Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

27 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 5825 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

6.1.120

6.1.121

6.1.122.

6.1.123.

6.1.124.

6.1.125.

3)сумма двух нечетных функций есть нечетная функция;

4)произведение четной и нечетной функции есть нечетная функция.

Верно ли, что сумма четной и нечетной функции есть четная функция? нечетная функция? Ответ пояснить.

Какая функция, определенная на всей действительной оси, яв ляется и четной и нечетной одновременно? Показать, что такая функция единственна.

Пусть /(х ) — произвольная функция с симметричной относи тельно нуля областью определения. Доказать, что:

1) функция /(x ) + / ( - x ) — четная; 2) функция /(x ) - / ( - х ) — нечетная.

Пусть функция /(х ) периодическая и имеет период Т. Дока зать, что функция f(kx + b), где к ф 0, также периодическая с периодом к и

Пусть функции /Д х) и /г(х) периодические с периодами Т\ и I 2 соответственно. Доказать, что любое положительное число, кратное Т\ и Т2, является периодом функций /1 ± / 2, fi / 2.

Обозначим через D(x) функцию Дирихле:

				D{x)		при рациональных х,
					- G	при иррациональных х.
	Доказать, что:
	1) периодом этой функции является любое рациональное чи
	сло, большее нуля (поэтому у этой периодической функции нет
	наименьшего положительного периода);
	2) никакое иррациональное число не является периодом этой
	функции.
6.1.126.	Доказать, что следующие функции не являются периодически
	ми:
	1)	f(x)	=	cos х 2;
	2)	/(x )	=	sin \|x\|;
	3) f(x) = x •sinx;
	4)	/(x )	=	In cos x.
6.1.127.	Найти наименьший положительный период функций:
	1)	у =	cos2 x -		sin2 x;
	2)	y =	I sin 2x\|;
	3)	2/ =	sin4 f +		cos4 f .
6.1.128.	Доказать, что:
	1)	график функции у = \|/(х)\| получается из графика функции
	У = /(х )			так: часть графика, расположенная не ниже оси Ох,
	остается без изменений, а «нижняя» часть графика симметрич
	но отражается относительно оси Ох;

	2)	график функции у = /(\|х\|) получается из графика функции
	у =	/(я ) так: правая часть графика (при х ^ 0) остается без из
	менений, а вместо «левой» строится симметричное отражение
	«правой» относительно оси Оу.
П ост роит ь графики функций:
6 .1 .1 2 9 .	у =	cos2 х.	6 .1 .1 3 0 .	у = sin4х 4- cos4х.
6 .1 .1 3 1 .	у = arcsin(sinx).		6 .1 .1 3 2 .	у = х 4- sinx.
6 .1 .1 3 3 .	у =	sign(cosx).	6 .1 .1 3 4 .	0 = \|х \|4 -\|х + 1\|4-\|х 4-2\|.
6 .1 .1 3 5 .	у = log3(sinx).		6 .1 .1 3 6 .
			6 .1 .1 3 6 .
6 .1 .1 3 7 .	Решить графически уравнения:
	1 ) \х - 3\| - х - 1 = 0;
	2) .г3 4- 2х — 4 = 0;
	3) In х 4- х = 1.
6 .1 .1 3 8 .	Решить графически неравенства:
	1 ) х 3 > х;
	2) 2* + х > 0;
	3) sinx ^ i .
6 .1 .1 3 9 .	Найти /( х ) , если известно, что
	1 ) / ( * + 2) = ^		;
	2) / ( х 3) = х 2 4- 4;
6 .1 .1 4 0 .	Доказать, что существует только одна функция /( х ) , опреде
	ленная на всей числовой оси, такая, что для любой функции
	д {х ), также определенной на всей оси, справедливо равенство
			/ ° 9 = 9 °	/•
	Найти эту функцию.
6 .1 .1 4 1 .	Существуют ли функции, обратные сами себе? Ответ обосно
	вать.
6 .1 .1 4 2 .	Что можно сказать о графике функции, обратной самой себе?
6 .1 .1 4 3 .	Доказать, что четная функция не может быть строго монотон
	ной.
6 .1 .1 4 4 .	Доказать, что:
	1 ) сумма двух возрастающих (убывающих) функций — также

возрастающая (соответственно, убывающая) функция;

2) сумма, разность и произведение двух ограниченных функ

ций — также ограниченная функция.

0.1.145. Показать, что:

1) частное двух ограниченных функций может не быть огра ниченной функцией; 2) произведение двух возрастающих функций может не быть

возрастающей функцией.

6.1.146. Показать, что следующие функции ограничены:

1) Л*) =

2) / ( . ) = ..М	. ..
у 2 -	cos гг
6.1.147. Доказать, что

1) функция у = shx, х еШ имеет обратную функцию, равную 1п(х + у/х2 + 1). Эта обратная функция называется ареасинус гиперболический и обозначается arshx. Таким образом,

arshx = 1п(х + у/х2 + 1);

2) функция у = thx, х е М имеет обратную, равную i In A-i—.

Эта функция называется ареатангенс гиперболический и обо значается arthx. Таким образом,

fli	1 ,	1 + *
arth х =	- In	------ .
	2	1 - х

6.1.148. Исключив параметр t, явно выразить функцию у:

1\	= «+ 3,
	\у = t2 + 6t + 10;
	j x = 3cos2t,
'	\y = 2 sin2 1.

§2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ СВОЙСТВА Определение последовательности

$	Пусть каждому натуральному числу п (т.е. п = 1, 2,3, ... )
	по некоторому закону поставлено в соответствие единственное
	действительное число х„. В этом случае говорят, что задана
	последовательность: xi, Х2, . . . , хп, ...
	Последовательность х\, Х2, . .. , х „ , ... будем обозначать {х п}.
^	Числа xi, Х2, . .. , яп, ... в последовательности {х п} называют
	ся членами последовательности; х\ — 1-м членом последова
	тельности, Х2 — 2-м членом последовательности,. .. , х п — п-м
	(энным) или общим членом последовательности.

^Формулы, позволяющие выразить n-й член последовательно сти через предыдущие члены, называются рекуррентными.

Свойства последовательностей

^Последовательность, все члены которой равны одному и тому же числу, называется постоянной.

Таким образом, для постоянной последовательности {х п} имеем:

Х\ — Хо — ' ’ ' — Хп — . . .

^Последовательность {т п} называется неубывающей (невоз


растающей), если Vn: хп ^ æ„+i, т.е. х\ ^ х-2 ^		^	агп ^
^ жУ1+1 ^	(соответственно, Vn: xn ^ x n+i , т. е. х\ ^ Х2		^ ...
^ Zn ^ ^n+i ^ •••)•

Невозрастающие и неубывающие последовательности объединяют об щим термином — монотонные последовательности.

^Последовательность {х п} называется возрастающей (убываю


щей), если Vn: яп < æn+i, т. е. .г*1 < Х2 •••< хп < xn+i		(соот
ветственно, Vn: яп > xn+i , т. е. х\ > Хо >	> хп > xn+i > ... )

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим названием — строго монотонные последовательности.

^Последовательность {а;п} называется ограниченной сверху (ограниченной снизу), если существует такое число М, что все члены последовательности меньше (соответственно, больше), чем М.

Последовательность, ограниченная сверху и снизу одновременно, на зывается ограниченной.

Это определение равносильно следующему: последовательность {хп} ограничена, если существует такое число М > 0, что для всех п справед ливо неравенство |xn|< М.

Последовательность {х „ } называется неограниченной, если для любого М > 0 найдется такой ее член хп, что |xn|> М.

Действия над последовательностями

^Пусть {х „ } и {уп} — две произвольные последовательности. Суммой (разностью) последовательностей { хп} и { уп} назы вается последовательность, каждый член которой есть сумма (соответственно, разность) соответствующих членов последо вательностей {хп} и {уп}.

Таким образом, {х п} + {уп} = {хп + уп}.

Аналогично определяется произведение и частное двух последова тельностей {жЛ} и { уп}, причем в случае частного, разумеется, предпо лагается, что уп ф 0, Уп.

Другими словами, для того, чтобы сложить, вычесть, умножить или разделить две данные последовательности, надо сложить, вычесть, умно жить или разделить их соответствующие члены.

Частным случаем операции умножения последовательностей (если одна из последовательностей постоянна) является операция умножения последовательности на число: для того, чтобы умножить последователь ность {хп} на число х , необходимо каждый член этой последовательности умножить на а, т.е. а •{жп} = {а •хп}.

6.2.1. Написать первые четыре члена последовательности {жп}, если:

2) хп — n-й знак в десятичной записи числа е;

3)х\ = 1, хп = ж„_1 + 2.

О1) Подставляя поочередно п = 1,2,3,4 в формулу для об

щего	члена последовательности, найдем: х\				= — 1, Х2 =		i ,
—	1	ч	1				L
—	з	ч
2)	Поскольку е = 2,71828..., то х\ =			2,	ж2 =	7, жз =	1,
Ж4 = 8.				хп-\ 4- 2
3)	В	соответствии с формулой ж„ =		хп-\ 4- 2		получим:
ж2 = Х\ 4* 2 = 3, Жз = ж2 4* 2 = 5, Ж4 = жз 4* 2 = 7.							®

Написать первые четыре члена последовательности {жп},						если:
6.2.2.	хп = 2п+\		6.2.3.	x„ =	n2 + 2n + 3.
6.2.4.	хп =	(- 1 )п + 1.	6.2.5.	x -	n + . 1
6.2.6.	хп =	sin	6.2.7.	Ж1 =	1, xn —	n •Жп_ 1.

Зная несколько первых членов последовательности {жп}, написать фор мулу ее общего члена:

6.2.8.	1 I 1 1				6.2.9.	1 1 1 1 1
		3 ’ 5 ’ 7 ’ * ’ ’			6 .2 .11.	A* 4 ’ 9' 16’ 25’ * ' *
6.2.10.	2 i A i l i l				6 .2 .11.	- 1 , 2 , - 3 , 4 , - 5 , . . .
	’	2*	3*	4 ’ *"
6.2.12.	Какие из следующих последовательностей ограничены сверху?
	ограничены снизу? ограничены?
	1) 2,4 ,6, 8, .. . ;
	2) - 1 , - 4 , - 9 , - 1 6 , . . . ;
	оч 1		1	0ЭГ» •••>
	°/	о >		0ЭГ» •••>
	4)	- 2 , 4 , - 8 , 1 6 , . . .

О 1) Данная последовательность, состоящая из всех четных положительных чисел, ограничена снизу, но не ограничена сверху.

2)Последовательность ограничена сверху (хп = —п2 < О,

п= 1, 2,3, ... ), но не ограничена снизу.

3)Последовательность ограничена, так как она ограничена

	снизу и сверху: 0 < хп =	^	< 1.
	4) Последовательность { ( —2)п} не ограничена, так как для
	любого числа М > 0 можно найти такой номер п, что \|тп\|=
	= 2п > М.					•
Какие из следующих последовательностей {.г*п} ограничены, если:
6.2 .13 .	= ( - 1)71*	6.2.14.		хп = п3 +2п.
6.2.15.	хп = —In п.	6 .2.16.		х„ =	п
					п
6.2.17.	хп = (-1 )"- п.	й - )1 й		п. - I 1		«P» п=2к,
		0	.2.10.	хп— s /—		л » . 1
					[у/п	при n = 2«+ l.
6.2.19.	Какие из следующих последовательностей монотонные, а ка
	кие — строго монотонные;
	1) хп = 2п + 1;
	2) I n - Х п- Ы, 12.

3)хп = Ду;

4)хп = [v/n];

5)- 1 , - 1 , - 2 , - 2 , - 3 , - 3 , . . . ?

О 1) Данная последовательность строго возрастает, т. к. хп + 1 = 2(п + 1) + 1 = 2га4-3 > 2n-f 1 = хп для всех натуральных чисел п.

2) Последовательность | ^ ^ - } = 1, — g, •••| не яв

ляется ни монотонной, ни строго монотонной, так как, напри мер, Х\ < Ж2 , но Хо > Хз.

3) j J j j = j l , l , i , . . . j		— убывающая последовательность,
так как хп = \	> xn+i =	-— ;Цтт, п = 1, 2,3, . . .
п		\П+ 1)
4) Последовательность {[\/п\} =			{ 1 , 1 , 1 , 2 , 2 , . . . }	— неубы
вающая, так как xn+i = [у/п + 1] ^			[у/п\ = хп, п =	1,2,3, ... и
к тому же, например, х\ = Х2 -
5) Данная последовательность невозрастающая, так как
хп ^ яп+ь п =	1, 2, . .. и некоторые (например, первый и вто

рой) члены этой последовательности равны между собой. •

тонные? ограниченные?
6.2.20.	хп = п - К						6 .2.21.	xn = cos™ .
6.2.22.	X	—	+	1	’		6 .2.23.	хп =		-у/п.
	хп	—	71*2		’
6.2.24.	Хц =		7Г, 7Г, 7Г, . . .
6.2.25.	Пусть {хп} = {п}, {Уп}						= { “ }	—	две	последовательности.
	Найти последовательности {.т„+2/„}, { x„ - i / n}, {хп-уп} и 1Уп J
	О По определению операций над последовательностями име
	ем:
		{n+l /n} = { + £ }					= { 2,21	31
		{•-С). -У п } = \| п -• 1 W O S 22							V
						п )	Г ’ 2 ’ 3 ’ •' J ’
		{Хп'Уп} = { 1} =				{ 1, 1, 1, . . . } ;
		f	e } =	( n : n }		= {п2} = { 1 ,4 , 9 , . .. } .					•
Найти последовательности {.г*п ± уп}, { х п •уп} и ] ^											>, если:
										^Уп >
6.2.26.	хп =		( - 1 )п, уп = {—2)п-				6.2.27.		=	n2 +	1, уп = гг.
Найти последовательности ахп 4- Руп, если:
6.2.28.	хп = тг, уп =			Зп, а = 2, /3 = - 1.
6.2.29.	х„ =		(ч/2)'1, уп = 1 ,а = у/2,Р = - 5 .

Дополнительные задачи

Найти первые четыре члена последовательности {.тп}, если:

6.2.30.	хп = К -	6.2 .31 .	хп = 1.
	гг"
6.2.32.	хп = [\/rî] (см. 6.1.27).	6.2 .33 .	х\ = 2, жп = \|xn_i —2\|.
6.2.34.	.тп = п! (читается эн-факториал), где n! = 1 •2•... •гг.
6.2.35.			о
6.2.35.	хп — гг-й знак в десятичной записи числа у.

Зная несколько первых членов последовательности {х п}, написать фор мулу ее общего члена:

6.2.36. 2,5,10,17,26, .... 6.2.37. - 1, 1, - 1, 1, - 1 , . . . .

6.2.38.	У ,	6.2.39.	, 1 1 1 1
			11 2 ’ 6 ’ 24’ 120’ “

6 .2 .4 0 .	хп =	sin п.	6.2.41.	хп =	п
					п
6 .2 .42 .	Хп -	(~ уД )2п	6.2.43.	хп =	( - l ) 71* 1^ -

Среди следующих последовательностей указать монотонные; строго монотонные; ограниченные последовательности:

6 .2 .44 .	xn =sh\n.	6.2.45.	хп —	0 71■v .
				on — 2
6 .2 .46 .	т п = Р2п, (п ^	2), где Р2п — периметр правильного 2п-уголь-
	нпка, вписанного в единичный круг.
6 .2 .47 .	.Ti = 1, хп — —	XT*
	Хп-l "Г 1
Найти последовательности {а:^} и { g'^T1_\| .у \|>если:
6 .2 .48 .	хп = п ,у „ = 1.	6.2.49	Хп —	Уп — 71*

Более сложные задачи

6.2.50.	Найти первые семь членов последовательности Фибоначчи,
	определяемой рекуррентной формулой хп = т п_1 4- т п_2 при
	п > 2, Ti = то = 1.
6.2.51.	Найти первые четыре члена последовательности {P u}, п =
	= 3, 4, 5, .. . , где Рп — периметр правильного n-угольника, впи
	санного в круг единичного радиуса.
6 .2 .52 .	Написать формулу общего члена последовательности, каждый
	четный член которой — рациональное число, а каждый нечет
	ный — иррациональное.
6.2.53.	Найти общий член последовательности, зная несколько ее пер
	вых членов:
	1) TI = 3, т2 = 1, т3 = 4, хл = 1, т 5 = 5, .. .
	2) 7,9,13,21,37, ...

6 .2 .54 . Найти формулу общего члена последовательности, заданной с

помощью рекуррентного соотношения
1	1

6 .2 .5 5 .

6 .2 .5 6 .

Пусть последовательности {т п} и { уп} ограничены. Доказать, что последовательности

1)	{хп + Уп}]	2) {хп —уп}\
3)	{х п •уп}

также ограничены.

Привести пример двух ограниченных последовательностей, та ких, что их частное является неограниченной последователь ностью.

Доказать, что следующие последовательности ограничены:

6.2.57.	хп =	у/п2 +	1 — П.	6 .2 .58 . хп = ln(n + 1) — Inn.
6.2.59.	хп =	3ni ~	1 .
		П
6.2.60.	хп = Хп~2 + a?n~1, ii			= 2, Х2 = 5.

Каше из следующих последовательностей монотонные? строго моно тонные? ограниченные?

6.2.61.	хп = — •	6.2 .62 . х„ = 1 п п - п .
	п
6.2.63.	ц = 1, *„ =	■■■ 1 . .
6.2.64.		wД—J \| 1
6.2.64.	хп — п-й знак десятичной записи некоторого иррационального
	числа q.
6.2.65.	Может ли произведение двух немонотонных последовательно
	стей быть:
	1) монотонной, но не строго монотонной последовательностью;
	2) строго монотонной последовательностью?
6.2.66.	Показать на примере, что произведение двух возрастающих по
	следовательностей {хп} и {уп} может не быть даже монотонной
	последовательностью.

§3. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Бесконечно малые последовательности, предел последовательности

^Последовательность { а п} называется бесконечно малой, если для любого сколь угодно малого положительного числа е мож но подобрать такой номер N, что, начиная с этого номера (т. е. для всех n ^ N ), будет выполнено неравенство |ап|< е.

Вдальнейшем тот факт, что последовательность {а п} — бесконечно малая, мы будем сокращенно обозначать так: б. м. {<*„}.

^Число а называется пределом последовательности {яп}, если последовательность { а п} = {х п — а} является бесконечно ма лой.

На основе определения бесконечно малой последовательности можно дать другое, эквивалентное, определение предела последовательности.

^Число а называется пределом последовательности {х п}, если для любого положительного числа £ можно подобрать такой номер N (как правило, зависящий от е), что, начиная с этого номера (т. е. для всех п ^ N), будет выполнено неравенство

\хп -о| <£•

В случае, если последовательность {.г*п} имеет своим пределом число а, говорят также, что последовательность {.тп} сходит ся (или стремится)

к числу а, и обозначают этот факт так:

Нш х п = а или х п -> а (при п оо).

п—Усо

^Если последовательность не имеет предела, то говорят, что она

расходит ся.

Иногда удобно использовать геом ет рическое определение предела

последовательности, эквивалентное двум предыдущим:

^Число а называется пределом последовательности {х п}, если в любом интервале с центром в точке а находятся почти все (т. е.

все, кроме конечного числа) члены этой последовательности.

Связь между сходимостью и ограниченностью последовательности

Всякая сходящаяся последовательность является ограниченной. Всякая монотонная и ограниченная последовательность сходится. Всякая постоянная последовательность, члены которой равны а, схо

дится к этому числу, т. е. lim а = а. п—>оо

Свойства бесконечно малых последовательностей

Сумма (разность) двух бесконечно малых последовательностей так же является бесконечно малой последовательностью.

Таким образом, { а п} и {/Зп} — б. м. ==> { а п ± /Зп} — б. м.

Произведение бесконечно малой последовательности на ограничен ную последовательность является бесконечно малой последовательно стью, т. е.

{ а п} — б. м., { х п} — огранич. посл-ть = >		{ а п •х „ } — б. м.
Произведение двух бесконечно малых последовательностей является
бесконечно малой последовательностью:
{ û n })(^ n }	б. М., ■— V {(Хп *	б. М.

Произведение бесконечно малой последовательности на постоянное число является бесконечно малой последовательностью:

	{ а п} — б. м., с € К =Ф	{с •а п} — б. м.
Операции над пределами последовательностей
1 .	Предел суммы (разности) двух сходящихся последовательностей
равен сумме (соответственно, разности) их пределов:
	lim х п = а, Иш уп = Ь =$►	lim (х п ± у п) = а ± Ь .

п —ЮО

П—¥ОО

п—>00

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 5825 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202318.91 Mб55Сборник задач и примеров по резанию металлов и режущему инструменту..pdf
#
12.11.20232.54 Mб33Сборник задач и примеров по технологии машиностроения..pdf
#
12.11.202313.31 Mб18Сборник задач и упражнений по импульсной технике..pdf
#
20.11.202310.44 Mб2Сборник задач по аналитической геометрии.-1.pdf
#
12.11.20238.94 Mб9Сборник задач по аналитической геометрии..pdf
#
19.11.202327 Mб25Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс..pdf
#
19.11.202346.05 Mб2Сборник задач по высшей математике. 2 курс.pdf
#
20.11.202318.36 Mб4Сборник задач по курсу математического анализа.-1.pdf
#
12.11.202319.54 Mб35Сборник задач по курсу математического анализа..pdf
#
19.11.202328.16 Mб3Сборник задач по курсу физики с решениями..pdf
#
20.11.20237.63 Mб16Сборник задач по общей физике.-1.pdf