книги / Теоретические основы автоматизированного управления

является М-матрицей.

Неудобство использования матриц (6 .6 6 ) и (6.67) заключается в том, что назначение коэффициентов c0,j = 1, 3, в выражении (6.65) становится практически искусством исследователя.

Для упрощения расчетов целесообразно связать коэффициенты с, с характеристиками компонентов: коэффициенты = Т~4; r= ], R, выражены через собственные значения соответствующих матриц Нги Gr и получена система дифференциальных уравнений для скаляров мг, z, размерность которой снижается до величины R. Если система уравнений устойчива по Ляпунову, то устойчив и весь элемент.

Г. Точность слежения определяется при решении задачи (П.13) приложения 2 или (6.60) оптимального слежения. Нетрудно видеть, что целевая функция декомпозированного элемента монотонно за­ висит от целевых функций компонентов, т. е. целевые функции ком­ понентов и элемента согласованы. К тому же наличие эквивалентно­ сти позволяет гарантировать сходимость итеративного процесса ре­ шения.

Декомпозиционное решение задачи оптимального слежения воз­ можно при использовании для одноуровневой структуры управления многоуровневой структуры решения для задач (6.60).

Многоуровневый процесс решения одноуровневых задач (урав­ нений) использует свойства монотонности и эквивалентности. Часть переменных фиксируется на нижнем уровне, а затем итеративно уточняется на верхнем уровне. В зависимости оттого, какие перемен­ ные фиксируются, возможно использовать следующие известные ме­ тоды:

1) прогнозирование взаимодействий — INPRE (модельная коор­ динация, возможный метод);

2) баланс взаимодействий — INBAL (целевая координация, не­ возможный метод).

Определенное предпочтение следует отдать второму методу, где на нижнем уровне решения фиксируется двойственная переменная Хг при уравнении связи компонентов

Zm (f)

01=1,

Значение Хгитеративно определяется на верхнем уровне решения. Учет векторного характера целевой функции (6.60) возможно осу­ ществить в таком порядке. Первоначально для каждого r(r= I,Л) и каж­ дого /, (Jr = 14 Lr) находят оптимальные решения ur/(/) и координаты Zri(t),yri(t), t ri{t). Затем решают задачу для объекта управления (6.60) и

целевой функции

К т т

/= 0 ,5 2 2 f{[y ;(/)-y r(/)]TQr/[y*w(/) -y r(0]+

<•=1 /= 1 о

иопределяют компромиссное решение иг(/) и координаты гг(/), уг(/), е/(). Можно показать, что заданная степень устойчивости а при ком­ промиссном решении сохраняется.

Перечисленными путями и способами возможно обеспечить гру­ бость решений (малую чувствительность) задач (П. 13) приложения 2

и(6.60).

На этом процедуру изучения свойств отдельных элементов уров­ ней A = 1 и А = 3завершают и в соответствии с предлагаемой техноло­ гией расчета (см. рис. 6.7) далее исследуют взаимодействие элементов на одном уровне и уровней между собой.

При синтезе свойств уровня А = 2 возникает понятие «координа­ ция экономических интересов (целевых функций)» элементов — го­ ризонтальная координация.

Вертикальная координация («координация экономических инте­ ресов» уровней) имеет место в двух случаях взаимодействия:

Назовем эти случаи соответственно первой и второй вертикаль­ ной координацией.

б.З.З. Координация управления элементов и уровней системы

Рассмотрим первоначально процедуру горизонтальной коорди­ нации. Этот процесс описан выражениями (6.60), (6.62) при Во* = 0. Он фактически представляет собой децентрализованное взаимодей­

ствие к-х элементов. В силу этого трансформация свойств устойчиво­ сти (со степенью устойчивости а), управляемости (наблюдаемости), устойчивости по Ляпунову, чувствительности та же, что и при деком­ позиции элемента на компоненты. Точность слежения существенно зависит от характера координации целевых функций к-х элементов выражений (6 .8 ) и выражений (для к = fixe, к= \ , К):

к

где учитывается воздействие остальных элементов.

Сумма в первом уравнении формул (6.69) рассматривается как возмущение, действующее на к -й элемент. Здесь по-прежнему воз­ можны два случая:

если A < A 't где A (к = 1 , K) — целевые функции отдельных элемен­ тов. Частным случаем этого условия является зависимость

/ - È - w jt=.

В случае монотонности точность слежения при скалярном и век­ торном критериях определяют способами, описанными в подразд. 6.3.2.

Во втором случае возникает задача децентрализованной коорди­ нации (равноправных) элементов. Для этой цели удобно использо­ вать игровой подход — равновесие по Нэшу, определяемое условием

h {иГ(0, - , U * - l( 0 , «*(/), u * + i(r) , u * W > /*{иГ(/),

В реализации (6.70) вводится фиктивный элемент.

Процедура решения такой задачи — двухуровневая, итеративная, связанная с вопросом сходимости. К тому же для определения ком­ промиссного решения на каждой итерации необходима информация и решения от других (К — 1) элементов. Такая информация избыточ­ на для к-го элемента и часто не имеет места. В связи с этим предлага­ ется следующая процедура (алгоритм 2 . 9 приложения 2 ).

1.Определяют решения и*(/), координаты для к — 1, К выражения

(6. 10).

2.Находят координированные решения и*(/) и координаты z*(f), yk(t)M t) из описания объекта управления (6.69) и целевой функции:

J =о,52}{У; (о-Ул(/)тQ *[У; « -у * (/)]+

*=1о

V * (/) - UÉ (/)]т R * [и* (t) - u к (t)]\dt - » m in ,

где Qft, R* — матрицы весовых коэффициентов. Можно показать, что заданное значение а не меняется, если выполнено (6.61).

Такой же прием можно использовать при векторных критериях элементов, при этом и*(0 — оптимальные решения для к-го (много­ критериального) элемента.

С окончанием исследования уровня h = 2 (горизонтальная коор­ динация) завершают изучение отдельных уровней и переходят к рас­ смотрению процедур межуровневого взаимодействия (вертикальной координации).

Первая вертикальная координация характеризуется межуровне­ вым изменением масштабов по координатам. Оно описывается выра­ жениями (6.69), (6 .8 ) при Во* = 0.

Надо отметить, что эквивалентность действия объектов управле­ ния двух уровней в значительной степени определяется горизонталь­ ным взаимодействием. Поэтому для исследования управляемости (наблюдаемости), устойчивости (со степенью а), устойчивости по Ляпунову снова полезно использовать приемы, описанные в про­ цедуре декомпозиции подразд. 6.3.2.

Особо обсудим вопросы точности слежения, зависящие от коор­ динации целевых функций (6 .6 8 ), (6 .8 ) при Во* = 0 .

Возможны два случая:

1 ) целевые функции скоординированы;

где В, = (В0 - А'А 'В0); В2 = —А'А 'В0; Z / 7) — медленная состав­ ляющая. Быстрая составляющая определяется выражением

цзе/{7) = Az/7) + B u /7) + BôU/7);

Разделение процессов на медленную и быструю составляющие (6.74) и (6.75) позволяет анализировать последние порознь: первона­ чально быструю, а затем медленную. Одновременно упрощается изу­ чение перечисленных ранее свойств: управляемость (наблюдае­ мость), устойчивость по Ляпунову, устойчивость со степенью а (ка­ чество функционирования), ошибка слежения.

Задача определения условий устойчивости системы со степенью а может быть сведена, как показано ранее, к задаче В устойчивости по Ляпунову.

Для исследования трансформации управляемости воспользуемся известной теоремой: если матрица А — несингулярна и

где B3 = (B„ В2); В4 = (В, В^); п5, nf — размерность составляющих, то существует р* > 0 такое, что сингулярно возмущенная система (6.74), (6.75) управляема при О ^р < р*.

В. Для оценки устойчивости возмущенной системы (6 .8 ) по Ляпу­ нову воспользуемся результатами. Положим в (6.71), (6.72) UQ(T) = = и(7) = 0 :

Zo(7)=AoZ0 (7)+A 'z(7);

z(7) = p - ‘Az(7).

Введем функции Ляпунова

ko(7) = Zo(7)S0Z0 (7), v(7) = zT(7)Sz(7),

пусть а' = sup||A'||. Полагаем

Cb2||Z0 (7) | | 2 < К0 (7) < C01||Zo(7)||2, V0(7) < - C03 ||Z0 ( 7)Ц2;

C2||Z(7)||2 < v(7) < c,||z(7)||2, v(7) < - c3||z(7)||,

где ||.|| — норма вектора или матрицы.

Тогда с помощью векторной функции Ляпунова (ВФЛ) можно за­ писать:

Й(7) < - СЬзVo(T)/Coi +2C,V 2 V( 7)/(сзСг)

является М-матрицей.

Применение скалярной функции Ляпунова (СФЛ) дает аналогич­ ный результат: матрица

должна быть М-матрицей.

В силу специфики системы (6 .8 ) а* = а = 0, как видно из (6.76) и (6.77), достаточна устойчивость уровней h = 2 и h = 3 порознь. Заме­ тим, что для исследования устойчивости этой двухуровневой системы возможно использовать иерархическую схему СФЛ.

Г. Для изучения точности слежения используем выражение (6 .8 ) с записью объекта управления в виде (6.74), (6.75) и исследуем случай, когда необходима координация целевых функций при скалярных критериях уровней. Можно предложить алгоритм 2.10 приложения 2.

Таким образом, получается координированное решение для специ­ фической двухуровневой системы с разными масштабами процессов по времени и координатам. Следуетотметить, что такой же алгоритм может быть использован при векторных критериях в описании (6 .8 ).

Данный алгоритм завершает исследование — с помощью состав­ ной модели — системы управления при фиксированной структуре.

6.3.4. Управление при изменяющихся структурных связях

Нестационарный режим исследуем на базе формального описа­ ния (6 .8 ) в линейной системе, что позволит выявить фундаменталь­ ные свойства системы в «чистом виде», без наложения нелинейных эффектов. Математической базой для изучения нестационарного ре­

жима послужит формальное описание стационарного режима. По-прежнему исследуем трехуровневую структуру с числом уровней 0 = 3 (А = 0, 0) и следующим числом элементов К на уровне А: Къ = Кг = 1, К\ = Ко = К. На границе уровней А = 1 и А = 2 происхо­ дит изменение масштаба по коэффициентам, а на границе уровней А = 2иЛ = 3 — изменение масштаба по коэффициентам и времени.

Тогда объект управления уровня А = 2 имеет описание

к

y ,,Ab z b (f)+B<.u il,(f)+Bnil.Un(0+w ^ (f);

уровнях А = 2 и А = 3, выхода, сигнальных возмущений; A*, Akj, В*, B0;t, С* — матрицы подходящей размерности; t — принятый масштаб времени. Если Akj = В0* = 0, к = fixe при к е 1, К, то получим описа­ ние объекта управления уровня А= 1 .

Для уровня А = 3 объект управления формально может быть пред­ ставлен в виде

Z*(7’) = A0 Z 0 (r)+ B 0 U 0 (7’) + |; A 0 t zjt(T)+W 0c(T); *=i

где T — новый масштаб времени, а остальные обозначения те же, что и в выражении (6.78).

При координации уровней А = 3 и А = 2 выражение (6.78) часто записывают в другом масштабе времени:

к

ld k (T )= A kz k (T)+ £А *,.гу(Г)+ВАи*(Г)+В 0 * и о ( 7 > < ( Г ) ; j=\,j*k

где р — малый параметр; Т= mt.

Для управляющей части возможна следующая запись.

тельно и положительно определенные матрицы; / = 1,1; L — количе­ ство целевых функций в векторном критерии.

Для уровня h = 2

выходов уir)(f)>для линейной системы достаточно решить уравнение

ные движения usc^fy), определяемые из (6.84) приЩс\ ( ) = 0- Для ис­ следования процессов (6.84) можно использовать методы изучения стационарного режима, минимизируя длительность (1 структурного переходного процесса. Очевидно, что z8Y)(P) = 0 и начинается стацио­ нарный процесс для новой структуры.

Отметим, что на интервале времени р может изучаться и вектор­ ное свойство (степень устойчивости, устойчивость по Ляпунову, управляемость, точность, чувствительность).

Следует сказать, что приведенный математический аппарат опи­ сания динамических свойств позволяет проводить анализ и синтез динамических свойств (процессов) при изменениях целей (структур­ ных связей при прежнем составе структурных элементов), парамет­ рических изменениях и изменениях структуры (с новым составом структурных элементов и соответствующими связями между ними).

Отметим, что фактически учтен случай появления (удаления) но­ вых структурных элементов, что имеет место при модернизации и ре­ конструкции системы. Сказанное относится и к процессу планирова­ ния.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Какие методы используют при решении задачи планирования в адаптив­ ном управлении?

2.Какие требования предъявляют к процессу планирования в многоуровне­ вых управляющих системах?

3.Какие алгоритмы используют для решения задач динамического линей­ ного программирования?

4.Укажите области применения оптимальных и имитационных моделей.

5.Каким требованиям должны отвечать методы описания процедуры управ­

ления?

6.Какие существуют режимы планирования?

7.Укажите условия, гарантирующие совместность при ресурсном обеспече­ нии плана.

8.Для каких целей используют методы квазиобратных матриц?

9.Какие классы задач выделяют в задаче согласования интересов?

10.При каких условиях элементы ресурсного обеспечения являются согла­ сованными?

11.Перечислите исходные дополнительные данные при переходе на выпуск новой продукции.

12.Укажите варианты запуска новой и снятия старой продукции.

13.В каких случаях используют расчет с помощью декомпозиции?

14.Укажите достоинства и недостатки имитационной модели.

15.Какие функции выполняет линейно-квадратичный критерий?

16.Определите основное свойство, с помощью которого ЛПР может задать динамику (время на устранение отклонения в выполнении плана).

17.Какие составляющие входят в состав векторного свойства?

18.Какие свойства используются при многоуровневом процессе решения одноуровневых задач?

19.Раскройте понятия горизонтальной и вертикальной координации.