книги / Теоретические основы автоматизированного управления

Окончание рис. 6.7

процесса), определяющей качество функционирования (обеспечи­ вающее экспоненциальную устойчивость). С учетом величины а при фиксированном значении к (и потому индекс к отдельного элемента уровня h = 0 опускается) выражения (6 .8 ), (6 .1 0 ) получают вид:

z(/) = Az(t) + Bu(0 + w(/), z(0) = z0; У(0 = Cz(r);

е( 0 = р(/) - у(0;

/ = 0,5e2а' ет(T)Se(T)+0,5 |е 2а' {eT(/)Qe(/)+uT (r)Ru(/)}dr -» min, (6.53)

/=0

где вместо А записано Aj. Подставив z,(/) = г(t)eat, u,(/) = u(t)ea/, У,(0 = у(/)е“', P,(/) = р(/)е", £,(/) = e(t)ear, w,(/) = w(/)e“', опустив под­ строчный символ 1, получим выражения, в которых А = А, —аЕ, где Е — единичная матрица соответствующей размерности.

Задание а позволяет обеспечить устойчивость по Ляпунову: пока­ зано, что если элемент (6 .8 ) асимптотически устойчив по Ляпунову, то и элемент (6.53) устойчив со степенью устойчивости а. В связи с этим далее рассмотрим вопросы устойчивости для элемента (6 .8 ), т. е. будем осуществлять синтез по а.

Б. Для исследования (асимптотической) устойчивости (6 .8 ) чаще всего используют положительно определенную функцию Ляпунова (ФЛ), имеющую в данном случае такой вид:

K(z(r)) = zT(f)Hz(/),

где Н — квадратная симметричная положительно определенная мат­ рица.

Чтобы элемент был устойчив, необходимо, чтобы

где G — симметричная положительно определенная матрица. Матрицы Н и G связаны уравнением Ляпунова

АТН + НА = - G.

В. Необходимым условием устойчивости является наличие управляемости (наблюдаемости) элемента. Для этого в стационарных элементах должны выполняться условия:

где п — порядок квадратной матрицы А.

Г. Квадратичная целевая функция (6.53) элемента, гарантируя ус­ тойчивость системы, позволяет одновременно обеспечить:

а) минимум ошибки е(/);

б) минимум стоимости (суммы затрат на управление и потерь из-за отклонений);

в) минимум чувствительности к параметрам и связям. Действительно, квадратичный критерий является взвешенным

критерием (с матрицами-весами Q и R).

Если матрица R выбрана исходя из требований к динамике, то в соответствии с теорией векторной оптимизации ошибка £(/) эффек­ тивно минимизируется, если вес матрицы Q много больше (в 50—100 раз) веса матрицы R. В ряде работ матрицу Q предлагается выбирать так, чтобы обеспечить нужное расположение в комплексной плоско­ сти корней характеристического уравнения замкнутой системы по выделенному на этой плоскости сектору или заданной степени устой­ чивости. Представляется, что алгоритмы такого выбора достаточно сложны для подобных систем.

В квадратичной целевой функции (6.53) можно учесть и стоимо­

где К( 0 — решение уравнения Риккати; g(/) — вектор-функция вре­ мени.

Уравнение Риккати для К(/)

К(/) + К(/)А + АТК(/) - K(/)BR-IBTK(/) + CTQC = 0, К(7) = CTSC; (6.56)

функция g( 0 находится из выражения

g(/) = ( - Ат + K(r)BR-'BT)g(/) - CTQP(/), g(7) = CTSP(7). (6.57)

При дискретном описании во времени уравнение Риккати

К(/)А - {А~т + A“TQBR“'BT}K(/ +1) - К(/ + 1)BR“ 'BTK(/ + 1) +

+ A~TQA = 0 .

Заметим, что решение u(f) при Р(/) = w(f) = 0 позволяет осущест­ вить анализ системы по величине степени устойчивости а. Действи­ тельно, а есть наименьшее по модулю значение вещественной части собственных значений характеристического уравнения замкнутой системы F = А.Е — (A — BR-IBTK), где Е — единичная матрица

В общем случае для решения задачи (6 .8 ) возможно использовать рассмотренные ранее методы векторной оптимизации. На наш

где S, и Q| — симметричные положительно определенные матрицы. Выбранное значение а сохраняется.

Заметим, что, выбрав в (6.58) определенные значения матрицы весов Qi, можно сделать чувствительность элемента достаточно ма­ лой, а элемент — грубым. За это приходится платить увеличением размерности элемента (6 .8 ).

Свойство Д определяется по закономерностям и включает в себя свойство Г. В силу этого далее будем рассматривать только свойство Г.

Таким образом, в состав векторного свойства входят: А — качество функционирования; Б — устойчивость по Ляпунову;

В — управляемость (наблюдаемость); Г — ошибка (точность) слежения за входным сигналом (планом).

По свойствам А, Б, Г осуществляется прежде всего синтез, а по свойству В — анализ элемента.

На основе предложенного векторного свойства возможны два ва­ рианта получения решений в процедуре управления.

• структура решений имеет на один уровень больше, чем структу­ ра описания (изучение по частям, декомпозиция);

• структура описания совпадает со структурой решений (изучение целиком).

Рассмотрим выработку решений в указанном порядке. При изуче­ нии свойств элементов системы с использованием декомпозиции его начальной процедурой является разделение элемента на связанные компоненты (классификация) с последующим расчетом.

6.3.2.Исследование свойств элементов

спомощью декомпозиции

Поскольку в элементе (системе) управления используется прин­ цип обратной связи, структура управления по сравнению со структу­ рой планирования приобретает новое свойство — сильную связ­ ность.

В связи с этим в классификации могут иметь место следующие процедуры:

1 ) выделение максимально сильно связных или сильных компо­ нентов [39];

2 ) формирование сильно связных множеств, если выделенные компоненты еще имеют высокую размерность;

3) децентрализация по входам или выходам.

Первая процедура предполагает формирование квазидиагональной (после перестановки строк и столбцов) матрицы

где ST — транспонированная матрица S; ® — операция поэлементно­ го умножения матриц; R — число классов; S — матрица связей.

Блоки Мг, составленные из единиц и имеющие размерность

тг х тг при

X mr = «,

/= 1

характеризуют максимально сильно связные компоненты. Сильно связные компоненты могут быть получены из сильных компонентов с использованием функционально-целевой информации.

Возможно использовать и алгоритм 2.8 приложения 2, базирую­ щийся на работах Ф. Харари.

Из формулы (П.13) приложения 2 видно, что в управлении г-м компонентом выделяются две составляющие: локальная, обуслов­ ленная только r-м компонентом, и глобальная, вызванная влиянием остальных компонентов элемента.

Наличие глобальной составляющей существенно осложняет управление из-за дополнительных информационно-обменных про­ цессов, увеличивает длительность получения решений. В связи с этим целесообразна, если это возможно, полная децентрализация (по входам), когда управление r-м компонентом осуществляется только локальной составляющей иХОКаждый компонент при этом рассчи­ тывается относительно самостоятельно, упрощается и определение свойств элемента производят по свойствам отдельных компонентов. Описание объекта управления (см. (П. 13) приложения 2) получает вид

т — число столбцов матрицы В (или Вг), предложена Д. Луенбергером, Д. Шилаком, М. Вукчевичем.

Отметим, что если п > Rm или п > /и2, где R — число классов; п — размерность вектора состояния, то перед децентрализацией по­ лезно путем классификации разделить элемент на большее количест­ во компонентов. В противном случае использование децентрализа­ ции невозможно.

Рис. 6.8. Связь динамических свойств по уровням