книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс
..pdf
у—4 = — i(.T + 3), т. е. x+ 4y -13 = 0. Найдем координаты точки
М— точка пересечения прямой MiM2 и данной прямой:
|
х + 4у —13 = |
0, |
|
|
|
|
|
|
4.т - у —1 = 0. |
|
|
|
|
||
|
Отсюда х = 1, у = 3, т. е. М( 1; 3). Точка М (1;3) |
делит отре |
|||||
|
зок М\Мо пополам. Из соотношений 1 = |
|
и 3 = |
^ |
|||
|
находим координаты а: и ?/ искомой точки М2: ж = 5, у = |
2 и |
|||||
|
М2(5;2). |
|
|
|
|
|
• |
4 .2 .6 3 . |
Точка „4(2; —5) является вершиной квадрата, одна из сторон |
||||||
|
которого лежит на прямой .г* — 2 у — 7 = 0. Найти площадь этого |
||||||
|
квадрата. |
|
|
|
|
|
|
4 .2 .6 4 . |
Две стороны квадрата лежат на прямых Бх — 12у — 65 = |
0 и |
|||||
|
Бх —12у + 26 = 0. Найти площадь квадрата. |
|
|
|
|||
4 .2 .6 5 . |
Найти уравнение прямой, проходящей через точку >1(1; 2) так, |
||||||
|
чтобы расстояние от этой прямой до точек Mi (2; 3) и М2(4; —5) |
||||||
|
были бы равны. |
|
|
|
|
|
|
4 .2 .6 6 . |
Найти геометрическое место точек, расстояние от которых до |
||||||
4 .2 .6 7 . |
прямой Бх — 12у — 13 = 0 равно 3. |
|
|
|
|
|
|
Написать уравнение прямой /2, проходящей через точку Л(0; 2) |
|||||||
|
под углом ^ к прямой 1\: х —2 у + 3 = 0. |
|
|
|
|
||
|
О Угловой коэффициент прямой 1\равен |
т.е. кх = |
Обо |
||||
|
значим через к угловой коэффициент прямой /2. Тогда, по фор- |
||||||
|
к _ I |
|
|
|
|
|
|
|
муле (2.10), имеем tg ^ = 1 = |
|
1. Из этого уравнения на- |
||||
|
1 + ôk |
|
|
|
|
|
|
|
ходим к2 = 3 и кз = — ^ . Задача имеет два решения. Для каждо |
||||||
|
го случая напишем уравнение прямой, проходящей через точку |
||||||
|
А в заданном направлении: у —2 |
= 3(ж - 0) и у —2 |
= - |
i ( x - |
0), |
||
|
т. е. За; — у + 2 = 0 и х + Зу - 6 = |
0. |
|
|
|
|
• |
4 .2 .6 8 . |
Найти расстояние между параллельными прямыми Зх + 4у — |
||||||
|
- 20 = 0 и бх + 8у + 5 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
О Возьмем на первой прямой произвольную точку А. Пусть, |
||||||
|
например, х = 0, тогда у = 5, т. е. >1(0; 5). По формуле (2.17) |
||||||
|
находим расстояние d от точки А до второй прямой: |
|
|
||||
|
d = 6 •0 + 8 •5 + 5 |
45 |
I * |
|
|
|
|
|
\/б2 + 82 |
= |
ï ô = 4 ’5- |
|
|
|
|
4 .2 .6 9 . |
Найти расстояние между прямыми 2х—Зу+8 = 0 и 4х—6у = 10* |
4 .2 .7 0 . |
Найти длину высоты BD в треугольнике с вершинами А(4; —3), |
|
Б ( - 2 ;6 ) и <7(5;4). |
4.2.100. Дан |
четырехугольник ABCD с вершинами Л(3; 5), £ ( 6; 6), |
|||
|
С (5;3), JD(1; 1). Найти: |
|||
|
а) координаты точки пересечения диагоналей; |
|||
|
б) угол между диагоналями. |
|||
4.2.101. |
Луч света, пройдя через точки А(4; б) и В (5; 8), упал на прямую |
|||
|
х — 2$/ + 2 = 0 и отразился от нее. Составить уравнение прямой, |
|||
|
по которой направлен отраженный луч. |
|||
4.2.102. |
Известны вершины треугольника Л(—4 ; - 2), В (0; 1), С(2; — 1). |
|||
|
Найти расстояние от начала координат до точки пересечения |
|||
|
медианы, проведенной из вершины Л, с высотой, проведенной |
|||
|
из вершины В. |
|
||
4.2.103. |
Написать уравнения прямых, на которых лежат стороны тре |
|||
|
угольника А В С , если задана его вершина Л (1; 3) и уравнения |
|||
|
медиан х - |
2у + 1 = 0 и у —1 = 0. |
||
4.2.104. |
Найти координаты основания перпендикуляра, опущенного из |
|||
|
точки Л (—1; 2) на прямую Зх — 5т/ — 21 = 0. |
|||
4.2.105. |
Дан |
треугольник с |
вершинами в точках Л (2;5), В (5; —1), |
|
|
С (8;3). Составить уравнение прямой, проходящей через точку |
|||
|
пересечения медиан треугольника перпендикулярно к прямой |
|||
|
х + у + 4 = 0. |
|
||
4.2.106. |
Известны уравнения прямых, на которых лежат две стороны |
|||
|
ромба: х + 2у —4 = 0, х + 2т/ — 10 = 0 и уравнение одной из его |
|||
|
диагоналей х —у + 2 = 0. Найти координаты вершин ромба. |
|||
4.2.107. Дан |
треугольник с |
вершинами в точках Л (1; —2), J5(0;5), |
||
|
С7(—6; 5). Найти координаты центра описанной около треуголь |
|||
|
ника окружности. |
равностороннего треугольника А ВС : |
||
4.2.108. |
Даны |
две |
вершины |
|
|
Л(—6; 0), В (0; 0). Найти координаты |
|||
|
а) третьей вершины С; |
|||
|
б) центра вписанной в треугольник окружности. |
|||
4.2.109. |
Найти уравнения прямых, на которых лежат три стороны ква |
|||
|
драта, зная, что четвертой стороной является отрезок прямой |
|||
|
4х + Зу — 12 = 0, концы которого лежат на осях координат. |
|||
4.2.110. |
Написать уравнение траектории движения точки М (х;т/), дви |
|||
|
жущейся так, что сумма расстояний от нее до прямых 2х —у = 0 |
|||
|
и х + 2у = 0 остается постоянной и равной у/Е. |
|||
4.2.111. Написать |
уравнения |
прямых, на которых лежат стороны |
||
|
треугольника, зная уравнения двух высот: 7х - 2у - 1 = 0 и |
|||
|
2х — 7у - 6 = 0 и вершину Л(3; - 4 ) . |
|||
4.2.112. |
Даны вершины треугольника Л(2; - 2 ), В (3; 5), С (6; 1). Найти: |
|||
|
1) длины сторон АС и В С ; |
|||
|
2) уравнения прямых, на которых лежат стороны ВС и АС; |
|||
3) уравнение прямой, на которой лежит высота, проведенная из точки В ;
4)длину этой высоты;
5)уравнение прямой, на которой лежит медиана, проведенная из точки А ; 6) длину этой медианы;
7)уравнение прямой, на которой лежит биссектрисса угла С; 8 ) центр тяжести треугольника;
9)площадь треугольника;
10) угол С,
Более сложные задачи |
|
|
|
4.2.113. |
Даны уравнения боковых сторон равнобедренного треугольни |
||
|
ка х + у —2 = 0 и 7х —î/ + 4 = 0 и точка (3; 5) на его основании. |
||
|
Найти уравнение прямой, на которой лежит основание. |
||
4.2.114. |
Даны координаты середин |
сторон |
треугольника: Л(1;2), |
|
В (7; 4), 67(3; —4). Найти уравнения прямых, на которых лежат |
||
|
стороны треугольника. |
|
|
4.2.115. |
Даны уравнения Ах — Зу —17 = 0 и 4х — Зу + 3 = 0 двух сто |
||
|
рон квадрата и одна из его вершин А(2; —3). Найти уравнения |
||
|
прямых, на которых лежат две другие стороны квадрата. |
||
4.2.116. |
Уравнение одной из сторон угла есть 4а: — Зт/ + 9 = 0, уравне |
||
|
ние его биссектрисы есть х —7у + 21 = 0, Написать уравнение |
||
|
прямой, на которой лежит другая сторона угла. |
||
4.2.117. |
Даны вершины треугольника ^4(—1; —1), J3(l;3), (7(4;—!). Из |
||
|
вершины В опущена высота. К какой из сторон ближе распо |
||
|
ложена середина этой высоты? |
|
|
4.2.118. |
Найти уравнение прямой, параллельной прямой За;—4?/—10 = О |
||
|
и отстоящей от нее на расстоянии 3 единицы. |
||
4.2.119. |
Показать, что биссектрисы |
углов, |
образованных прямыми |
Зх 4- 4у — 9 = 0 и 12л; + 9у - 8 = 0, перпендикулярны друг другу. 4.2.120. Через точку A{r\\ip\) проведена прямая, образующая с поляр:
ной осью угол в. Составить уравнение этой прямой.
4.2.121. Написать уравнения прямых, на которых лежат стороны тре угольника, зная одну его вершину А(2; —7), а также уравнение прямых, на которой лежат высота За; + 7/ + 11 = 0 и медиана х + 2у + 7 = 0, проведенные из различных вершин.
§3. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
^Линии, определяемые алгебраическими уравнениями второй степени относительно переменных х и 2/, т. е. уравнениям вида
Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 (А2 + В 2 + С2 ф 0) (3.1)
называются кривыми второго порядка.
Окружность
^Окружностью называется множество всех точек плоскости, удаленных от заданной точки А этой же плоскости на одно и тоже расстояние R > 0. Точка А называется центром, a R — радиусом окружности.
В прямоугольной системе координат уравнение окружности имеет
вид |
(3.2) |
(х - а)2 -4- (у - Ь)2 = R2, |
где (а;6) — координаты ее центра, (рис. 31). Уравнение (3.2) называ ется каноническим уравнением окружности. В частности, если а = 0,
Ь - 0 (т.е. центр окружности совпадает с началом координат), то урав
нение (3.2) имеет вид |
Л |
(3.3) |
V ' |
X * + V 2 = R2. |
Рис. 31
Общее уравнение второй степени (3.1) определяет окружность, если
А = С ф 0 и В = 0.
4.3.1.Найти координаты центра и радиус окружности:
1) |
х2 + у2 - 4х + 8у - 16 = |
0; |
2) |
9х2 + 9у2 + 42х - 54у - |
95 = 0; |
О |
1) Выделяя полные квадраты в левой части данного урав |
|
нения, приведем его к виду (3.2):
х2 — 4х + 4 - 4 + у2 + 8у + 16 - 16 - 16 = 0,
т.е. (х - 2)2 + [у + 4)2 = б2. Центр окружности находится в точке (2; —4), а радиус равен б.
2)Преобразуем уравнение к виду (3.2): разделив обе ча
сти уравнения на 9, находим х2 + у2 + |
-у х |
- |
6у - ^ |
= |
0. И |
|
далее, х 2 + у х + |
+ у2 - 6?/ + 9 - |
у |
- |
9 - у |
= 0, |
т. е. |
(*Т I) (У “*З)2 = 25. Итак, Л = 5, центр окружности
|
точка ( - | ; 3) . |
|
|
|
|
|
• |
|
4.3.2. |
Найти координаты центра и радиус окружности: |
|
||||||
|
а) |
х2 + у2 —4х + 6т/ - 3 = 0; |
|
|
|
|
||
|
б) |
За;2 + 3?г + 6а; - |
4т/ - 2 = 0. |
|
|
|
|
|
4.3.3. |
Написать уравнения касательных к окружности х2 + у 2 —6х + |
|||||||
|
+ 4у —12 = 0, проведенных из точки М (0;3). |
|
||||||
|
О |
Уравнения |
касательных будем искать |
в виде уравнений |
||||
|
прямых с угловыми коэффициентами: у = |
кх + 3. Уравнение |
||||||
|
окружности приведем к каноническому виду (3.2): (х — 3)2+ |
|||||||
|
+ (у + 2)2 - 9 - |
4 - |
12 = 0, т. е. (х - З)2 + |
(у + 2)2 = |
25. Для |
|||
|
нахождения общих точек прямой и окружности решим систему |
|||||||
|
уравнений |
I У = кх + 3 , |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
(я — З)2 + (у + 2)2 = 25. |
|
|||
|
Имеем: (а; — З)2 + (кх + 3 4- 2)2 = |
25, т. е. х2 —6я + 9 4- к2х2+ |
||||||
|
+ 10/ь.т + 25 = |
25, |
поэтому (к2 + |
1).т2 + (10к —6).т + 9 = 0. |
||||
|
Так как прямая касается окружности, то это уравнение имеет |
|||||||
|
единственное решение. Следовательно, его дискриминант равен |
|||||||
|
нулю, т. е. (5к —З)2 — 9(к2 + 1) = |
0, или 16А:2 — ЗОЛ: = 0, откуда |
||||||
|
ki |
= 0, ко = |
Значит, у = |
3 |
и у = |
+ 3 |
искомые |
|
|
уравнения. |
|
|
|
|
|
• |
|
4.3.4. |
Найти уравнение окружности, касающейся осей координат и |
|||||||
|
проходящей через точку (4; —2). |
|
|
|
|
|||
4.3.5. |
Найти уравнения касательных к окружности (х —4)2+ (г/—2)2 = |
|||||||
|
= 4, проведенных из начала координат. |
|
|
|||||
4.3.6. |
Найти центр и радиус окружности, вписанной в треугольник |
|||||||
|
со сторонами Sx + 4у —12 = 0, 4а; — Зу + 12 = 0, у = 0. |
|
||||||
|
Указание. Центр окружности равноудален от сторон треуголь |
|||||||
|
ника. |
|
|
|
|
|
|
|
4.3.7. |
Написать уравнение окружности, проходящей через точки: |
|||||||
(—1;3)> (0;2), (1; —1).
ОУравнение окружности ищем в виде (3.2):
(х - о)2 + (у - b)2 = R2.
Подставляя в это уравнение координаты данных точек, полу чим три уравнения для определения а, Ь и R:
' ( - 1 - а)2 + (3 - Ь)2 = R2,
<а2 + (2 - b)2 = R2,
k(1 - а)2 + ( - 1 - Ъ)2 = R2.
4.3.17.Найти при каких значениях к прямая у = кх пересекает окруж ность х~ + у'2 — Sx — 2у + 16 = 0; касается этой окружности.
4.3.18.Найти уравнения касательных к окружности х2 + у2 = 5, па раллельных прямой у = 2х 4- 1.
Контрольные вопросы и более сложные задачи
4.3.19*. |
Найти уравнение касательной к окружности х2 + у2 = R2 в |
|
4.3.20*. |
точке |
(.г’0; уо). |
Найти длины отрезков касательных, проведенных из точки |
||
|
.4(6; 3) к окружности (х — I )2 + (у + 2)2 = 1 от этой точки до |
|
4.3.21*. |
точек касания. |
|
Найти |
уравнение окружности, симметричной окружности |
|
4.3.22. |
х2 — 2х + у2 + 4у + 4 = 0 относительно прямой х 4- у — 5 = 0. |
|
Можно ли провести окружность через четыре точки: (1; —2), |
||
4.3.23. |
(5; 2), |
(5; - 6), (7; 1)? |
Пройдет ли окружность с центром в точке (—3; 4) и радиусом |
||
|
R = 5 через начало координат? |
|
4.3.24.Какие из точек А(—2; 7), 27(1; 5), <7(2;3,9) лежат внутри круга,
4.3.25*. |
ограниченного окружностью (х + 2)2 + (у — I )2 = 25? |
Написать уравнение множества окружностей, образованного |
|
|
параллельным переносом окружности х2 + у2+ 10х —6?/4-25 = О |
4.3.26. |
вдоль оси Ох. |
Дано множество концентрических окружностей х2 + у2 + 1 2 у + |
|
|
+ (7 = 0. Найти уравнение той окружности, радиус которой |
|
равен 10. |
Эллипс
^Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоян ная, большая, чем расстояние между фокусами.
Каноническое уравнение эллипса:
х 2 |
и |
2 |
(3.4) |
----- h — = 1 |
|||
а |
о |
|
|
где а — большая полуось, b — малая полуось эллипса. Координаты фо кусов: i7i ( —с ;0), Fo (с; 0), где с — половина расстояния между фокусами (рис. 32). Числа а, Ъи с связаны соотношенем
с2 = а2 — Ь1. |
(3.5) |
Точки А, В , С, D называются вершинами эллипса, точка О — центром эллипса, расстояния г\ и Тъ от произвольной точки М эллипса до его фокусов называются фокальными радиусами этой точки.