книги / Принципы динамической теории решетки

102 Глава 2

Таким образом, если масса изменяется от узла к узлу, плотность со ­ стояний фононов выражается не непосредственно через G или G0, а через мнимую часть среднего значения функции Грина с массовым весом.

Ниже мы рассмотрим некоторые общие свойства функций Грина

смещение - смещение.

Так как оператор смещения - четная функция относительно об­

ращения времени, корреляционная функция смещение - смещение /(со) (2.1.14) есть действительная величина. Тогда из (2.1.19) получаем

откуда и следует, что скачок функции Грина на действительной оси (2.1.22) равен 2i*ImG(co v ie).

Заменяя в (2.1.19) z на со ± te, учитывая (2.1.21) и тот факт, что

/ ( и) является действительной величиной, мы получаем следующее со ­

отношение (соотношение Крамерса - Кронига) между действительной и мнимой частями функции Грина:

где верхний знак соответствует запаздывающей, а нижний - опережаю­ щей функциям Грина. Последняя строчка (2.1.44) получена с использо­ ванием равенства

которое справедливо для действительной величины /(со).

Можно показать, что функция Грина G удовлетворяет следующе­

о

здесь верхний знак также соответствует запаздывающей, а нижний - опережающей функциям Грина. Это правило сумм можно вывести, ис-

пользуя либо (2.1.38), либо (2.1.17) (интегрируя последнее уравнение по времени по частям), С помощью последнего метода можно показать, что это правило сумм справедливо и для ангармонических систем, так как при выводе используется лишь кинетическая часть гамильтониана. Заметим, что при выводе (2.1.46) учитывалось, что ImG(co) - нечетная функция со, что следует из (2.1.45).

Как было указано выше, собственные частоты колебаний решетки

определяются соответственно полюсами функций Грина G или нулями det|G“ 1|.Если нас интересует только влияние дефектов (беспорядка) на собственные частоты, необходимо решить уравнение

А(ю) det |1 - G°(co) V\ = 0, (2.1.47)

где G0 - функция Грина упорядоченной системы, а V - матрица воз­ мущения (2Л.31). Чтобы получить это, перепишем (2.1.35) в виде

Из этого равенства, а также из (2.1.29), (2.1.30), (2.1.37) и (2.1.47), находим

где со^ и оа° обозначают собственные частоты кристалла соответст­

венно при наличии беспорядка и при его отсутствии. Из (2.1.49) вид­ но, что нормальные колебания, на которые неупорядоченность не влия­ ет, сокращаются в числителе и знаменателе этого выражения. Вклад в нули детерминанта. Д(со) вносят только те моды, на которые беспорядок влияет. Порядок А(со) определяется размерностью матрицы F. В ряде случаев эта размерность мала, например в случае одиночного дефекта, особенно при неизменных силовых постоянных. Вычисление собственной частоты с помощью (2.1.47) становится тогда относитель­ но простой задачей.

и сравним (2.1.51) с (2.1.48), то увидим, что полюса Т определяют соб­ ственные частоты, изменяющиеся под влиянием неупорядоченности.

Вычислим Г, используя теорию многократного рассеяния (см, [402]). Чтобы сделать.это, предположим, что матрица V может быть разбита на сумму отдельных матриц

где V1означает искажение, вызванное узлом (I. х . ). Это разбиение будет детально обсуждаться ниже. Согласно (2.1.50), можно считать, что f-матрица Т описывает рассеяние невозмущенного колебания, оп ­ ределяемого функцией G0, на дефектах решетки, влияние которых представляется возмущением V, так что в результате получается искаженное колебание G. Если V представить в виде (2.1.52), то с помощью (2.1.51) получим

Таким образом в этом случае Т представляет собой сумму вкладов, которые можно приписать отдельным дефектам. Заменяя в последнем

Выражение в скобках в равенстве (2.1„54) описывает, как на колеба­ ние, создаваемое {-м дефектом, влияют все примеси, кроме него са­ мого . t-Матрица t* описывает полную амплитуду рассеяния t-м де­ фектом.

Как указьшалось выше, в случае неупорядоченных систем мы рассматриваем среднее по ансамблю <G> от функции Грина G. Сог­ ласно (2.1.50), это эквивалентно вычислению среднего значения t -мат­ рицы <Т > , так как G0 по определению не зависит от процедуры усред­

Далее, вычисление <Т> с учетом (2.1.53) с необходимостью требует вычисления < Т 1>, так как

Первое слагаемое в последней строке (2.1.58) описывает рассеяние падающей усредненной волны атомом с усредненной атомной f-матри- цей. Второе слагаемое описывает корреляцию между флуктуациями падающей волны и атомной ^-матрицы.

Определим теперь собственную энергию 2 с помощью равенства

(G) = + G«2(G). (2.1.59)

Величина 2 трансляционно инвариантна. Она, вообще говоря, комп­ лексна и зависит от частоты. Эта величина играет роль дополнитель­ ной эффективной массы или силовой постоянной в усредненной систе­ м е/ Знание 2 позволяет с помощью (2.1.59) легко получить усреднен­ ную функцию Грина <G > . Используя (2.1.56) и (2.1.59), приходим к следующему соотношению между 2 и <Т> :

Довольно простое приближение при вычислении < Г > состоит в полном пренебрежении корреляционным слагаемым в последней стро­

ке равенства (2.1.58). Это так называемое одноузельное приближение (ОУП). Используя это приближение, из (2.1.58) и (2.1.57) получаем

Подставляя (2.1.61) в (2.1.60), мы приходим к следующему выражению для 2 в ОУП:

Полученное выражение мы обсудим несколько позже.

Возвратимся теперь к разбиению матрицы возмущения (2.1.52). Рассмотрим вначале кубическую систему, в которой не упорядочена только масса. В этом случае Vх в (2.1.52) имеет вид

106 Глава 2

где е(1х) определяется из (2.1.33).

иГ1, если атом сорта j расположен в узле L = (/*),

ние по конфигурационному пространству влияет на числа заполнения, так как они содержат в себе все статистические свойства атомов. Таким образом, результат процесса усреднения содержит среднее ви-

Ч п ь Ч ' ^ ИТ-Д*» которые характеризуют вероят­ ности заполнения одного, двух, трех и т.д, узлов решетки (при условии,

что в последних выражениях индексы узла попарно различны). Эти ве­ личины представляют собой соответственно одно-, двух-, трехчастич­ ные корреляционные функции, которые, по крайней мере в принципе, могут быть получены из экспериментальных результатов. В частности, мы имеем

а двухчастичную корреляционную функцию можно определить из экс­ периментов по рассеянию нейтронов, электронов и рентгеновских лу­ чей. В конце данного раздела мы сделаем несколько дополнительных замечаний о свойствах средних значений чисел заполнения.

Раскладывая формально обратную матрицу (2.1.55) по степеням G°F/ и используя (2.1.69) и (2.1.70), приходим к атомной t -матрице

Отметим, что симметрия кубической структуры приводит к тому, что G°a'(°*> 0*, со) = Sao'G °(x, со). Усреднив равенство (2.1.71) и исполь­ зуя (2.1.68), мы получаем усредненную атомную N матрицу

Следовательно, согласно (2.1.62), (2.1.75), (2.1.72) и (2.1.73), для сис­ темы с неупорядоченной массой в ОУП выражение для собственной энергии имеет вид

При наличии изменений силовых постоянных ситуация становится более сложной, чем для случая чисто неупорядоченной массы. В этом случае вследствие трансляционной инвариантности, т.е. вследствие соотношения (см. (1.2.7))

изменение недиагональных силовых постоянных (недиагональный бес­ порядок) сопровождается изменением в членах матрицы возмущений, диагональных по индексам узла (диагональный беспорядок). Следова­ тельно, разбиение (2.1.52) матрицы возмущений, вообще говоря, спра­ ведливо лишь при концентрации дефектов, достаточно низкой для того, чтобы диагональные вклады в У в неискаженных узлах, возникающие вследствие (2.1.78), связаны только с одиночным дефектом. Другими

словами, мы должны потребовать, чтобы области влияния дефектов, т.е. области атомов, на которые действуют примеси, расположенные вокруг этих реальных примесей, не должны пересекаться, Более того, как будет показано ниже, разбиение матрицы (2,1.52) также справед­ ливо для любых систем, силовые постоянные которых связаны линей­ ным соотношением [ 270].

В качестве примера таких систем рассмотрим одноатомный сплав АВ с силовыми постоянными

Здесь Ф (И ) обозначает матрицу силовых постоянных между ато­ мом А в узле I и атомом В в узле Силовые постоянные сплава от­ личаются от величин в неискаженном кристалле (кристалл типа А) на величину (см, (2.1.34))

АФ(1Г) = 4- [ФЩИ') - ФАА(Й')] х

г

У‘

где ; = А, В, а

Соответствующие силовые постоянные, диагональные по индексам уз­ лов, изменяются, что следует из (2.1.78) и (2.1.80). Чтобы проиллюст­ рировать это, рассмотрим одиночный атом типа В, помещенный в ок­ ружение атомов А. Учитывая изменение силовых постоянных только между ближайшими соседями, мы получаем

Отметим, что эти изменения, диагональные по индексам узла, проис­

на, которые зависят только от расстояния между атомами. Так как

Положительность параметров Уоррена для ближайших соседей означа­ ет, что в системе существует тенденция претерпеть фазовое расслое­ ние на кристаллы А и В, так как в качестве ближайших соседей пред­ почтительнее атомы того же сорта. С другой стороны, отрицатель­ ность параметров Уоррена для ближайших соседей означает, что су­ ществует тенденция к образованию кристалла АВ: в качестве ближай­

ших соседей предпочтительнее различные атомы. Если а/ 1* обраща­

ется в нуль с увеличением расстояния между атомами, дальний поря­

док отсутствует. При наличии дальнего порядка сс; _ ^ меняется перио­

дично с изменением |* (/) - х(Г)| .

Мы заключаем этот раздел рассмотрением некоторых общих свойств (известных как свойства Херглотца), справедливых для усред­ ненной функции Грина и собственной энергии как функций комплекс­ ной частоты z. Из (2.1.28) мы получаем

что справедливо также для функции Грина, усредненной по конфигура­ ционному пространству:

Переписывая (2.1.106) с помощью (2.1.103) и (2.1.104) и сравнивая по­ лучающееся равенство с (2.1.105), мы находим, что