книги / Теоретические основы автоматизированного управления
..pdfПри переходе к рыночной экономике R[t] —спрос на продукцию, полученный в результате маркетинговых исследований. Часто мно жество Щт], представляющее собой набор видов продукции, которые возможно производить на данном производстве, называют портфе лем заказов.
При современной рыночной экономике спрос и стоимостная оценка носят вероятностный (стохастический) характер и в силу мно жества независимых действующих на них факторов имеют чаще всего нормальное распределение.
Полагаем, что при принятых предположениях маркетинговые ис следования проведены и имеются соответствующие числовые дан ные. В этих условиях следует использовать [26] стохастическое про граммирование в виде Р- и М-моделей, которые приводятся к эквива лентным детерминированным вариантам вида (6.4).
Следует отметить, что возможно использовать несколько алго ритмов для решения задачи динамического линейного программиро вания.
«Косвенные» приемы характеризуются следующими методами: 1) пересчет плана после каждого шага по времени. Задача получа
ет большую размерность и может стать несовместной на последних интервалах времени;
2 ) переход к задаче статического линейного программирования при соблюдении определенных условий на состояние системы. К со жалению, это условие часто не соблюдается.
«Прямые» приемы связаны со следующими методами:
1) методА.И. Пропоя, проводящий аналогию с методами статиче ского линейного программирования. Однако в рамках этого метода фактически отсутствуют конструктивные алгоритмические решения;
2)метод А.И. Егорова [17], использующий свойства фундамен тальной матрицы. Применение метода связано с некоторыми затруд нениями в автоматическом нахождении фундаментальной матрицы при сложном описании (передаточной функции) исследуемого эле мента, к тому же появляются сложности в согласовании интересов элементов;
3)метод Р. Габасова [14], связанный с «опорным» решением задач как динамического линейного программирования, так и оптималь ного управления. Процесс решения получается достаточно кропот ливым, однако здесь унифицирован аппарат решения математиче ских задач различных классов.
Методы описания процедуры управления должны отвечать сле дующим основным требованиям:
•возможность синтеза на базе комплекса свойств (векторного свойства), которые, с одной стороны, удовлетворяли ЛПР, а с дру гой — позволили обеспечить высокое качество процессов управле ния (управленческие критерии);
•возможность описания различных видов технологических про изводственных структур;
•учет многомерности, многоуровневого характера управления;
•поддержание (удержание) с помощью управления оптимальных режимов функционирования систем, характеризующихся многокритериальностью и приоритетностью экономических критериев, опре деляющих динамику;
•учет замены ресурсов;
•возможность описания изменения структуры и определяемых ею динамических свойств.
Всем этим требованиям удовлетворяет предложенный ранее ап парат описания.
Впроцессе управления возможны два случая:
1)осуществляется слежение за заранее рассчитанным планом Р(0 при достаточном количестве ресурсов для управления — в стацио нарном режиме;
2)меняется план Р(/) — в стационарном режиме при недостатке ресурсов с последующим выходом на начальный план, в нестацио нарном режиме при переходе на выпуск новой продукции.
Впервом случае значение первого интеграла выражения (6.2) по стоянно и не влияет на значение и (/) в критерии. Иными словами, ис
пользуется критерий |
|
|
т |
т |
|
/ = /{<С|, е(/) > + <С2, u(r)>}dH- |
jV (/)Q e(0 + |
|
о |
о |
|
+uT(/)Ru(f)}d/ -» min. |
|
(6-5) |
Можно показать, что в этом случае, не снижая общности, крите |
||
рий приводится к виду |
|
|
т |
|
|
J = J{eTi(/)Qe((r) + uT|(/)Ru,(/)}d/-> min. |
(6 .6 ) |
|
о |
|
|
Тогда объект управления имеет вид |
|
|
к
г k (t) = A*z*(/) + B*u*(0 + £ A */-z 7 (0 + B0 ftU0(0 + w*(/),
|
к —О, К, Воо —Во, |
|
||
Z*(0) = ZAO, |
Ук(!) = Скгк(/), |
11а(/)|*=о= Uo(0, |
(6.7) |
|
или |
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
ÇakСП = k ^k{T) + BAUA(7)+ |
J^AqtjÇT) + B0AU0(7) + w*(7), |
|||
|
|
MJ*k |
|
|
|
k = О, К, |
|
|
|
ZA(O) = ZAO , |
Уа( 7) = C*ZA( 7) |
(6 .8 ) |
||
при |
|
|
|
|
[в*,Л =17*, |
|
|
||
k |o, |
k=О, |
ц |
{о, Л=0, |
|
где z t , иЛ, Уа» WA — вектор-столбцы состояний, управления, выхода, возмущений; Ак, Вк, AkJi В0А, В0, Ск— матрицы подходящей размерно сти; [/] = ц[7], ц = 1/25, ц — малый параметр, учитывающий измене
ние масштаба по времени; К —число элементов системы. Отсчет по времени t называют быстрым, а по Т—медленным.
Описание управляющей части имеет вид:
е*(Р) = Р*(Р) - Ул(Р), P = t или р = Т,
Jki = 0,5cAT(y)SA/€A(y) + 0,5f{ek(P)Qkfik(p) + UjtO)Rjw«A(P)}dp -> min,
о |
|
/ = 1, Lk, y = T или y = t, |
(6.9) |
K |
|
J \ |
(6. 10) |
*=i |
|
где еЛ— вектор-столбец отклонений; Qkl, Rkt —положительно полуопределенная и определенная матрицы; Skl — матрица, определяю щая конечные условия; Jkl —целевая функция; Lk— число целевых функций; дискретный план заменен на непрерывный рл Р).
Оптимальные модели позволяют провести согласование эконо мических интересов, выявить предельные возможности системы, по лучить аналитическое, обозримое решение. Однако оптимальный ал-
горитм может дать недостаточно адекватное описание системы, вы зывая, например, сложности с учетом алгоритма работы ЛПР.
В связи с этим полезно применить такую последовательность: сначала строят имитационную модель, которую затем улучшают пу тем применения оптимальных алгоритмов. Подробно процедура ис пользования предложенного единого математического описания приведена в работе [46].
6.2. ПЛАНИРОВАНИЕ ПРИ ИЗМЕНЯЮЩЕМСЯ СПРОСЕ
6.2.1.Технология решения задачи планирования
Процесс планирования выполняет функцию целеполагания в ин теллектуальной (в терминах адаптивной) системе управления.
Возможно выделить два режима планирования:
1 ) стационарный — при фиксированных (неизменяющихся) структурных связях;
2 ) нестационарный — с изменяющимися структурными связями системы при переходе на выпуск новой продукции.
Математическое описание второго режима базируется на матема тическом описании первого режима. В связи с этим первоначально рассмотрим стационарный режим, а затем — нестационарный.
Реальная производственная задача — линейное программирова ние (ЛП) имеет высокую размерность (порой значительно превы шающую 1000 х 3000) и большое время [Гр] решения. Для решения та ких высокоразмерных задач сложились две группы методов (рис. 6 .2 ):
1 ) решение задачи «целиком» с помощью «скоростных» методов;
2 ) декомпозиционные методы.
В первом направлении для снижения трудоемкости вычислений используют адаптивные, эллипсоидные и другие родственные мето ды, методы, учитывающие разреженность матрицы А в выражении (6.4). При этом скорость вычислений возрастает примерно на поря док.
Большим, на наш взгляд, эффектом обладают декомпозиционные методы, являющиеся порой единственной возможностью решения задачи.
К декомпозиции целесообразно обращаться при выполнении од ного из условий: 1) [/р] > [Го]; 2) [Гр] > [7Ь], где [Гр] — время решения задачи; [Го] — время, отводимое на решение задачи; [7о] — нефор мально установленный интервал времени (например, смена, не-
Рис. 6.2. Технология процесса планирования:
А —режим статический; Б —решение целиком
Рис. 6.3. Согласование интересов
сколько часов), количественно характеризующий понятие «значи тельное время решения задачи».
Принятие решения о выборе декомпозиционных методов полез но осуществлять в диалоге с компьютером (рис. 6.3).
При расчете «целиком» количество уровней структуры решения (см. подразд. 6.2.1—6.2.4) совпадает с числом уровней структуры опи сания процесса. При расчете по частям структура решения (см. под разд. 6.2.5) имеет на один уровень больше, чем структура описания.
В общем случае искомая величина оптимального плана Р[ 7] опре деляется ограничениями Af(R[7]) —3a(R[7]) < Р[7] < 7l/(R[7]) + + 3<T(R[7]). В дальнейшем для удобства будем это выражение записы вать в виде R+[7] > Р[7] >: R_[7]. Вряде случаев может быть использо вано только одностороннее ограничение P [7 ]> R _[7].
Рассмотрим сначала решение задачи целиком.
Возьмем за основу описание процесса планирования в виде Т’-за- дачи:
А Р М - * Ы * 0 ;
R+[ 7 U ] £ P M * R - [7 ];
1=1
т |
|
(6. 11) |
E ^ |
, . , ) ^ / * - , ) , Ь(/0) = Ь(0), |
|
1= 1 |
|
|
|
т |
____ |
д а , ] ) |
= £ < Сь Р[<а> max, / = |
1 , L. |
|
/= 1 |
|
Имеется важная разновидность, учитывающая возможность за мен ресурсов ( F-задача). Эта задача ранее не встречалась, потому рас смотрим ее подробнее.
Для верхнего уровня h = 3 в случае возможности замены ресурсов, обеспечивающих гибкость к процессам, можно записать:
АРМ-VM<; 0, /= 1, т;
R+m |
т |
|
|
^ £ P M ;> R -[7 ]; |
|
||
|
|
1=1 |
|
|
т |
|
|
QVM 2 |
,), £ z ( f i - ,) <; b(/m_,), b(/0) = b(0), |
(6.12) |
|
|
M |
|
|
F m t,]) = E < Q , PM > - |
<D/, b(tm. ,)> ->m ax, / = 1, L, |
|
|
i=i |
|
____ |
|
где P = JP ht,] J = h ? \ , |
R f llT |
{R/[7]}T, b (0 = 0»;, у = Т ? Р ,у = т , q, |
|
s; m = 1, M, q = 1, Ô, 5 |
= 1 , .S}T — вектор-столбцы исходных планов, |
||
спроса и наличия ресурсов (материальных т, трудовых s, оборудова ния q)',j(j = h7), 4 / — виды выпускаемой продукции и потребляемых
206
ресурсов; А = {о^} — матрица норм расходов ресурсов; Cj = {су} — вектор-строка коэффициентов 1-й (/ = 1, L) целевой функции; V[/,] = = г = 1 , Л} — вектор-столбец конструкции (совокупности взаимозаменяемых ресурсов); z(//)>b(fm_ ,) — вектор-столбцы ресур сов; Q = {qw} — матрица, определяющая долю ресурсов у в конст рукции г ; D/ — вектор-строка размерности у; < , > — скалярное произведение.
Очевидно, что
Ч»=1
Процесс решения задачи (6.12) с позиций математических имеет формальное представление, с позиций же прикладных носит ярко выраженный неформальный характер.
Следует отметить, что целевая функция в формуле (6.11) ориенти рована на имеющиеся ресурсы. Поскольку в ней последнее скалярное произведение постоянно и не влияет на решение, его можно исклю чить из целевой функции. При учете потребных ресурсов целевая функция
тт
ЖРМ ) = <С,, £Р[?,]> - <D/, £ аР[/,)>-> max, 1 = Т71,
/=1 /= 1
или
m |
____ |
F m tS ) = <С/, £ Р М > -> шах, |
/ = 1, L, |
ы |
|
где С/ = Су — DyA.
В связи с этим далее будем в целевой функции вида (6.12) учиты вать первое скалярное произведение.
Отметим, что задачи (6.11) или (6.12) имеют т-интервальную структуру и, как следствие, чрезвьиайно высокую размерность задачи.
Для снижения размерности Г-задач возможно, какдоказанов [13, 14], применение агрегирования описания и переход кдвухинтервальной структуре с последующим решением (m —1 ) двухинтервальных
задач. Тогда задача (6.11) получает вид: |
|
||
АР[7у |
< |
ЦТГ), Ь(/0) = Ь(0); |
|
R+[7>] |
> |
Р [Тр] > R"[7y; |
(6.13) |
FXP[7],]) = <Q, P[7>]> + <D/, b(7»> -> max, 1=1, L,
где P, b, R — вектор-столбцы искомого плана, ресурсов, спроса; А — матрица норм расходов; С, — вектор-строка цен на готовую про дукцию; L — количество разновидностей целевых функций. Если есть возможность замены ресурсов, выражение (6.13) незначительно усложняется:
АР[Гр] <V[7>]; |
|
R+[TP]7>?[TP] Ï R-[Tp]; |
(6.14) |
V[7>]<b(7», b(0) = b(0), |
|
т т „ ] ) = <С/, Р[7>]> -> max, |
1=1, L. |
В матричной форме выражения (6.11)—(6.14) представлены в ра ботах [13, 14].
Для среднего уровня h = 2 |
можно записать |
|
|
А*РДГр]<Ь Д Г г), |
к = 1, К, |
(6.15) |
|
FiÇPk[TP}) = £ < С * |
Р к\Тр)> |
шах, 1к = 1 , Lk, |
(6.16) |
*=i |
|
|
|
Ы Т Г) = Ь*(0) + [7>](РЛ_ А Т г) - А*Р*[7;]), |
(6.17) |
||
где К — число элементов на уровне, а остальные обозначения те же, что и в (6 .1 2 ).
С учетом А*Р*[|>] = [Т']~'ък( Ь - 0, где [Г'] — диагональная матри ца длительности технологического цикла обработки полуфабрика
тов, выражение (6.16) |
можно представить так: |
|
[ T ' № l t i+1] - |
Р*М )/[/] = (А*ÑР* - .[/,] - Р*[/,]. |
(6-18) |
Нетрудно видеть, что в (6.18) величина P*J/,] отражает величину партии запуска, а [Г'] — время опережения запуска. Достоинством записи (6.18) является явная системная зависимость всех переменных в процессе планирования.
Удобно выражение (6.18) с приемлемой точностью заменить на
следующее: |
|
G* =А* Е В Д ] - 1 р * - . № 0 . |
(6.19) |
/=Г+1 1=Г+1
Выражение (6.18) описывает горизонтальные связи, а вертикаль ные имеют вид
т
H, = A, £ р ,[/,]-Ь(Гг)£0; |
(6.20) |
/=г+ 1 |
|
т |
(6.21) |
н*= |
/= /• + 1
Нижний уровень h — 1 характеризуется набором несвязных фикси рованных (к = fixe) элементов, описываемых ограничениями (6.15) и
целевой функцией: |
|
|
F/*(P[Tpi) = <Clk, |
Pt[Tp]> -» max, |
(6.22) |
к = fixe, |
ke l, K. |
(6.23) |
Для рассмотренного оптимального планирования с одной целе вой функцией (скалярным критерием) характерны следующие обсто ятельства:
1 ) выбор вида целевой функции — процедура неформальная и не однозначная;
2 ) вид целевой функции оказывает существенное влияние на ха рактер функционирования системы;
3) использование только одного критерия характеризуется полу чением «крайних» решений, не учитывающих в достаточной мере факторов, имеющих место в реальной системе.
Для «сглаживания» этих крайностей применяют векторную целе вую функцию (многокритериальную постановку задачи). В качестве элементов векторных целевых функций могут использоваться крите рии, указанные в [39].
Составляющими критерия могут быть: выпуск товарной продук ции; производительность труда; рентабельность; фондоотдача; удельные затраты на выпуск продукции; объем и стоимость незавер шенного производства; себестоимость. В [43] в качестве составляю щих векторного критерия выбраны прибыль, доход, объем товарной продукции в оптовых ценах, нормативно-чистая продукция. Незави симо от выбора критериев формально в линейном варианте они раз личаются коэффициентами (весами) а/ при целевых функциях.
Нахождение решений при векторной целевой функции математи чески существенно усложняется и связано с определением равнове сия по Парето [10].
Полученные ранее оптимальные значения планов Р [ Т р], P\[t,] вычислены для скалярных целевых функций. Не снижая общности, считаем их первыми (/ = 1 , 4 = 1 ) в векторных целевых^ функциях (6.12), (6.14), (6.21) и обозначим через Р/*[ Гр], Р и М (илиРд [Гр]). ^
Аналогично решаются задачи для критериев Г/(Р [7],]) и /КР*[А]) для / = 2, L и 4 = 2, Lk соответственно и получим значения Р/[7}>], Р**[/,•]. Результаты решения векторной задачи в значительной мере определяются самой (неформальной) постановкой (схемой компро мисса) задачи — переходом от векторного критерия к скалярному.
Учет L критериев возможен двумя основными группами спосо бов:
1 ) веса критериев заданы (назначены) априорно (экспертами); 2 ) веса определяются в процессе решения задачи, сводящимися в
итоге к сворачиванию векторного критерия Г/ к скалярному Г через веса а/:
Г(Р*[Гр]) = £ а 1^,(Р*[7 ’, 1)^ ш а х , £<х, =1, а , ^0. (6.24)
/=1 /=1
Воспользуемся анализом методов векторной оптимизации [7], который рекомендует использовать способы второй группы.
При этом возможны следующие методы:
а) наименьших потерь локальных целевых функций от оптималь
ных значений (метод |
С1); |
|
б) минимальных потерь от |
всех критериев (метод С2); |
|
в) идеальной точки |
(метод |
СЗ). |
Для их формального представления введем (при /}т ;п = 0 ) обозна чение
g/(P[rp]) = 1 + d/(P[ Гр]),
Ф(Р[Гр]) = - Г/(Р[Гр])/Г/тах,
где F,mM Flmin — максимальное и минимальное значения целевых функций.
Очевидно, что g/ -> min соответствует Г/ -> шах.
В методе С2 задача векторной оптимизации приводится к виду
АР[Гр] < Ь(Г,);
Z; > g/ ( В Д ) , |
(6.25) |
z/ min.