, ширина которой пропорциональна концент­ рации примесей. Однако нулевая ширина величины Im<G. (А, со)> в (2.2.76) не является правдоподобным результатом, так как это означа­

ло бы, что возбуждение типа плоской волны с волновым вектором к распространяется без затухания в неупорядоченной системе, что про­ тиворечит нашим ожиданиям. Как будет показано в следующем разделе, эта трудность устраняется в самосогласованной теории.

2.3. Колебания решетки смешанных кристаллов и сплавов

2.3.1. Экспериментальные результаты

Основные особенности в однофононных инфракрасном и комбинацион­ ном спектрах возникают из-за длинноволновых оптических фононов. Большинство смешанных кристаллов, изучавшихся до сих пор, пред - ставляют собой соединения типа АВ1 Сс , где кристаллы предельных случаев АВ и АС имеют простую структуру с двумя атомами в элемен­ тарной ячейке. В отношении зависимости длинноволновых колебаний от концентрации можно в действительности различить два типа таких смешанных кристаллов, а именно одномодовые и двухмодовые кристал­ лы (см., например, обзоры [27, 92]).

Хорошими примерами одномодовых и двухмодовых кристаллов яв­

ет одиночный пик отражения, положение которого непрерывно меняет­ ся с концентрацией от частоты пика отражения одного предельного состояния до другого, и величина пика имеет примерно постоянное значение. С другой стороны, для промежуточного отношения концент­

раций компонентов смеси в кристалле Ga As^ Р проявляются два

пика отражения с частотами, близкими к частотам пиков отражения предельных случаев. Величина каждого пика примерно пропорциональ­ на мольной доле соответствующего компонента.

Помимо однозначных одно- и двухмодовых кристаллов существуют также и смешанно-модовые кристаллы, обнаруживающие в некоторой области состава двухмодовое поведение, а в остальной области — од­ номодовое. Более того, аналогичное поведение, помимо наблюдавше­ гося для длинноволновых фононов, существует и для фононов на гра­ нице зоны (см., например, [152]). Последнее можно наблюдать экспе­ риментально, исследуя многофононные спектры.

Основная задача теперь - понять эти экспериментальные особен­ ности. Простейшая попытка установить критерий для предсказания по-

ведения мод основывается на исследовании характеристик собствен­ ных колебаний как функции отношения масс компонент смешанного кристалла. Ограничение исследования только влиянием изменения масс вытекает из того факта, что смешанный кристалл образуется только в том случае, когда силовые постоянные предельных кристал­ лов близки по величине. Для длинноволновых фононов такой критерий предсказывает двухмодовое поведение, если вблизи одного предель­ ного состава легкие атомы примеси приводят к появлению локализо­ ванных колебаний и если вблизи другого предельного состава благо­ даря тяжелым примесям возникает щелевая мода. Эта ситуация хоро­ шо иллюстрируется рис. 2.14 и 2.15, где для модели простой 48-атом-

Рис. 2.14. Интенсивность поперечной моды для модели 4В-атомной линейной

цепочки GaA*cP1 -c . (Согласно [27] .)

Рис. 2.15. Коэффициент отражения для модели 48-атомной линейной цепочки

G aA s^P .^. (Согласно [27] .)

ной линейной цепочки Ga As^ Р1 __ с изображены сила колебания (т.е. весовой фактор б-функций, появляющихся в спектральной плотности) и получающийся спектр отражений. Заметим однако, что в такой од­ номерной модели продольные моды отсутствуют и что в трехмерном кристалле зона в спектре отражения расположена в области частот

между длинноволновыми колебаниями LO и ТО, Следовательно, к пред­ сказаниям на основе существования локализованных и щелевых мод, полученным с помощью одномерной модели, следует относиться с ос­ торожностью. На рис. 2.16 показано поведение длинноволновых коле­ баний различных типов. Обсуждение поведения мод будет продолжено