книги / Основы пневмоавтоматики

некоторого значения, называемого критическим, остается посто­ янным, сколько бы ни уменьшалось давление /?2- Указанное яв­

ление объясняется тем, что некоторому критическому значению давлений ркр = (р21р\)кр на выходе дросселя соответствует кри­

тическая скорость, равная скорости звука и являющаяся макси­ мальной при данных условиях.

Для получения потока, имеющего скорость, большую, чем скорость звука, необходимо применять специальные средства, на­ пример различного типа сопла (геометрическое, тепловое, меха­ ническое и т. д .). В практике получения сверхзвуковых скоростей большое распространение получило сопло Лаваля. Течение газа со сверхзвуковыми скоростями рассматривается в специальных разделах газовой динамики, и эти вопросы в настоящей книге не освещены. Заметим, что возмущения в воздухе распространяют­ ся со скоростью звука. Со скоростью звука будет распростра­ няться и волна разрежения, возникающая, например, от вакуумнасоса, откачивающего воздух из пространства после дросселя. Однако при надкритическом истечении возникающая на срезе сопла звуковая скорость истечения не позволит возмущению из­ вне проникнуть внутрь сосуда, из которого происходит истечение, и в какой-либо мере повлиять на режим самого течения. Как следует из выражения (2), зависимость безразмерного расхода G/GKр от отношения давлений p2lp\ при изменении давления р2 после дросселя и постоянном pi представляет собой параболу,

левая ветвь которой не отвечает физике явления. Следует отме­ тить, что увеличение давления р\ перед дросселем ведет к возра­

станию расхода и при установлении звуковой скорости на срезе дросселя. В этом случае звуковая скорость не мешает проникно­ вению возмущений к отверстию, из которого происходит истече­ ние воздуха.

Формула для надкритического истечения получается из фор­ мулы (2) путем подстановки значения ркр. Для нахождения ркр продифференцируем по р = p2lp\ выражение, стоящее в квадрат­

ных скобках формулы (2), и приравняем результат нулю. Зна­ чение коэффициента расхода \i принимается постоянным. Тогда

получим

пк

Решая последнее уравнение относительно р, находим зна­ чение

k

при котором расход достигает максимального значения GKP. Подставляя в последнее выражение значение k = 1,4, нахо­

дим, что для воздуха 'ркр = 0,528.

31

Формула для расчета надкритического истечения газа полу­ чается из формулы (2) путем подстановки вместо pdp\ отноше­ ния (p2/pi)K и имеет вид

при надкритическом истечении зависит от давления перед дрос­ селем р\ и не зависит от давления после дросселя р2.

изобарического и т. д. Следует заметить, что значения рК для различных процессов различны.

При расчете и проектировании систем пневмоавтоматики для нахождения массового расхода воздуха через дроссели при тур­ булентном режиме течения часто применяют более простые фор­ мулы. А именно, для докритического истечения, когда pdp\ ^

(4)

а для надкритического истечения, когда pdpi ^ 0,5,

Покажем, что критическое отношение давлений для формул

(4) и (5) равно 0,5. Действительно, продифференцируем выра­

жение, стоящее в квадратных скобках формулы (4), по р = —

Р1

и результат приравняем нулю, тогда получим 1—2(p2//?i)i:p = 0. Отсюда находим, что рКр = {pdpi)кр = 0,5. Приведенные фор­

мулы (4) и (5) довольно точно аппроксимируют точные форму­ лы (2) и (3). Максимальная относительная погрешность при расчете расходов воздуха по приближенным формулам не пре­ вышает 3,4%.

И, наконец, при малых перепадах давлений на дросселе, ког­ да можно пренебречь изменением плотности, можно вести рас­ чет расхода по формулам гидравлики, справедливым для тече­ ния несжимаемой жидкости:

G = n F V 2р V P i — р2-

32

При расчетах расхода газа через жиклер важное значение имеет определение коэффициента расхода р. Коэффициент рас­ хода для жиклеров со скругленной входной кромкой, с фаской на входе в канал и для ряда других жиклеров находят по фор­ муле

Потери на выходе автоматически учитываются тем, что в рас­ четные формулы подставляют давление той среды, в которую происходит истечение, а не давление в самом узком сечении струи на выходе ее из дросселя.

Коэффициент U зависит от типа жиклера. Эксперименталь­ ные графики зависимости коэффициента сопротивления £вх от различных условий входа потока в жиклер представлены на рис. 12 [24]. Приведенные графики сняты для дросселей, имею­ щих подводящий канал, площадь которого F0 значительно боль­ ше площади проходного сечения дросселя F. Если F0 соизмери­

ма с F, то значение £вх, полученное по графикам, следует умно­

выводы. При достаточно большом радиусе г скругления кромки

коэффициент сопротивления на входе уменьшается практически до нуля (рис. 12, а). В довольно широких пределах коэффици­

ент сопротивления можно изменять путем подбора угла фаски <р и ее глубины /ф (рис. 12, б, в). Коэффициент сопротивления жик­

лера зависит также от отношения толщины стенки к диаметру, отношения расстояния Ът торца трубки до стенки к диаметру (рис. 12, г) и от отношения расстояния до экрана (стенки) от торца отверстия к диаметру (рис. 12, д).

Для отверстия в тонкой стенке коэффициент расхода можно

расхода в связи с изменением профиля скоростей на выходе из отверстия, для воздуха при отношениях р^Рх = 0,676 -г- 0,529 были получены С. А. Чаплыгиным и при отношениях pdpx =

= 0,037 — Ф. И. Франклем.

Как было показано ранее, в жиклерах имеет место турбу­ лентный режим течения при числах Рейнольдса Re ^ 2300. Од­ нако при очень малых диаметрах каналов и при малых значени­ ях перепада может существовать и ламинарное течение, что соответствует уже ламинарному дросселю.

Жиклеры получили широкое распространение в системах пневмоавтоматики и применяются как постоянные дроссели для

обеспечения необходимого перепада давлений, в управляющих усилителях типа сопло — заслонка, при построении квадраторов и других вычислительных, а также логических пневматических устройств.

Рис. 12. Графики зависимости коэффициента сопротивления от различ­ ных условий входа:

Пневматическое сопротивление типа капилляр. Пневматиче­ ское сопротивление подобного типа может быть выполнено в ви­ де длинной трубки или канала, имеющего прямоугольную, круг­ лую или иную форму сечения, у которого отношение длины к диаметру или к условному диаметру, равному 4RT*, велико.

Характер течения в каналах такого дросселя — ламинарный.

* Гидравлическим радиусом Rr называют отношение площади живого се­ чения потока к смоченному периметру.

34

Если перепад давлений на дросселе рассматриваемого типа изменяется незначительно по сравнению с абсолютными их зна­ чениями, то течение газа можно рассматривать как течение не­ сжимаемой жидкости (р = const). В этом случае расход воздуха зависит линейно от перепада давлений, а именно:

пневмоавтоматики. Поэтому, хотя в общем случае и надо учи­ тывать коэффициенты сопротивления на входе в капилляр и на выходе из него, можно приблизительно (при р = const) считать, что коэффициент сопротивления

По длине капилляра в процессе течения газа формируется параболический профиль скоростей. Участок, на котором проис­ ходит формирование профиля скоростей, называется начальным. Длина /н начального участка ламинарного течения зависит от диаметра капилляра d и числа Рейнольдса и определяется для

капилляра круглого сечения по формуле /н = 0,029dRe. Поскольку капилляр имеет постоянную температуру 71, про­

цесс течения газа по капилляру можно считать изотермическим. Будем считать, что параболический профиль скоростей сформи­ рован. При течении несжимаемой жидкости (р = const) парабо­ лический профиль будет оставаться одинаковым во всех сечени: ях. В случае течения газа, когда р = var, параболический про­ филь скоростей меняется от сечения к сечению.

Рассмотрим установившийся процесс течения газа в капилля­ ре круглого сечения между плоскостями АА и ББ (рис. 13). Так

как воздух является сжимаемой средой, его плотность по длине капилляра I меняется от одного сечения к другому. Выделим

внутри капилляра соосный с ним элементарный цилиндри­ ческий участок канала длиной dx, отстоящий от сечения ББ на

расстоянии х, внутри которого плотность можно считать посто­ янной.

Составим условие равновесия всех сил, действующих на вы­ деленный элементарный цилиндрический участок струйки возду­

Сила трения, возникающая на боковой поверхности элемен­ тарного цилиндра при его движении, равна величине 2nyxdx.

Касательные напряжения, или напряжения трения т, возни­ кающие в вязкой жидкости, выражаются формулой Ньютона1:

dv

т =

Знак минус взят потому, что производная от скорости течения воздуха по радиусу — величина отрицательная, а напряжение трения по смыслу — величина положительная 2.

Записывая условие равновесия сил, получим следующее урав­ нение:

Имея в виду, что р не зависит от у (р не меняется в преде­

лах одного сечения) и х не зависит от у, т. е. в целом и — не dx

зависит от у> можно последнюю производную вынести за знак интеграла и проинтегрировать по у. Тогда

Постоянную интегрирования с найдем из условия, что на стенке скорость равна нулю, т. е. v = 0 при у = г, где г — радиус

капилляра. Тогда получим следующее выражение для местной скорости:

по формуле Цд = 1,71 *10—5 + 4,94-10-8 t°С [— ].

du

2 Действительно, тангенс угла наклона касательной —— к. кривой про­

филя скоростей — величина отрицательная.

36

Если по капилляру течет несжимаемая жидкость, то профиль скоростей будет оставаться постоянным во всех сечениях, и, сле­ довательно, v не будет зависеть от х. Тогда можно проинтегри­

ровать уравнение (7) второй раз:

и окончательно

^ = ^ (г 2— у2).

Подсчитаем объемный расход

Для несжимаемой жидкости Q = const, и полученное уравне­

ние для этого случая можно проинтегрировать еще раз и полу­ чить окончательное выражение для объемного расхода

орг

Найдем выражение для массового расхода G воздуха с уче­

том его сжимаемости. В пределах элементарного участка струи dx плотность постоянна. Однако на протяжении всей длины /

капилляра от сечения к сечению плотность, в силу сжимаемо­ сти воздуха, является переменной величиной. Находя из уравне­ ния состояния значение р и подставляя в формулу для массового расхода, получим следующее выражение:

где- d = 2r.

Уравнения (8) и (9) называются формулами Пуазейля для сжимаемой вязкой жидкости.

При выводе формул предполагалось, что профиль скоростей параболический. Это предположение оправдано тем, что участок, ограниченный сечениями АА и ББ, был выбран за пределами

начального участка. При расчете расхода воздуха через капил­ ляр, включенный по схеме, показанной на рис. 13, б, следует

37

иметь в виду, что здесь уже не наблюдается параболическое рас­ пределение скоростей по диаметру во всех сечениях. На началь­ ном участке капилляра /н будет происходить формирование про­ филя скоростей, т. е. на начальном участке профили скоростей в различных сечениях не будут параболическими. Однако, если перепад давлений р\ — р2 достаточно мал, а отношение l/d ве­ лико, то значение /н по отношению к I будет весьма незначи­

тельным и им можно пренебречь.

Рис. 14. Схемы для расчета течения через щели:

процесс течения воздуха между двумя плоскостями (рис. 14, а, б) по щели прямоугольного сечения. Пусть высота щели равна а, длина /, ширина Ь. Выделим внутри щели элементарный участок длиной dx, в пределах которого плотность постоянна. Ось х на­ правим по длине щели на расстоянии а/2 от верхней плоскости, ось у — в направлении высоты щели. Кроме того, будем считать,

что Ь > а , при этом условии течение в щели можно рассматри­ вать как течение между двумя плоскостями. На выделенный элемент газа действуют силы, обусловленные давлением р и p + dp, а также касательным напряжением т. Сила, действующая слева, равна 2(р + dp) by, а справа — 2pby; суммарная сила от касательных напряжений равна 2bdxx.

Условие равновесия всех сил, действующих на выделенный

элемент, можно записать так:

— 2pby + 2 (р + dp)by— 2bdxx = 0.

38

что на основании закона вязкого трения Ньютона т = —р,д— , и dy

приравнивая правые части в выражениях для касательных на­ пряжений, найдем, что

dp dv

Постоянную интегрирования с находят из следующих гранич­ ных условий: при у = а/2, v = 0. Определив постоянную интегри­

Для несжимаемой жидкости последнее уравнение можно про­ интегрировать второй раз аналогично тому, как это было сдела­ но для расчета течения в круглом капилляре. Получим оконча­

Найдем максимальную скорость течения несжимаемой жид­ кости в капилляре прямоугольного сечения. Скорость течения будет максимальной, если член, стоящий в квадратных скобках формулы (10), будет иметь максимальное значение, т. е. равен единице, что соответствует у = 0. Поэтому

„Q2 (/7I — /72)

мулы для подсчета скорости.

Вычислим объемный расход несжимаемой жидкости, проте­

кающей через щель:

а

2

Q = 2 J bvdy.

Подставив значения скорости v и выполнив интегрирование,

найдем

a3b(Pl—p2)

Q

39

Учитывая, что объемный расход равен произведению площади сечения F = аЪ щели на среднюю скорость, можно записать

Q = “Т Т ” ab = ab- уср,

11о

откуда следует, что средняя скорость при течении несжимаемой жидкости в щели

Определим массовый расход газа, протекающего через щель прямоугольного сечения, с учетом его сжимаемости. На прр'Гяжении длины I плотность воздуха в силу сжимаемости будет вели­

чиной переменной. Считая процесс течения изотермическим и

После интегрирования найдем

а?Ь

G =

24рдIRT

Вычислим значение коэффициента кинетической энергии а

для случая течения несжимаемой жидкости по щели. Для этого подставим выражения (10) и (11) в формулу искомого коэффи­ циента

Jрv3dF

а= ----------

P"cV

Выполняя интегрирование, окончательно найдем, что коэффи­ циент кинетической энергии для узкой щели и ~ 1,54.

Таким образом, величины коэффициентов кинетической энер­ гии для капилляра круглого сечения и капилляра типа щели прямоугольного сечения не совпадают. Это объясняется тем, что при течении газа в капилляре круглого сечения неравномерность поля скоростей проявляется в большей степени.

В практике проектирования элементов пневмоавтоматики

цевым зазором аналогичен выводу формул для щели с той лишь разницей, что за ширину принимается длина окружности сред­ него диаметра d = 2г (рис. 14, г). Выделим некоторый элемент потока газа (рис. 14, <3) с центральным углом dy и длиной dx.

40