книги / Принципы динамической теории решетки

Здесь Д0(Е) - собственно-энергетическая часть, определяемая соотно­ шением

Q0(E) = [В - €0 - Л,(Е)У1, (3.1.26)

a N0 (£ ) - плотность состояний (взвешенная с энергией Е на узле 0. По­ следнее выражение в (3.1.25) получено с помощью формулы

и представления (2.1.21).

Величина / 0 (Е) положительна, поскольку G 0 (£ + tе) = [ G 0 (£ - te)]*. Ее можно рассматривать, таким образом, как вклад в pQ0 от состояний

с энергией £ . Разрез функции Д0 (£ ) по действительной оси, как следует из (3-1.24), соответствует делокализованным состояниям. Действитель­ но, при этом Z Q(£ ) = 0, а значит, и /0 ( £) = 0, в то время как N0 (E)Ф 0. Локализованные состояния отвечают Z 0(£) Ф' 0 и, конечно, N0 (Е) Ф 0. Мнимая часть Д0 (£ ) в об.ласти энергий локализованных состояний стре­ мится к нулю при стремлении к нулю мнимой части £ всюду, за исключе­ нием конечного числа точек, где возникают 6-функЦионные особенности. Обращение Z Q(£ ) в нуль из-за этих особенностей ничего не говорит о локализации или делокализации состояний с энергией £ , поскольку N0(E) при этом также зануляется. Состояние с энергией £ , таким образом, локализовано только в случае аналитической зависимости Д0 ( Е) от £. Отметим, что принципиальное различие в поведении-мнимой части А0(£) для .локализованных и делокализованных состояний исчезает при конфи­ гурационном усреднении Д0(£), поскольку б-функицонные особенности при этом размываются в непрерывные ненулевые функции. Необходимо, следовательно, находить функцию распределения плотности вероятности величины До (£), а не ее усредненное значение.

Для изучения аналитических свойств Д0 (£) воспользуемся разло­ жением Д0 (£ ) в соответствующие ряды теории возмущений и исследу­ ем их сходимость. Этот подход основан на допущении, что при локализа­ ции состояний с энергией £ функция Д0(£) яв.ляется аналитической и, значит, ее можно разложить в ряд. Если можно доказать сходимость этого ряда, то исходное предположение о локализации состояний будет справедливым, в противном случае оно неверно и состояния с энергией £ должны быть делокализованными.

Чтобы получить разложение Д0 (£) в ряд по известным величинам, обратимся к уравнению для функции Грина

0 -е, / 1 -е, .. . и / j*-е столбец и строку. Детерминант Sможет быть запи­ сан с помощью главных миноров в виде

где штрих при знаке суммы означает, что суммирование должно произ­ водиться по всем наборам различных индексов l2, 13, , . . , 1т >каждый из которых отличен от I^. Подставляя теперь (3.1.39) в (3.1.36) и исполь­ зуя (3.1.37) и (3.1.38), мы получаем так называемое перенормированное разложение в ряд теории возмущений .

совпадают с нулями G 1 * *в *1. В соответствии с этим в (3.1.40) все *»+1

полюса, за исключением полюсов G ° , сокращаются. Выражение (3.1.40) для Д0 (Е ) имеет, таким образом, правильное аналитическое поведение, и многократное рассеяние на одном и том же узле, приводящее к фик­ тивной расходимости ряда (3.1.30), исключается. Пена, которую прихо­ дится за это цлатить, - появление дополнительного слагаемого

*.’ -1 в каждом энергетическом знаменателе. Эти слагаемые

можно выразить с помощью соотношений, аналогичных (3.1.40). Повто­ ряя процесс исключения всех неизвестных из правой части уравнения (3.1.40) , мы получим представление каждого слагаемого уравнения (3.1.40) в виде бесконечной цепной дроби. Для сходимости всего перенор­ мированного разложения требуется: 1) сходимость итерационного про­

цесса для собственных энергий в энергетических знаменателях; 2) схо­ димость самого ряда (3.1.40) -(т.е. так назлваемого перенормированно­ го ряда теории возмущений). До сих пор исследования сходимости раз­ ложения ограничивались либо изучением сходимости итерационного процесса [1,177], либо перенормированного ряда [12,126].

При анализе итерационного процесса в правой части уравнения (3.1.40) удерживался .лишь главный член. Кроме того, различием меж­ ду собственной энергией в правой части результирующего уравнения и соответствующим выражением в ,левой части уравнения мы пренебрега­ ли. В результате получается следующее уравнение:

Отметим, что это уравнение яцляется точным для так называемой ре­ шетки Бете (см. разд. 3.3.2). Величина, предстацляющая интерес, - это плотность распределения вероятности wд (Л 0 ). Предположим для

простоты, что Уц ' постоянны для ближайших узлов, а величины , рассматриваемые как независимые переменные, характеризуются функ­ цией распределения вероятности Р Ц ). В этом случае плотность рас­ пределения вероятности определяется уравнением

«Ч (40) М Щ'j P(*l) w/u№l)'

(3.1.42)

Здесь z - координационное число. Величины Д0 и Д? в (3.1.41) статис­ тически эквивалентны; отсюда следует условие самосогласования, а именно: А 0 в .левой части уравнения должно иметь то же статистичес­ кое распределение, что и Д; в правой части. Это означает, что в обеих частях уравнения (3.1.42) а>д ..(Д .) можно заменить на w(Af.). Сущест­

вование локализованных состояний определяется наличием решений Уравнения самосогласования с Im Д0 (£), пропорциональной Im£.

При исследовании сходимости перенормированного ряда теории возмущений подразумевается, что итерационная процедура сходится. Вопрос сводится к задаче найти распределение вероятности величины

функции с некоторой функцией распределения, а сумма берется по всем путям из М шагов без самопересечений, начинающихся и заканчиваю­ щихся в узле 0. В настоящее время задача нахождения распределения вероятности Д(0М* (Е) еще далека от своего решения. Это связано с тем, что различные вклады в сумму (3.1.43) не являются независимыми друг от друга, а значит, необходимо знать степень статистической независимости этих вкладов. До сих пор изучены .лишь два предельных случая - отсутствия корреляции и очень сильной корреляции. В послед­ нем случае оказывается возможным определить так называемую функ­ цию .локализации L(E) с помощью соотношения [126]

(3.1.45)

= <ln |[E - - Л ? г '-(Я )]-Ч > .

Здесь штрих означает суммирование по всем путям из М шагов без са­ мопересечений; < . .. > отвечает конфигурационному усреднению. Функ­ ция L{E) обладает тем свойством, что, если L{E) < 1 (> 1), перенор­ мированный ряд сходится (расходится), т. е. соответствующие состоя­ ния .локализованы (делокализованы). Энергии Ес , определяемые усло­ вием L(E C) = 1, отделяют области локализованных и протяженных состояний. Отметим, что наличие конфигурационного усреднения в (3.1.45) никоим образом не означает необходимости проводить конфи­ гурационное усреднение перенормированного ряда теории возмущений. Белее детальное изложение последнего метода, часто называемого

Ц£)-методом, содержится в обзоре Личчарделло и Эконому [242].

Впоследние годы изложенные выше методы использовались при изучении проблем: 1) локализации недиагональным беспорядком и 2) .ло­ кализации в двумерных (d = 2) системах. Недиагональный беспорядок приводит к .локализации, по-видимому, вполне аналогично диагонально­ му беспорядку [140, 315]. Однако в первом случае для некоторого рас­ пределения недиагональных элементов делокализованные состояния мо­ гут существовать в середине зоны при любой степени беспорядка [18]. Испо.льзуемый подход — и это согласуется с другими методами (см. при­ мечания, сделанные в корректуре, с . 239) - приводит к выводу о лока­

ном) беспорядке [360], в то время как при d = 3 полная локализация воз­ можна лишь при вполне конечном беспорядке [361].

3 .1 .3 . Локализация колебательных состояний в трехмерных

систем ах

Условие .локализации колебательных состояний в неупорядоченных гар­ монических системах может быть представлено в форме, вполне анало­ гичной условию локализации электронов в модели Андерсона. Для колеба­ тельных состояний мы можем определить .локализацию следующим об­ разом. Предположим, что при t = 0 все атомы находятся в покое, а в момент t = 0 на некоторый атом, скажем атом в узле 0, подействовала мгновенная внешняя сила. В результате атом начал колебаться. Если он продолжает колебаться (с конечной амплитудой) при t - » эго озна­ чает, что .локализованное колебательное состояние включает в себя узел 0, в противном случае такого состояния нет.

Уравнение движения рассматриваемой системы имеет вид [ср.

где второй член в правой части описывает воздействие внешней силы на систему. С помощью этого уравнения получаем выражение для фурьеобраза смещений

где G — гриновская функция, определяемая соотношением (2.1.29) с со-> со + f£. Испрльзуя (3.1.47), находим квадрат амплитуды колебаний

где для простоты мы предположили, что /а = бао' / . С помощью (2.1.38) Саа' (00, О можно представить в виде

(3.1.49)

Подставляя теперь это выражение в (3.1.48) и усредняя по времени по­ лученное уравнение, получаем

(3.1.50) Используя (2.1.38), легко показать, что правая часть (3.1.50) равна

198 Глава 3

сумме по а величин

г—Ю& J

— оо

аналогичных выражению (3.1.18), характеризующему локализацию элек­

тронов.

Вообще говоря, из-за матричной формы силовых постоянных лока­ лизацию колебательных состояний исследовать сложнее, чем электрон­ ную локализацию. По этой причине общий подход к проблеме локализа­ ции колебательных состояний (в трехмерных и двумерных системах), базирующийся на (3.1.51), до сих пор не разработан. Однако при некото­ рых упрощающих предположениях соответствующую колебательную за­ дачу можно свести к электронной и полученные для электронов резуль­ таты использовать, чтобы качественно понять проблему локализации колебательных состояний. Продемонстрируем это на примере уравнения для функции Грина регулярной системы с массовым беспорядком (ср. (2.1.27), (3.1.52)):

которое сопоставим с уравнением (3.1.28) для электронной гриновской функции в модели Андерсона. Сделаем сильное допущение, что Фсо' ( / / ')= = *«а' Ф( / / ') , а также предположим, что ф( П #) = - у для ближайших соседей и нулю во всех других случаях. При этом для G (11')= - Gaot (//') (знак минус в определении выбран для удобства сравнения соответствую­ щих фононных и электронных задач) получим уравнение

где z - координационное число. Когда Vn * = V для ближайших соседей

и нулю во всех других случаях, уравнение (3.1.28) для электронной гри­ новской функции имеет вид

Предположим далее, что массы М( I) (энергии е1) обладают конечной функцией распределения, центрированной и имеющей пик при М0 (с 0 ) полной ширины AM(IV). Сравнивая (3.1.53) и (3.1.54), мы видим, что

200 Глава 3

наклон будет (tan<t>)max = 2. Частота, соответствующая произвольной точке на плоскости, дается соотношением

(АР)

где (AD) обозначает расстояние между точками D и А. Точка А - на­ чальная точка .линии (3.1.56). Линия (3.1.57) для колебательной задачи соответствует, таким образом, оси со2 с масштабом, пропорциональным ((М0)2 + (ДМ2)1/2,Как видно из рис. 3.5, вплоть до частоты

(АВ)

(3.1.58)

Шя ((Ж0)2 + (ЛЖ)2)1'2

(точка В лежит на кривой L (E C)= 1) все моды делокализованы. В слу­ чае слабого беспорядка, т.е. малой величины Ф локализованы лишь вы­ сокочастотные моды.

На рис. 3.6 представлены результаты исследования локализации мод в простой системе с изотропным беспорядком, обладающей акусти­ ческой и оптической ветвями фононного спектра. В этой системе узлы простой кубической решетки поочередно заселены атомами двух типов. Предполагается, что массы атомов первого (второго) типа имеют общую функцию распределения; она центрирована, имеет пик при М1 (М2) и пол­ ную ширину A W,(A w2). Сцловые постоянные выбираются в том же виде, что и постоянные, используемые при получении уравнения (3.1.53). Функ­ ция .локализации рассчитывалась в простом приближении без учета соб­ ственной энергии в выражении (3.1.45). Полученные результаты указы­ вают на локализацию высокочастотных оптических мод. В случае доста­ точно сильного беспорядка локализация также наблюдается вблизи ниж­ него края спектра оптической моды и верхнего края спектра акустичес­ кой моды.

Следует отметить, что в колебательной задаче в отличие от элект­ ронной недиагональный беспорядок всегда связан с наличием диагональ­ ного беспорядка. Таким образом, при наличии недиагонального беспо­ рядка результаты, полученные для электронов, нельзя использовать при рассмотрении колебаний решетки. Заметим, что и в спиновых систе­ мах диагональный и недиагональный беспорядки между собой коррелированы.

Характер колебательных состояний в моделях реальных структурно неупорядоченных материалов исследовался до сих пор лишь численными методами (см. разд. 3.3.1). Основные выводы относительно локализации,

Рис. 3.6. Области локализованных (заштрихованы) и делокализованных (не* заштрихованы) колебательных состояний неупорядоченной простой кубичес­ кой системы с взаимодействием ближайших соседей и двумя типами атомов. Распределение масс атомов описывается одной и той же функцией распреде­ ления, имеющей пики при М\ и Л/ 2 и полную ширину AWi =М\ и A W2 =

= 0 ,4 М 2 соответственно. Штрихпунктирная линия указывает края зоны в от­

сутствие беспорядка; СО L — соответствующая максимальная частота систе­ мы, пунктирная линия схематически показывает смещение краев зон под действием беспорядка. (Согласно [57] .)

полученные этими методами, качественно согласуются с приведенными выше результатами.

3 .2 . Возбуждения типа плоских волн

3 .2 .1 . Экспериментальные и численные результаты

Эксперименты по неупругому рассеянию "холодных" нейтронов указыва­ ют на существенную роль эффектов когерентности в некристаллических материалах. Наличие таких эффектов подразумевает возможность опи­ сывать колебательные возбуждения данных материалов приближенно в терминах возбуждений типа плоских волн, т.е. фононов. Поскольку плос­ кие волны не могут быть точными собственными состояниями неупоря­