книги / Теоретические основы автоматизированного управления

В варианте 1.4 потери AF^k —0, а выигрыш ДЯц определяют из вы­ ражения (6.38), где Р4*[Г,] устанавливают на основе маркетинговых исследований:

При использовании варианта 1.3 возникают дополнительные по­ тери

%

^ 4 к =<^4*, ^ P 4 * t^ ]>» /=I

где л3 определяют из значения Т3 = л3[/]; Т3 — запаздывание выпуска продукции по отношению к моменту полного снятия с производства продукции РЗА:.

В вариантах 1.2 — 1.4 за счет лучшей организации возможен до­ полнительный выигрыш

л,-л,

технологического цикла для новой продукции; t4 = «,[?] — запазды­ вание в выпуске продукции, связанное с организационными факто­ рами; т4 < / 4 и, следовательно, п2 < п{.

Очевидно, что вариант 1.4 предпочтительнее вариантов 1 .1 и 1.3, однако организационно он сложнее. В итоге окончательный выбор

а для уровня h - 2 , где имеет место горизонтальное взаимодействие элементов, в дополнение к (6.41) получим выражения (6.42) для материальных ресурсов

и целевой функции

Выражения (6.36)—(6.43) фактически составляют математическую модель процесса определения нового плана, исследование которого можно провести методами, описанными в подразд. 6 .2 .2 —6.2.3.

6.2.5. Расчет с помощью декомпозиции (по частям)

До сих пор считалось, что размерность задач позволяла решать их целиком.

При большой размерности векторов Р и Р* решения находят ис­ пользуя декомпозиции (см. рис. 6 .2 ) с постепенным укрупнением структуры по схеме «компонент — элемент — уровень — система», где под компонентами понимают составные части, на которые разде­ ляется элемент структуры.

Далее рассмотрим задачу (6.13) без второго выражения, полагая, что оно соответствующим образом введено в первое.

Декомпозиция подразумевает:

•выделение сильно связных множеств (классификацию);

•декомпозиционное решение задачи.

При выполнении процедуры классификации полезно учитывать следующие предварительные рекомендации:

1 ) выбирать количество классов К в пределах 6 — 8 с одинаковым по возможности числом элементов т в каждом [46];

2 ) иметь между классами минимум связей, чтобы уменьшить ин­ формационный обмен и значительно увеличить скорость решения;

3) использовать для классификации предпочтительно простые, быстродействующие и эффективные алгоритмы.

Данная задача является нестандартной задачей кластеризации, ибо проводится на двудольном графе. Ее трудно представить фор­

мально в виде задачи целочисленного программирования, что служит одной из причин применения для решения таких задач эвристиче­ ских алгоритмов [7].

Предлагается использовать известный алгоритм 2.5 приложения 2. Для декомпозиции можно применять алгоритмы выделения силь­

но связных множеств [46].

Задача содержательно ставится так. Необходимо разделить ^ э л е ­ ментов, связи которых характеризуются коэффициентами матрицы А = {aqv}, на А"классов по /и*(к = 1 , К) элементов в каждом так, чтобы взвешенная сумма связей между классами была минимальна.

Рассмотрим случай, когда заданы количество классов К и число элементов в классе /и* (часто /я* = т = const).

Используемые методы возможно разделить на точные и прибли­ женные.

Точная постановка данной задачи [39] имеет вид алгоритма 2.6 приложения 2 .

Это задача целочисленного квадратичного программирования, обладающая большим количеством переменных / = KN + K N 2и зна­ чительным числом ограничений т = K N 2 + К. Уже при К = 2 и N —6 размерность задачи I х т = 84 х 74.

Задача (П.6 )—(П. 10), как показано в [7], может быть приведена к линейной целочисленной:

кN N

*=1<M

гДе У9*к= (°. U» mk = m.

Задача имеет размерность 1 x m = K N 2 x (K + 2N) и уже для К = 2 и N = 6 размерность 1 x т = 72 х 14. Следовательно, такая задача при значительных величинах К и N характеризуется высокой размерно­ стью (и длительным временем решения).

В связи с этим предпочтительнее использовать приближенные методы:

•метод эквивалентных преобразований;

•последовательные методы.

Из двух разновидностей метода эквивалентных преобразований [3 9 ] более универсальным и конструктивным является метод, состав­ ленный из двух процедур: нахождение первого приближения; улуч­ шение решения путем целенаправленной перестановки строк и столбцов матрицы А.

В процедуре нахождения первого приближения задача (П.6 )—(П. 10) алгоритма 2 . 6 заменяется на линейную задачу целочисленного про­ граммирования. Ее применение описано в [39], там же формально из­ ложена процедура улучшения решений, которая в общем случае мо­ жет не привести к оптимальному решению.

Процедуры метода эквивалентных преобразований при большой размерности матрицы А являются задачами достаточно сложными и самостоятельными.

Желание упростить и совместить эти процедуры привело к широ­ кому использованию последовательных методов.

Их идея заключается в последовательном выделении к-го семей­ ства (класса) и исключения его элементов (и связей) из матрицы А на последующих итерациях. Центром, вокруг которого образуется каж­ дый &-й класс, служит опорный элемент, выделяемый по критерию

На базе последовательных методов сформулирован [46] и предло­ жен алгоритм, отличительной чертой которого является [74] рассмот­ рение на каждой итерации только двух классов (алгоритм 2.7 прило­ жения 2 с разновидностями Al — А5).

Отметим также, что структура матрицы А задачи (6.13) с выделен­ ными подматрицами — кластерами может быть двух видов:

где диагональные элементы А,- характеризуют выделенные классы, а матрицы Ау определяют связи между классами, или

где s {s = 1,5) — номер итерации; WQ —двойственная переменная. При декомпозиционном подходе необходима проверка совмест­

ности задач (6.51) и (6.52). Условия совместности «о-задачи (6.51) и за­ дачи (6.52) трансформируются с заменой [13] Ь® на (bô° + ДЬ“), bo, на (Ью + ДЬШ) с ценами D® и Dffl соответственно.

Потребное количество ресурсов для решения задач определяется выражениями Ьо > (Ь“ + ДЬ“), b„ > (b,» + ДЬ,„).

При декомпозиционном решении задачи (6.13), равно как и (6.15), (6.22), имеет место следующий сходящийся итерационный ал­ горитм 2.7 приложения 2.

Таким образом, определен оптимальный план P*[7)J для задачи (6.13) при ее решении целиком (© = 1) или через ©-компоненты при декомпозиционном решении [46].

Аналогично получаем решения Р*[/,] для отдельных к-х (к = fixe, к= I, К) элементов, описываемых выражениями (6.15), (6.22).

Отметим, что «факторизованная» задача при декомпозиционном способе дает то же решение, которое получается при рассмотрении задачи целиком.

Сказанное в данном подразделе справедливо и для нестационар­ ного режима.

6.3. УПРАВЛЕНИЕ ПРИ ИЗМЕНЯЮЩЕМСЯ СПРОСЕ

6.3.1.Векторное свойство элементов

иэтапы его изучения

Специфика многоуровневой системы заключается в том, что в критериях ее работы должны быть учтены как экономические, так и управленческие (динамические) характеристики

В подразд. 6.2 сильный акцент сделан на экономическую состав­ ляющую, рассмотрен лишь один вариант задания динамических ха­ рактеристик. При этом детально не обсуждались условия обеспече­ ния характеристик динамического режима, не рассматривались след­ ствия неопределенности в получении информации для управляющей части системы. В то же время степень оптимизации в значительной мере определяется динамическими характеристиками.

Допустим, что целеполагание проведено и цели определены мето­ дами, приведенными в подразд. 6 .2 .

Математический аппарат описания процедуры должен удовле­ творять противоречивому требованию — удовлетворения ЛПР и обеспечения высокого качества процессов.

Описание должно позволять учитывать, с одной стороны, алго­ ритм работы ЛПР, что возможно сделать только с помощью имитаци­ онной модели, с другой стороны, интересы структурных элементов с последующим улучшением режимов использования ресурсов, что возможно лишь в оптимизационной модели. Иными словами, полу­ чение данных для модели из реальной системы удобнее осуществлять в рамках имитационной модели, тогда как улучшение характеристик процедуры управления требует наличия модели оптимального управ­ ления.

Выходом из создавшегося противоречия является уточненная тех­ нология: построение имитационной модели процедуры управления с последующим улучшением характеристик процедуры путем перехода к оптимальной модели.

Для построения имитационной модели предложено использовать технологию, приведенную в подразд. 6.2.1. Одна из разновидностей имитационной модели приведена в [7, 43, 46].

Имитационная модель может предусматривать принятие оконча­ тельного решения человеком на основе решений — советов компью­ тера. Достоинство имитационной модели — простота ее построения, хотя в оценке адекватности имеются сложности [46].

Полезной стороной имитационной модели является учет нели­ нейностей (по координатам), близость описания решений модели к

решениям ЛПР. Однако в ней слабо описана связь (прежде всего эко­ номическая) между уровнями, а удержание заранее выработанного плана Рд [/,] может сказаться неблагоприятно. Принятие решений с учетом только ограничений и численный характер модели затрудня­ ют выявление общих закономерностей. К тому же большое разнооб­ разие описания различных элементов неудобно и вызывает потреб­ ность в более единообразной форме представления с учетом опти­ мальности режима функционирования.

Желательна возможность использования аналитических методов, что фактически означает [7] асимптотический переход от дискретных имитационных моделей к непрерывным. Одновременно создаются предпосылки для построения оптимальной [46] многоуровневой мо­ дели процесса управления с согласованием интересов (целевых функций). С этой целью перейдем к описанию в пространстве со­ стояний с линейно-квадратичным критерием. Такой критерий по­ зволяет учесть:

•линейную, экономическую аддитивную составляющую, при этом вновь полученный критерий может быть снова приведен к ли­ нейно-квадратическому варианту с другими числовыми параметра­ ми;

•корректировку плана и слежение за планом (рис. 6 .6 ). Тогда описание процедуры управления получает вид (6 .8 )—(6 .10). Заметим, что если в (6 .8 ), (6.10) tV/dt) = р*(/) = 0, решение имеет

вид

u*(/) = - K*z*(/),

где К* — матрица, и замкнутая система описывается уравнением

2 к(0 = {Ал ~ В*к*} = G*z*(/).

В выборе собственных значений матрицы G* или коэффициентов матрицы К* имеется два направления: модальное и оптимальное управления.

При модальном управлении значение матрицы К*выбирается так, чтобы обеспечить заданное расположение корней матрицы G*, при этом не учитывается приведенный ранее критерий, а реализация по­ лучается сравнительно простой. Однако такое решение неоднознач­ но, порой избыточно и существенно затрудняет согласование интере­ сов элементов. В связи с этим предпочтение отдано второму направ­ лению.

В силу рассмотренных обстоятельств описание (6 .8 )—(6.10) поло­ жим в основу исследования свойств многоуровневой системы с помо-

Рис. 6.7. Схема управления верхнего уровня