книги / Принципы динамической теории решетки
..pdf32 |
Глава 1 |
рис- 1*4 показаны дисперсионные кривые реального твердого тела (кремний)* Отметим, что мощным методом определения дисперсион ных кривых является нейтронная спектроскопия (см* обзор [ 122]; ср. также приложение 3)*
Примечательно, что уравнение на собственные значения (1*3*11) имеет также три решения с нулевой частотой* Они имеют вид
(1.3.59)
где B(s) (s =1, 2, 3) - три любых взаимно перпендикулярных еди ничных вектора, а Мт _ полная масса кристалла* Они описывают трансляцию кристалла как твердого тела*
Гамильтониан периодического кристалла можно диагонализовать совершенно аналогично описанному выше (ср* (1*3*14) - (1*3*17)), вве дя новые операторы Ьк . и Ьк - согласно
(1.3.60)
(hM VI2 Е ,____ *.(* I Ъ) еikxw(bkij - b L hi). (1.3.61)
Здесь были использованы (1*3*42) и (1*3*43)* Обратные соотношения имеют вид
+ |
грв(/х)/У Д тД к)}, |
|
(1.3.62) |
|
Ьщ = Щ |
* Е |
I щ |
«.(*0 - |
|
|
|
|
|
(1.3.63) |
С помощью (1*3*7) находим коммутационные соотношения |
|
|||
U>kjy |
— djj'A(h — h'), [Ък}, Ь/с'у'] — [bkj, ЪкГ] — 0 , |
(1.3.64) |
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.3.65) |
а К - вектор обратной решетки (ср* (1*3*50))* В данном случае К равно нулю, так как в (1.3*64) к и к ' полагаются лежащими в пер вой зоне Бриллюэна*
Основные элементы теории динамики решетки |
33 |
В результате гамильтониан приобретает вид (ср. (1оЗЛ9))
Я = Z E **>/№) Ibijbuj + 1/2], |
(1.3.66) |
кj = l
ипериодический кристалл описывается аналогично (1.3,20) и (1.3.31),
т.е. Ъ*. и b - соответственно операторы рождения и уничтожения фононов, а собственные решения гамильтониана (1.3.66) записывают ся в виде
K ( fci) •••niJ ki) •••nh{kN) ... nUr(kN)) =
( N |
3r |
\—1/2 |
JV |
3r |
|
|
(1.3.67) |
/7 |
П ni(k)•) |
П |
П(Ьк])пЛк) |0>, |
||||
ft i = i |
/ |
ft |
; = i |
|
|
|
|
J(fct)...njJk,)...nj |
|
JV |
3r |
(1.3.68) |
|||
lkN) = £ |
£ |
haij(k) (щ{к) + 1/2), |
|||||
1 |
3r |
1 |
3r |
к |
/=1 |
|
|
где |
1,2,... |
|
|
|
|
|
(1.3.69) |
nf{k) = |
|
|
|
|
|
||
означают число фононов с частотой со. (А), находящихся в состоянии (1.3,67). Аналогично фотонам фононы являются бозонами, что видно из коммутационных соотношений (1,3.64) и (1.3.18). В отсутствие фононов энергия (1,3,68) представляет собой то, что обычно называ ют энергией нулевых колебаний, т.е, она равна соответственно
2-kjti<oj(k)/2 или 2 s ftcos /2 (ср, (1.3.30)).
Следует отметить, что в неупорядоченных системах, которые удовлетворяют уравнению для собственных значений (1.3.11), понятие фонон часто применяют не к кванту ficos , а, как полагается в нейт ронной спектроскопии, к квантам возбуждений типа плоских волн при условии, что такие возбуждения не слишком сильно подавлены беспорядком (см. разд, 3.2),
Ангармонические члены в решеточном потенциале (1,2.2) вызыва ют взаимодействие между фононами. Чтобы показать это, заменим операторы смещения в потенциале (1.2,2) операторами рождения и уничтожения фононов с помощью выражений (1.3,14) или (1,3.60) соот ветственно. Ангармоническая часть гамильтониана НА в случае пе риодического кристалла принимает вид
ЯА = i;V (k j)A kj + |
|
|
|
И- Л |
••• 2J |
•••» knjn) |
(1.3.70) |
я=3 fci/i |
knjn |
|
|
J -2 9 7
34 Глава 1
Z , t , .....*■ /■ >= ,(o),-.(fe,)... |
coin( k „ ) y l |
x |
|
|
„ |
г-, ^ |
, |
, |
Cai(x, |ft,;,) |
x 2 |
•••2 |
•••?»*») |
,/дт- |
|
fi*i«i |
lnttna„ |
|
|
l 1VLxi |
X exp |i[ft,aB(ii) 4--------1- fc„ae(Z„)]|, |
||||
x4fcj = bfcj + |
. |
|
|
|
c,„(xn I fcn; n)
Ж
(1.3.71)
(1.3.72)
Первый член в правой части (1оЗо70) тождественно обращается в нуль, если решеточный потенциал разложить относительно положе ний покоя атомов, которые являются также положениями равновесия (ср* разд, 1„2)о
Согласно (L3.71), коэффициенты V (kxj ь |
, knjn) полностью |
симметричны и обладают свойством |
|
У(K in ..., Kin) = V * (~ K ii,..., -K in )- |
(1.3.73) |
Другое важное свойство этих коэффициентов следует из инвариант ности силовых постоянных периодического кристалла относительно смещения решетки на любой вектор решетки х(т ) (ср„ (1*2о26))
Фах...ап{11%1> In*п) = &ai...aJJl 4" ^^1» •♦•>^п 4~ ^П^п) » |
(1.3.74) |
так как, если мы подставим (1сЗ„74) в (1оЗ„71), последнее равенство примет вид
F(fc,;„ .... k„j„) = |
zl(fc, |
+ |
••• |
+ |
к„) |
(1^№!) <'hl2N) ' |
х |
|
|
X £ |
••• £ |
Ф |
|
I'n^n) ^ |
|
||
|
*1*1«1 |
*п*n«n |
|
|
|
|||
|
v |
e«i(xl IKj\) |
Ganfan IKjn) |
|
||||
|
|
|
m |
; |
|
|
m . |
|
|
X |
exp |
|
|
4--------1 k„x(l„))\, |
(1.3.75) |
||
где Д(Л) дается (1.3.65). Таким образом, |
|
|||||||
k„jn) = |
0 |
всегда, кроме случая |
|
|||||
|
|
|
|
|
ft, 4 - *г |
4--------\-кя = К , |
(1.3.76) |
|
где К —вектор обратной решетки. |
|
|
|
|||||
Основные элементы теории динамики решетки |
35 |
Равенство (1-3.76) предполагает, что фонону с волновым векто ром k приписывается так называемый кристаллический импульс, или квазиимпульо^ЙЛ. Оно соответствует закону сохранения квазиим пульса* Согласно этому равенству, в процессах взаимодействия фо нонов, описываемых с помощью НА (1оЗ*70), квазиимпульс сохраняет ся с точностью до величины ПК, которую можно считать импульсом, переданным кристаллу как целому* Если К = 0, мы говорим о нор мальном процессе, если К ф 0 — о процессе переброса. Под послед ним можно подразумевать нормальное рассеяние плюс брэгговское отражение*
Из-за возможности процессов с К ^ 0 в (1*3.76) квазиимпульс и импульс реальной частицы существенно различаютсяЭто различие проистекает из того, что закон сохранения импульса в случае реаль ных частиц следует из инвариантности гамильтониана относительно бесконечно малых трансляций, в то время как закон (1*3.76) был вы веден из инвариантности гамильтониана относительно трансляций на вектор решетки*
Вообще говоря, взаимодействие частиц и статистика частиц тес но связаны друг с другом* Это следует из того факта, что система находящаяся в неравновесном состоянии, релаксирует к равновесно му посредством процессов взаимодействия между частицами* В слу чае фононной системы взаимодействие фононов, описываемое гамиль тонианом НА (1*3*70), обладает свойством несохранения числа час тиц* Это следует из того, что НА не коммутирует с оператором чис ла фононов N = 'Zijbjijbkj* Согласно этому, фононы ведут себя
как бозоны с равным нулю химическим потенциалом-
1.4. Термодинамические свойства и частотный спектр
Термодинамические функции кристалла в гармоническом приближе нии можно получить из статистической суммы
Z = Тг{е-*я}, |
(1.4.1) |
где Я - гамильтониан в гармоническом приближении; р = 1/kT (k - постоянная Больцмана), а Т — абсолютная температура* Вычисляя след в (1-4*1) в представлении, когда Н диагонально, для периоди ческого кристалла с помощью (1*3*66) и (1-3*67) мы найдем
36 Глава 1
Z = |
2 ... |
Г |
exp J—/) |
У hcij(U) [«,(/«•) -г |
1/2]} |
= |
|||
|
|
n;3r<fcV)“ 0 |
* |
1<> |
J |
|
|||
|
|
exp |
|
i |
phtOj{k) |
|
|
|
|
= |
ГТ____ -— |
-------------±-. |
|
|
(1.4.2) |
||||
|
i f |
1 - exp [—/№*»>*(&)] |
|
|
|
||||
Свободная энергия Гельмгольца есть |
|
|
|||||||
F = |
- к Т In Z |
= |
k T £ |
In [2 sinh (ко>,(к)12к'Г)\. |
(1.4.3) |
||||
Внутренняя энергия E, |
теплоемкость при постоянном объеме Су и |
||||||||
энтропия 5 |
кристалла имеют вид |
|
|
||||||
Е — F — Т |
|
|
= £ |
j Iw>j(k) coth (1ш0)12кТ), |
(1.4.4) |
||||
С, = |
|
|
|
|
(*^ У 1 «п Ъ *(П оф )1 2 к Т ), |
(1.4.5) |
|||
s |
|
|
|
|
{тЛР ~th ы < » т |
- |
|
||
|
- |
In [2 sinh (кщ(к)12кЩ . |
|
(1.4.6) |
|||||
Мы видим, что в гармоническом приближении термодинамические функции являются аддитивными функциями собственных частот
“ / (*)• Следовательно, все эти функции можно выразить как средние от спектральной плотности g(oo), определяемой таким образом, что g(co)dco есть доля собственных частот в интервале ( GO, со + dco)- Поэтому
II со 3: ?г |
f |
doj In [2 sinh (hcofikT)] g(to), |
(1.4.7) |
|||
|
|
|||||
Е = |
3TN 4- J |
dco coth (hwfikT) cogr(co), |
(1.4.8) |
|||
Cv = |
3rNk |
/ |
dr° [ ( w |
) 7 sinh2 (hc°i2kT)} i/ и > |
(1.4.9) |
|
|
|
| |
||||
S = |
3rNk J dco |
coth {hcofikT) — In [2 sinh (ftro/2A‘7')]j |
||||
?(“>)• |
||||||
(1.4.10)
Равенства (1*4о7) — (1.4.10) легко проверить с помощью следующего выражения для g'(co):
Основные элементы теории динамики решетки |
37 |
0{о>) = |
Ш |
$ д(ш~ |
Wi(h)) ’ |
(1.4.11) |
|
||||
ЭТОМ |
|
|
|
|
/ deo g((o) = |
1, |
|
(1.4.12) |
|
о |
|
|
|
|
где CDL - |
наибольшая собственная частота кристалла,, |
|
||
Иногда более удобно работать с функцией распределения квадра |
||||
тов собственных частот G(co2), а не с g(со), так как уравнение на соб ственные значения (1.3*41) дает квадраты собственных частот. G(а?) опре деляется таким образом, что G(oa2)dco2 есть доля собственных час тот, лежащих в интервале (со2, со2 + dco2)„ Она дается выражением
е ю = з^Г Г |
- • »№ ) ; |
(1-4-13) |
при ЭТОМ |
|
|
а*/,* |
|
|
f Лю2 G(to2) = |
1. |
(1.4.14) |
о |
|
|
Из сравнения (1„4Л1) и (1„4ЛЗ) получаем соотношение между g(co) и G (со2)
(/(со) = |
2cuG(co2). |
|
(1.4Л5) |
|
Функцию частотного распределения G(co2) можно представить |
||||
как |
I |
I / |
|
|
„ 2, _ |
АЛ |
(1.4.16) |
||
J _ |
Л |
г Г__Ё^_ |
||
0(Ш) |
3rN (2я)3 fУ jJ \Vkok«>j4‘f(k)\’ |
|
||
где интегрирование по поверхности постоянной частоты определяет ся с помощью
а>*(к) =102 , |
(1.4.17) |
а V — объем кристалла.
Чтобы вывести (1.4Л6) из (1.4ЛЗ), заменим сумму по А в (1.4ЛЗ) интегралом (см„, например, [ 438, гл„ 11)
(1.4.18)
а за элемент объема dk выберем малый цилиндр площадью dS, распо ложенный перпендикулярно поверхности (L4ol7), так как из-за б-функ-
38 Глава 1
ции в (1.4а13) только малый слой величин к около этой поверхности вносит вклад в интеграл по к. Если теперь разложить аргумент 5-функции в (L4-13) около решения уравнения (1-4-17) до первой сте пени по волновому вектору, то из-за 6-функции интеграл по направ лению, перпендикулярному поверхности (1-4-17), легко считаетсяОстающийся поверхностный интеграл и содержится в (1-4.16)-
Информацию о сингулярностях G(oo2) и g(co) получим из (1-4.16)- Это уравнение полагает, что некий вид сингулярности появляется, когда V*G0y (к) = 0 или разрывно меняет знакПоследняя ситуация имеет место в точках вырожденияТочки зоны Бриллюэна называют ся аналитическими критическими точками, если выполняются следую
щие условия: V к в*/ (к) = 0, co2(fc) можно разложить в ряд Тейлора и функциональный детерминант |<Э2со2 (к)/дкадка>| не обращается в нульСуществуют также неаналитические критические точки, но здесь мы их рассматривать не будем- В критических точках частот ная зависимость имеет максимумы, минимумы или седловые точки..
Чтобы исследовать влияние критической точки на G(co?), обра тим внимание на вклады одной из ветвей G; (со2), так как, согласно
(1-4-16), вклад этих ветвей аддитивенВыберем главные оси k x, k2, Л3 с началом координат в критической точке так, чтобы в окрестнос ти аналитической критической точки мы имели бы разложение для
« 5 » ) |
|
«/(/*) = <Ос* + рхкх* + &*22 + М-32 + •••• |
(1.4.19) |
Будем классифицировать критические точки по типам 0, 1, 2 и 3- Номер типа дается числом отрицательных коэффициентов (3 - Мы видим, что тип 0 соответствует минимуму, типы 1 и 2 - седловой точке и тип 3 - максимуму.
Рассмотрим Gy (со2) для критической точки типа О В этом слу чае поверхность постоянной частоты соЗ (к) =;• со2 с co?(fc) из (1-4-19)
представляет собой эллипсоид с объемом
(1.4.20)
С другой стороны, этот объем выражается через G . (со2)
(1.4.21)
о
Основные элементы теории динамики решетки |
39 |
где мы учли (1о4«13) и (1.А14) и использовали TV(2TT)3 в качестве плотности точек в обратном пространстве в зоне Бриллюэна. Если мы продифференцируем (1.4*21) по со2, то с помощью (L4.20) полу чим
G'(w2) “ \2nfiN1fiMз)1'2 |со2 — сос2|1/2 при СО2 > О)с2 |
(1.4.22) |
Аналогичным способом можно получить выражения для величи ны Gy (со2) и для критических точек других типов, а также для крити ческих точек в одномерных (Id) и двумерных (2d) системах. Это при водит к следующим результатам (см., например, [257]:
1с/:
тип 0 (минимум) |
|
|
|
||
Gjio)1) - |
т \о>-- ^ |
г 1'2[1 + |
sgn(w2 -<"</-)]> |
||
тип 1 (максимум) |
|
|
(1-4.23) |
||
|
|
|
|||
<*№) = |
1«* - |
w.*!-1'* [1 - |
«*п (<** - £,'^ Ь |
||
2d: |
|
|
|
|
|
тип 0 (минимум) |
|
|
|
||
|
|
Va |
|
|
|
G^ |
= M |
^ , ^ |
sen(l0° - 0^ h |
|
|
тип 1 (седловая точка) |
|
(1.4.24) |
|||
б/Дсо2) |
= - - |
|
|
|
|
|
7 In |с02 — 0>е2!» |
||||
|
|
8яМ1АА1)1/! |
|
|
|
тип 2 (максимум) |
|
|
|
||
М: |
|
|
|
|
|
тип 0 (минимум) |
|
|
|
||
0.}(ог) = |
|
_ |
|f02 _ Wt2ii/2 [1 |
-I- sgn (со2 — со,2)], |
|
2 4 ^ (А А А )1/2 тип 1 (седловая точка)
(2 _ (Ui.2!l.'2 [ _ 1 + Sgtl (ОГ -
40 Глава
тип 2 (седловая точка) |
|
|
|
1'а |
+ sgn {or — wc% |
|
24я ' г ^ Ш 11* |
|
|
|
|
тип 3 (максимум) |
|
|
<?,К) |
^ |w2 — 60С2|1/2 [1 — sgn (со2 — <»с2)], |
|
|
24лМ1ААА1)1/2 |
'(1.4.25) |
гдег;а |
V / N - объем элементарной ячейки. Сингулярное поведение, |
|
описываемое уравнениями (1.4.23) - |
(1.4.25^ показано на рис. 1.5. |
|
Чтобы проиллюстрировать такое поведение, на рис. 1.6 представлено поведение G(со2) для одномерной двухатомной цепочки [ 257]. Следу ет отметить, что уравнения (1.4.23) — (1.4.25) представляют только сингулярный вклад в G -(со2) при со? ~ со2 . Полная частотная зависи
мость Gy (со2) при со2 = со2 является суммой этого вклада и вклада, анали тического при со2» со2. Последнюю часть можно разложить по полиномам
Лежандра и вычислить с помощью моментов частотного спектра. Прежде чем описывать это более детально, мы должны немного остановиться
на проблеме критических точек.
Периодичность кристалла влечет за собой существование крити ческих точек на поверхности постоянной частоты в А-пространстве
и, следовательно, существование сингулярностей в частотном спектре.
Это было получено ван Хове [ 184] на основе топологического рас
смотрения, использующего общую теорему Морса. Так как формаль
ное доказательство теоремы Морса лежит за пределами рассмотре-
* |
_ СОсLШ |
_J_ |
|
||||
|
|
|
|
СОс |
CU |
|
|
Тип: |
|
0 |
|
|
/ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
_0Ос~СО ЖСО чООс_с о |
|
|||||
|
|
|
сис |
|
|
|
|
Тип: |
О |
|
/ |
|
|
2 |
|
" _COcLiСО |
ooc |
со |
оос |
СО |
СОс |
со |
|
Jz |
|
|
|||||
Тип: |
0 |
1 |
2 |
|
|
3 |
|
Рис. 1.5. Сингулярная часть функции распределения квадратов собственных частот G (GJ2) для различных типов критических точек (см. (1.4.23) — (1.4.25)) в одно-, двух- и трехмерных кристаллах.
Основные элементы теории динамики решетки |
41 |
Рис. 1 .6. Спектр квадратов собственных частот для одномерной двухатомной решетки. Для решетки с постоянной взаимодействия между ближайшими со седями 7 и массами М\ и М2 Ш\ ^ М 2) предельные значения частот равны
СОд = (27//Иj ) l t2, CJ0 =(27 l M 2 )lf2 nWL = [27 ( Ш 1 +1 IM2) ] l / 2 .
ния данной книги, мы ограничимся здесь качественным выводом ми нимального числа критических точек, в частности для двумерной системы. Более детальное рассмотрение работы ван Хове читатель найдет в [ 294, 324].
В случае одномерной системы периодичность с очевидностью приводит к существованию по крайней мере одного минимума и одно го максимума в каждой ветви оо^ (А). В двумерной системе соу (А) должна иметь по крайней мере один максимум и один минимум в каж дом из своих периодов. На рис. 1.7 полагается, что максимум со?(А) расположен в точке А в одной ячейке (зоне Бриллюэна) в А-простран-
Рис. 1.7. к -Пространство двумерной решетки, иллюстрирующее, каким обра
зом существование одной критической точки приводит к существованию
других (см. текст).