книги / Основы разработки нефтяных и газовых месторождений

ницей (см. рис. 5.3), форма которой может быть далека от круговой. Поэтому требуется некоторая модификация уравнения притока в скважину для учета указанного отсутствия симметрии. Уравнение (6.12) можно записать в обобщенной форме, введя так называемые коэффициенты формы Дитца3, обозначаемые Сд. Эти коэффициенты для различных геометрических форм области дренирования приве­ дены на рис. 6.4. Методика их получения будет изложена в главе 7 (раздел 6). Пока же читателю предлагается принять без обоснования следующие выкладки для вывода уравнения притока в обобщенной форме. Исключая скин-фактор, характеризующий изменение про­ ницаемости ПЗП, можно записать уравнение (6.12) следующим об­ разом:

где А - площадь области дренирования, у = 1,781 —константа, представляющая собой значение экспоненциа­ льной функции для постоянной Эйлера,

31,6 - коэффициент формы Дитца для скважины, расположенной в центре круговой области дренирования (см. рис. 6.4).

В случае квазиустановившейся фильтрации объем, дренируемый каждой скважиной, пропорционален дебиту скважины. Поэтому не­ сложно оценить объем, дренируемый каждой скважиной, и, зная сред­ нюю толщину пласта в окрестности скважины, площадь области дре­ нирования для каждой скважины. Если имеются структурные карты пласта, то можно схематизировать геометрическую форму области дренирования и, обратившись к рис. 6.4, определить коэффициент

формы СА. Очевидно, что этот коэффициент зависит не только от формы области дренирования, но и от положения скважины относи­ тельно границы этой области. Если область дренирования имеет не­ правильную форму, может потребоваться интерполяция между раз­ личными конфигурациями, представленными Дитцем. Разумеется, определить точную форму области дренирования невозможно, но обычно удается сделать приближенную оценку. Подставив найден­ ный коэффициент формы в уравнение (6.22), можно значительно по­ высить точность расчетов по уравнению притока. На рис. 6.4 указано также безразмерное время 1од = к! / сррсА, где I - период времени, в течение которого скважина работает с практически установившимся дебитом. Если расчетное значение 1ОАне превышает число, указанное для соответствующей геометрической формы, то скважина не рабо­ тает в условиях квазиустановившейся фильтрации и применять ко­ эффициенты формы Дитца нельзя.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1)ВоЬиг§, Т.С. ап<3Ьап1г, К.В., 1966. Са1си1а1юп о( 1Ье Ргобисйоп Ка1е о{ а ТЪегтаИу 8Шпи1а(е<1 \Уе11 ^РеЕТесЬ., БесетЬег: 1613-1623.

2)СгаЙ, В.С. апб На\укт$, М.Е, 1г., 1959. АррЕес! Ре1го1еит Кезетнг Еп§теепп§. РгепИсе-НаН, 1пс., Еп§1етюс1 СШГз, №\у 1егзеу.

3)ВхеИ, П.Ы., 1965. Эе(егтша1юп о{ Ауега§е Кезегуок Ргеззиге Iгош ВшМ-Цр Зигуеуз. 1.Ре1.ТесЬ., Аи§из1: 955-959.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПЬЕЗОПРОВОДНОСТИ ПРИ ПОСТОЯННОМ ДЕБИТЕ И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЕГО ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕФТЯНЫХ СКВАЖИН

7.1. ВВЕДЕНИЕ

Решение при постоянном дебите, описывающее падение давления в скважине при ее работе с постоянным дебитом, является основным уравнением, используемым при анализе результатов исследования скважин. За исключением короткого периода существования неустановившегося режима фильтрации (случай бесконечного пласта), решение существенно зависит от условий на границе пласта. В этой главе представлено решение при постоянном дебите, когда скважина расположена в ограниченном элементе пласта, - для всех геометриче­ ских форм области дренирования, рассмотренных Мэтьюзом, Бронсом и Хейзбреком, и для любой продолжительности работы сква­ жины. Решения записаны в безразмерной форме, чтобы упростить математические выкладки и придать им общий характер. Суммиро­

вание решений позволяет получить общее уравнение для исследова­ ния скважин, которое можно использовать при анализе результатов любых исследований с изменением давления в скважине. В этой главе рассмотрены такие исследования для случаев, когда пласты насыще­ ны флюидами с малой и постоянной сжимаемостью (недонасыщенная нефть). В главе 8 описывается применение этого же метода к исследо­ ванию скважин, вскрывших газовую залежь или нефтяную залежь с пластовым давлением, равным давлению насыщения.

7.2. РЕШЕНИЕ ПРИ ПОСТОЯННОМ ДЕБИТЕ

Решение уравнения (5.20) при постоянном дебите описывает из­ менение забойного давления р^ во времени после изменения дебита от 0 до ^ (в момент времени 1 = 0 начальное равновесное давление р^ = р.). Задача иллюстрируется рис. 7.1.

дебит

время, 1

неустановившаяся фильтрация

позднии период неустановившейся фильтрации

время, 1

( Ь )

Рис. 7 .1 . Решение при постоянном дебите: постоянный дебит (а),

соответствующее падение забойного давления (Ь)

Решение при постоянном дебите выражает изменение ршГво времени при любой продолжительности работы скважины с постоянным деби­ том. Кривую падения давления (рис. 7.1 (Ъ)) обычно можно разделить на три участка в зависимости от продолжительности работы скважины и геометрии пласта или части пласта, дренируемой скважиной.

Изменение давления в начальный период можно описать, используя решение уравнения (5.20) для условий неустановившейся фильтра­

ции пластовых флюидов. Принимается, что в этот период изменение давления в скважине не зависит от условий на границе области дре­ нирования скважины, и наоборот. В таком случае обычно говорят о бесконечном пласте, поскольку в период существования неустановившегося режима фильтрации пласт проявляет себя как неограничен­ ный по протяженности.

По завершении начального периода неустановившейся фильтрации наступает так называемый поздний период неустановившейся филь­ трации, когда начинает проявляться влияние границы области дре­ нирования. Когда скважина дренирует ограниченную область, форма этой области и расположение скважины относительно ее границы име­ ют большое значение при поиске соответствующего решения при по­ стоянном дебите в позднем периоде неустановившейся фильтрации.

Со временем скорость изменения забойного давления в ограни­ ченном пласте становится постоянной. Такое состояние соответ­ ствует квазиустановившемуся режиму фильтрации, описанному в главе 5 (раздел 3 (Ъ)).

Решение при постоянном дебите для любой продолжительности работы скважины было впервые представлено Херстом (Нигз!) и ван Эвердингеном в 1949 г. В этой классической работе1авторы дают ре­ шение уравнения, аналогичного уравнению теплопроводности, с по­ мощью преобразования Лапласа для случаев фильтрации пластовых флюидов при постоянном дебите и при постоянном давлении. Послед­ ний случай, соответствующий разработке залежи с притоком воды из законтурной водоносной области, будет рассмотрен в главе 9.

Полное решение Херста и ван Эвердингена (уравнение 7.34) представляет собой очень громоздкое математическое выражение, предусматривающее бесконечное суммирование функций Бесселя. Сложность этого выражения определяется характером изменения забойного давления в позднем периоде неустановившейся фильтра­ ции. Для условий неустановившейся фильтрации и квазиустановившейся фильтрации можно получить относительно простые решения, представленные в разделе 7.3. Сложность полного решения вызы­ вает большие неудобства, поскольку решение уравнения (5.20) при постоянном дебите является основной зависимостью, используемой при анализе результатов исследования скважин. Как будет показано в разделе 7.5, изменение давления в скважине можно теоретически описать при любой последовательности различных дебитов, под­ держиваемых в течение различных периодов времени. Это общий

метод, используемый при анализе результатов любых исследований нефтяных и газовых скважин.

7.3. РЕШЕНИЕ ПРИ ПОСТОЯННОМ ДЕБИТЕ ДЛЯ УСЛО­ ВИЙ НЕУСТАНОВИВШЕЙСЯ И КВАЗИУСТАНОВИВШЕЙСЯ ФИЛЬТРАЦИИ

Установлено, что в начальный период неустановившейся фильтра­ ции решение уравнения (5.20) при постоянном дебите, полученное с помощью преобразования Лапласа, может быть аппроксимировано так называемым решением для точечного стока. При этом принима­ ется, что радиус скважины пренебрежимо мал по сравнению с разме­ рами безграничного пласта и саму скважину можно рассматривать как точечный сток. Такое допущение позволяет значительно упро­ стить математические выкладки. Начальные и граничные условия записываются следующим образом:

Здесь:

a)- начальное условие, означающее, что до начала отбора давление в любой точке дренируемого объема равно начальному равновес­ ному давлению р..

B) - условие неустановившейся фильтрации, означающее, что давле­ ние на внешней бесконечно удаленной границе пласта не испыты­ вает влияния изменения давления в скважине, и наоборот.

c) - условие на внутренней границе при наличии точечного стока.

Кроме того, сохраняются допущения, сделанные при выводе урав­ нения (5.20). Они заключаются в том, что пласт однороден по всем характеристикам горной породы и изотропен по проницаемости; пласт вскрыт по всей толщине, чем обеспечивается плоскорадиаль­ ный поток; пластовый флюид имеет постоянную вязкость и малую и постоянную сжимаемость. Поэтому полученное решение применимо к потоку недонасыщенной нефти. Развивая простой метод обработ­ ки данных исследования, основанный на этих допущениях, можно

устранить многие ограничения, если учитывать, например, неполно­ ту вскрытия пласта по толщине, высокую сжимаемость притекающе­ го в скважину флюида и т. п. Такие модификации основного метода будут последовательно рассматриваться в этой и следующих главах. При указанных выше условиях уравнение

Используя эту новую переменную, можно переписать уравнение (5.20) в виде

Это обычное дифференциальное уравнение, которое можно решить, приняв

где С1и С2 - постоянные интегрирования. Определить С2 можно, ис­ пользуя граничное условие для точечного стока

Таким образом,

Когда г (и, следовательно, з) стремится к нулю,

С2 4тткЪ *

Теперь можно проинтегрировать выражение (7.5) в пределах от 1: = О (з -> ©о) до текущего значения I ($ = х) и от р. (начальное давление) до р (текущее давление)

Рх

Врезультате интегрирования получаем

оо

(7.6)

Выражение (7.6) является решением уравнения (5.20) для точечного стока, характеризующим зависимость рг{ от расстояния и времени. Выражение

оооо

(7.7)

X

где

представляет собой табулированную интегральную показательную функцию (интегральный экспоненциал), которая обозначается Е1

(х). Чтобы оценить этот интеграл на качественном уровне, обратим­ ся к рис. 7.2. Интегральная кривая, полученная при интегрирова­ нии функции, представленной на рис. 7.2 (с), на интервале от х до ©о имеет форму, показанную на рис. 7.2 (с1). Функция Е1 (х) выражается площадью под кривой на интервале от заданного значения х до бес­ конечности (заштрихованная область на рис. 7.2 (с)). Поэтому она имеет большие значения при малых х и, наоборот, малые значения при больших х. Обычно график функции Е1 (х) представляют в лога­ рифмическом масштабе, как на рис. 7.3. Из графика видно, что, если х < 0,01, Е! (х ) м о ж н о аппроксимировать следующим образом:

Здесь число 0,5772 - постоянная Эйлера, значение экспоненциальной функции для которой