книги / Принципы динамической теории решетки

112 Глава 2

Свойства (2.1.103) и (2.1.107) называются условиями действительно­

сти.

Другим важным свойством является то, что ImG и ImZ отри­

цательно определены, когда Im z2 > 0. Заметим, что оператор А по­

Следовательно, когда Imz2 > 0, ImG и Im < G> отрицательно опре­ делены. Это так называемое свойство определенности гарантирует

положительность плотности состояний (см. (2.1.42)). Оно может быть также доказано и для Z(z) (см. [123]).

Далее, < G(z)> и Z(z) аналитичны везде, за исключением дейст­

последнее обычно называют граничными условиями.

Нарушение свойств Херглотца в некоторых приближениях для вы­ числения <G > приводит к нефизическому поведению плотности состо­ яний (см. разд. 2.3.4).

2.2.Локализованные и резонансные моды в системе

снизкой концентрацией дефектов

2 .2 .1 . Приближение изолированных дефектов

Если концентрация дефектов достаточно низка, то они не взаимодей­ ствуют друг с другом. В этом случае мы можем ожидать, что все ди­ намические свойства могут быть корректно описаны с помощью раз­ ложения интересующих нас величин в ряд по степеням концентрации

дефектов. Оборвав это разложение на члене, линейном по концентра­ ции дефектов, мы сведем динамическую задачу к задаче о поведении изолированных дефектов. Чтобы увидеть это, рассмотрим 1-матрицу и собственную энергию в пределе низкой концентрации.

Так как при очень низкой концентрации дефектов взаимодействие

между дефектами пренебрежимо мало, мы можем исходить из усред­ ненной 1-матрицы < Т> в одноузельном приближении (2.1.61). Благода­ ря тому, что усредненные атомные 1-матрицы < 1* > пропорциональны концентрации дефектов (см. (2.1.75), (2.1.92)), из (2.1.61) можно легко увидеть, что < Т > равна

Здесь мы для простоты положили, что в кристалле существует только один вид дефектов (с концентрацией с), f обозначает атомную

l-матрицу дефекта в узле I ( C M . (2.1.72), (2.1.89)). Сумма в (2.2.1) бе­ рется по всем узлам решетки.

В предыдущем разделе было показано, что полюса < Т> определя­

ют частоты колебаний, на которые воздействуют примеси. Из (2.2.1) видно, что в линейном по с приближении полюса < Т> совпадают с по­

люсами . Следовательно, в этом приближении частоты, зависящие

от дефектов, могут быть определены при исследовании динамики изо­ лированных дефектов.

Различные экспериментальные результаты могут быть выражены

через корреляционную функцию смещение - смещение и, таким обра­

зом, с помощью (2.1.22) - через мнимую часть функции Грина смеще* ние - смещение (см. приложение 3, а также ниже). При малой концентрации дефектов вклад, вносимый дефектами в такую величину, становится пропор­ циональным мнимой части собственной энергии (например, в сечение инфракрасного поглощения, комбинационного и нейтронного рассея­

Следовательно, при низкой концентрации дефектов вычисление такой величины можно свести к вычислению соответствующей величины для системы с одиночным дефектом с последующим умножением получен­ ных таким образом результатов на число дефектов в системе.

8-297

всех эффектов колебаний при низкой концентрации дефектов. Напри­ мер, оно неприменимо при исследовании спектра колебаний вблизи частот, на которых в кристалле без дефектов имеют место особен­ ности ван Хове (см. разд. 1.4). Если использовать разложение по концентрации, то особенности ван Хове сохраняются при любой кон­ центрации, т.е, форма этих особенностей с увеличением концентра­ ции дефектов не размывается, как это можно было бы ожидать. Это является следствием неаналитического поведения спектра вблизи

особенностей ван Хове, что приводит к несправедливости любого раз­

ложения по концентрации. Отметим, что размывание особенностей можно описать с помощью некоего варианта самосогласованной тео­ рии (см. разд. 2.3.4).

Приведем сейчас некоторые формулы, необходимые в данном

разделе для исследования свойств колебаний кристалла с изолирован­ ными дефектами. Для изолированных дефектов мы используем поня­ тия, аналогичные введенным в предыдущем разделе для системы с большим числом дефектов. Матрица возмущения V дается выражение ем (2.1.31), но с массой и силовой постоянной, измененными из-за на­ личия одиночного дефекта, который, как предполагается, находится в начале координат. Порядок матрицы V определяется размером области влияния дефекта. Если через G и G0 обозначить функции Грина крис­ талла при наличии и без дефекта соответственно, то будет справедли­ во следующее уравнение Дайсона (ср. (2.1.35)):

Отметим, что для изучения влияния дефектов на различные физичес.- кие явления необходимо знать лишь элементы G, находящиеся в облас­ ти влияния дефекта^ здесь мы будем обозначать их как G. Из (2.2.3)

легко видеть, что G удовлетворяют уравнению

Уравнение (2.2.6) показывает, что матрица t имеет ненулевые элемен­ ты только в области влияния дефекта. Таким образом, мы можем за­ писать

Как указывалось выше, полюса t определяют частоты, колебаний, подверженных влиянию примесей. Переписывая (2.2.4) в виде

и сравнивая (2.2.7) и (2.2.8), мы види^ что эти частоты даются также полюсами G.

Помимо частот колебаний, большой интерес представляют изме­ нения амплитуды колебаний атомов вокруг данного дефекта. Из раз­

меров области этих изменений можно получить некую информацию о корректности приближения изолированных дефектов. Используя (2.1.22), а также свойство ImG(—со + tе ) * — ImG(co 4*:ie) (которое сле­ дует из (2.1.22) и (2.1.45)), можно легко показать, что средний квад­ рат температурных смещений дается выражением

В качестве примера экспериментальной величины мы рассмот­

рим ниже однофононное инфракрасное поглощение. Согласно (П3.20), (П3.19), (П3.22) и (2.1.17), коэффициент поглощения для кубических кристаллов имеет вид (без учета влияния локального поля)

компонента коэффициента первого члена разложения электрического ди­ польного момента по смещению и^ (I х) (т.е. тензор эффективного за­ ряда), а п - число дефектов (см. также [ 306]).

116 Глава 2

дить к локализованным и резонансным колебаниям, а также снимать ограничения, накладываемые правилами отбора, вытекающими из за­ конов сохранения квазиимпульса. Здесь мы будем изучать указанные эффекты, рассматривая одиночный дефект, расположенный в началь­ ном узле кубической решетки Браве, с массой, отличающейся от мас­ сы атомов кристалла. Используя (2.1.71) и (2.1.73), легко найти, что «-матрица (2.2.6) имеет в этом случае вид

действительна и положительна, что вытекает из (2.1.14) с использо­

ванием (2.1.39) (с заменой со на© + к) и (2.1.21). Следовательно,

согласно (2.2.12), t (со) может иметь полюс при со > coL, когда с > О, т.е. в случае легкой примеси. Соответствующее нормальное колеба­ ние называется локализованной модой, так как амплитуда смещений атома при таком колебании спадает быстрее, чем экспоненциально с увеличением расстояния от примеси.

Из (2.2.12) мы видим, что собственная частота локализованной моды дается решением уравнения

Используя G°(co) = (l/3 )Z a G°o (0, 0, со) (справедливое для кубическо­ го кристалла), равенство (2.1.39), а также свойство ортонормированности (1.3.44), перепишем уравнение для собственных значений (2.2.14) в виде1

где g°(co ') - плотность состояний колебаний кристалла без дефекта. Вообще говоря, g°(co) -►0 как (со2 - со2)</апри со -♦ coL (см. (1.4.25)),

и интеграл в (2.2.16) не расходится при со -♦ coL. Следовательно в этом случае у нас нет решения при е -+ 0. Для того чтобы существовало ло­ кализованное колебание, величина е должна превышать некое крити­ ческое значение. На рис. 2.3 показана зависимость частоты локали­ зованного колебания COQ о т величины е для случая дефекта в кубиче­ ской решетке, частотный спектр колебаний которой взят в дебаевском приближении (см. (1.4.38)). Отметим, что для такого спектра интег­ рал в (2.2.16) расходится при со -♦ cc>L так, что (трижды вырожденная) локализованная мода существует при всех е > 0.

Некоторую информацию об амплитуде колебаний атомов в локали­ зованной моде можно получить, исследуя величины амплитуды атома примеси. Для этого рассмотрим амплитуду смещения /-го атома в

Рис. 2.3. Относительная частота СОо/со^ (кривая 1) (a>L — максимальная час­

тота идеальной решетки) и вклад атома примеси, находящегося в начале ко­ ординат, в нормализованную среднеквадратичную амплитуду (кривая 2) для локализованного колебания с параметром € = (М° — A f)/M ° (М° — масса ато­ ма решетки, М — масса атома примеси) для дебаевского спектра. (Согласно

[107] .)

Здесь B*s ) (iI) _ соответствующий собственный вектор секулярного уравнения (1.3.11), а М; - масса /-го атома. Из условия ортонормированности (1.3.12) мы получаем для дефекта в данной модели

Его можно использовать, в частности, при вычислении величины

2 а[и^ , (0)]2 для локализованного колебания. Тогда с помощью (2.2.18)

можно получить информацию об амплитуде колебаний атомов крис­

талла без дефекта.

Из (2.2.4) для случая со > coL мы имеем

Ьп б?..(0,0, ш + «) = bn {G°aa(0,0, со.+ м)/[1 - МЧ(ш + «)* в®.(0,0, со +

При выводе второй строки данного равенства мы учли действи­ тельность и положительность G°(co) при со > coL . Используя (2.2.14) и (2.2.15), мы можем переписать равенство (2.2.20) в виде

Im GUO, 0, со + ге) =

мы найдем окончательное выражение для квадрата такой амплитуды атома примеси, колеблющегося с частотой локальной моды coQ,

"L

На рис. 2.3 показана зависимость величины М2а [и**) (О)]2 от е в де­ баевской модели. Мы видим, что эта величина стремится к единице

при е -+ 1. Таким образом, согласно (2.2.18), чем легче атом примеси, тем сильнее уменьшается пространственная протяженность локализо­ ванной моды.

Отметим, что вследствие предположенной кубической симметрии частота локализованной моды трижды вырождена. С понижением сим­ метрии это вырождение может быть снято, а значит, для такого де­ фекта в решетке Браве может существовать вплоть до трех решений уравнения

(см . (2.2.7)).

Согласно (2.2.23), для кристалла с запрещенной зоной в плотно­ сти состояний колебаний, локализованная мода может существовать внутри запрещенной зоны (щелевая мода). На рис. 2.4 проиллюстриро­ вано существование локализованной (GO > coL) и щелевой мод для куби­ ческой двухатомной решетки с примесью в подрешетке х = 1. Мы ви­ дим, например, что щелевая мода отщепляется от оптической зоны, если примесь тяжелее, чем наилегчайший из атомов решетки. Вообще говоря, для появления локализованного щелевого колебания сущест­ вует критическое значение массы дефекта.

Рис. 2.4. Существование щелевых и локализованных мод в зависимости от параметра е = Ш\ —M \ )l М?. Мi и М2 обозначают массы атомов подре­ шеток х - 1,2 соответственно. Верхний индекс 0 обозначает атомы идеаль­

ной решетки. (Согласно [195] .)

Рассмотрим колебание с собственной частотой, лежащей в раз­ решенной зоне кристалла без примесей:. Эти моды вблизи атома при­ меси также искажаются. Информацию о таком искажении можно сно­ ва получить из данных о квадратичной амплитуде атома примеси в та­ ком колебании, т.е. из изучения ImGao (0, 0, со -KIE ) для са < a>L« Для этой величины более корректна первая строчка равенства (2.2.20).

Однако мы должны теперь учесть тот факт, что при со < c»L величина

(0, 0, со + is) является, вообще говоря, комплексной функцией, т.е.

< 3^ (0 , 0 , о) + %е ) = Re 0°(о)) + г Im G°(co) =

Вторая строка этого уравнения была получена с использованием того факта, что для кубического кристалла G°a (0, 0, со) не зависит от a , а также с помощью (2.1.39), (1.3.44), (2.1.21), (1.4.13) и (1.4.15).

Подставляя (2.2.24) в (2.2.20) и сравнивая получившиеся выраже­ ния с (2.2.19), находим следующее выражение для квадратичной амп­ литуды атома примеси:

Г [»."«№- д а х

которое справедливо при со < <oL„ Мы видим, что амплитуда такого ко­ лебания есть величина порядка 0(ЛРН) (как и для колебаний решетки (см. (1.4.58)), в то время как амплитуда локализованной моды - ве­ личина порядка О (1) (см. (2.2.22 )). Более того, мы видим из (2.2.25), что амплитуда становится очень большой в непосредственной близо­ сти от решения уравнения

u>L

о

В этом случае знаменатель (2.2.25) имеет резонансный вид. Колеба­ ние, определяемое равенством (2.2.26), называется резонансной модой. Для такого колебания 1-матрица и функция Грина также имеют резо­ нансный вид, т.е. их мнимые части представляют собой лоренцианы

где coR дается (2.2.26). Чтобы убедиться, что это соотношение должно выполняться, мы воспользуемся (2.2.3) и разложим G 0(со) в знамена­ теле выражения для G(oo) = Gaa (0, 0, со + U) вблизи со,-. Полагая для простоты

Так как запаздывающая функция Грина должна быть аналитична в верхней полуплоскости комплексной частоты, и так как ImG°(co + ге) <0 (см. (2.2.24)). величина у(со), чтобы гарантировать правильное анали­ тическое поведение, должна быть отрицательной.

Таким образом, сильное увеличение амплитуды колебания атома примеси (см. (2.2.25)) так же, как и пик частотного спектра (см. (2.2.29)), можно использовать для характеристики резонансной моды; ее частотная зависимость определяется с помощью (2.2.26). Мы ви­ дим, что затухание такой моды пропорционально плотности состояний колебаний решетки без примесей (благодаря ImG°(coR) в (2.2.29)), т.е. пропорционально числу колебаний, на которые резонансная мода мо­ жет распасться. Для тяжелого атома примеси (большие отрицатель­ ные е) на низких частотах появляется узкий резонанс. Эта тенденция показана на рис. 2.5, где изображена квадратичная амплитуда для ато­ ма примеси в случае дебаевского спектра. При е > 0 для колебания в разрешенной зоне квадратичная амплитуда для атома примеси стано­ вится меньше, чем для атома идеального кристалла.

Численная информация об амплитуде колебаний вблизи атома при­ меси может быть получена из вычислений <и2(1)> с помощью (2.2.9). Величину ImGaa (/, I, со), входящую в это выражение, можно вычислить