книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс
..pdf1 .3 .4 6 * . |
Доказать, что любую матрицу ранга г |
можно представить в |
|||
|
виде суммы г матриц ранга 1, но нельзя представить в виде |
||||
|
суммы менее, чем г таких матриц. |
|
|
||
1 .3 .4 7 * . |
Найти ранг матрицы размера п х п |
|
|
||
|
/1 - п |
1 |
1 |
1 |
\ |
|
1 |
1 — п |
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
1 - гг |
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 - |
п) |
§4. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. МАТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ
^Обратной матрицей к квадратной матрице А называется та кая матрица (обозначается Л- 1 ), что А~1 •А = А •А~1 = Е.
Замечание. Если матрица А~1 существует, то она единственна.
^Присоединенной матрицей к квадратной матрице А = (aij) на зывается матрица А = (Л^)т , полученная транспонированием из матрицы, составленной из алгебраических дополнений Ajj к элементам ац.
Теорема 1.3. Если квадратная матрица А — невырожденная |
(т. е. |
|
det А ф 0), то |
|
|
А '1 = |
гА. |
(4.1) |
|
det А |
|
Метод присоединенной матрицы вычисления обратной матрицы к невырожденной матрице А состоит в применении формулы (4.1).
Метод элементарных преобразований (метод Гаусса) вычисления обратной матрицы к невырожденной матрице А состоит в следующем. Приписывая справа к матрице А размера п х п единичную матрицу раз мера п х п, получим прямоугольную матрицу Г = {А\Е) размера п х 2п. С помощью элементарных преобразований над строками матрицы Г сна чала приведем ее к ступенчатому виду Гх = (Ai\B), где матрица Ai — треугольная, а затем к виду Г 2 = (Е\А~1).
Матричные уравнения простейшего вида с неизвестной матрицей Лг
записываются следующим образом |
|
АХ = В, |
(4.2) |
ХА = В, |
(4.3) |
АХС = В. |
(4.4) |
В этих уравнениях Л, В, С, X — матрицы таких размеров, что все ис пользуемые операции умножения возможны, и с обеих сторон от знаков равенства находятся матрицы одинаковых размеров.
Если в уравнениях (4.2), (4.3) матрица А невырожденная, то их ре шения записываются следующим образом:
X = А- 1 В,
X = В А -1.
Если в уравнении (4.4) матрицы А и С невырождены, то его решение записывается так:
Х= А~1 ВС~1.
1.4 .1 Найти (методом присоединенной матрицы) матрицу, обратную
кданной:
А=
О 1) Найдем det А:
|
det А = 1 |
5 |
6 - 2 |
|
4 |
6 |
+ 3« |
4 |
5 |
|
|||
|
|
8 |
О |
|
|
7 |
О |
|
|
7 |
8 |
|
|
= |
- 4 8 - 2 •( -4 2 ) + |
3 •(32 - |
35) = |
- 4 8 |
+ 84 - |
9 = |
27 ф 0. |
||||||
Так как det Аф 0, то матрица Л-1 существует. |
|
|
|||||||||||
2) |
Найдем алгебраические дополнения ко всем элемента |
||||||||||||
матрицы Л: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ли = ( - 1 ) 1+1 |
5 |
6 |
= |
5 •0 — б •8 = |
- 4 8 ; |
|
||||||
|
8 |
0 |
|
||||||||||
|
Л и = (~ 1 )1+2 |
4 |
6 |
|
= |
- ( 4 - 0 - 6 - 7 ) |
= 42; |
||||||
|
|
|
7 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л,3 = (~1)1+3 |
4 |
|
5 |
= 4 •8 - |
5 •7 = |
- 3 ; |
|
|||||
|
7 |
|
8 |
|
|||||||||
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
- 21; |
|
|
Л21 = — 8 |
0 |
= 24; |
|
Л22 |
= |
7 |
0 |
= |
|
|||
|
1 |
2 |
|
6; Л31 |
|
2 |
3 |
= -3 ; |
|
||||
|
Л23 = — 7 8 |
= |
= 5 6 |
|
|||||||||
|
1 |
3 |
|
6; Л33 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|||
|
Л3 2 = — 4 6 |
= |
= 4 5 = - 3 . |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 4 8 |
|
24 |
- 3 \ |
|
3) |
Запишем матрицу Л = |
(Л у)т = |
|
42 |
- 2 1 |
6 . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 3 |
|
6 |
- 3 / |
4) Найдем матрицу А- 1. |
|
|
|||
А- 1 = detA |
1 . |
-4 8 |
24 |
- 3 |
|
42 |
-2 1 |
6 |
|||
27 |
|||||
|
|
- 3 |
6 |
- 3 |
|
Сделаем проверку: /_1б
^
_ 9
Л •Л-1 = 3iЭК 1' 5■(: ! •
Найти обратную матрицу методом присоединенной лштрицы:
1.4 .2 . |
0 |
°\ |
1.4.3. |
1 |
0 • |
||
|
0 |
V |
|
|
|
|
|
|
2 |
-3 \ |
1.4 .5 . |
1 .4 .4 . |
2 |
- 4 1. |
|
1 .4 .6 . |
|
|
1.4.7. |
1 .4 .8 .
1 .4 .9 . |
Найти матрицу, обратную к матрице |
/1 /3 |
|
2/3 |
2 /3 ' |
2/3 |
|
1/3 |
- 2 /3 |
00 |
|
to 00 |
|
|
|
1 |
1 /3 , |
|
|
|
|
/2 |
- 3 |
1\ |
|
4 |
- 5 |
2 . |
|
А _ /f ацÛ11 01а 12^1 \а21^ Û22у) *
О 1) Найдем detA = |
а ц |
a i2 |
= ац а 22 — Û12Û21. Матрица |
а21 |
022 |
А-1 существует, только если detA ф 0.
2)Найдем алгебраические дополнения к элементам матри
цы А:
А ц = 022) |
A i 2 = —Û2 1 ) А 21 = |
—O1 2 Î А 22 — О ц . |
||
3) Запишем присоединенную матрицу: |
||||
л |
= (Лу)' |
У022 |
-012^ |
|
—021 |
й ц J |
|||
|
|
|||
Итак, для матрицы 2-го порядка присоединенная матрица на ходится очень просто — элементы главной диагонали меняют ся местами, а элементы побочной диагонали умножаются на
4) Найдем обратную матрицу |
|
|
||
1 т |
А = |
1 |
( 0,22 |
“ ^12^ |
л - х = |
ацО'22 ~~^12021 |
\ -d 2i |
ац ) |
|
det А |
|
|||
Найти обратную матрицу, используя результаты задачи 1.4-9:
1 .4.10.
1 .4.12.
1.4.14.
GO-
12 ) .
У- х )
1.4.11. |
(!)■ |
|
1.4.13. |
(i |
- Ь). |
[ ° |
||
|
\~а |
b J |
Найти (методом элементарных преобразований) матрицу, об
ратную к данной: |
/ 1 |
1 |
1 |
А = |
[ 1 |
2 |
- 1 |
|
\2 |
2 |
4 |
О Записывая матрицу Г |
= |
(Л|.Е) размера (3 х 6), с помо |
|
щью элементарных преобразований над строками приведем ее сначала к ступенчатому виду Г j = (/li \В), а затем к виду Г 2 = ( Я И " 1):
Г =
- 1 1 0 |11 + III
|
- 2 |
0 |
1 /1 1 1 :2 |
1 |
0 |
0 |
\ I — II — III |
- 3 |
1 |
1 |
|
- 1 |
0 |
1 /2 ; |
|
|
|
|
|
|
5 - 1 —3/2N |
|
|||
|
|
|
|
|
- 3 |
1 |
1 |
| = |
Г 2. |
|
|
|
|
|
- 1 |
0 |
1/2 |
|
|
Итак, А~ 1 = |
|
5 |
- 1 |
|
|
|
|
|
|
[ —3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
-1 |
О |
|
|
|
|
|
|
Сделаем проверку: |
|
|
|
|
|
|
|||
|
fl |
1 |
1 |
- 1 |
—3/2\ |
Л |
0 |
0' |
|
А- 1 -А = |
1 2 - 1 |
1 |
|
1 |
= 0 1 0 |
||||
|
\2 |
2 |
4 |
0 |
1/2 У |
\о |
0 |
1 |
|
/ 5 |
- 1 |
—3/2 |
I |
l |
1 \ |
/ 1 |
0 |
0> |
А ■A~l = 1 - 3 |
1 |
1 |
1 |
2 |
- 1 |
= |
0 1 |
0 |
V- 1 |
о |
|
2 2 4 / |
\0 0 |
1> |
|||
Найти обратную матрицу методом элементарных преобразований:
1 .4 .17 .
1 .4 .19 .
1 .4 .21 .
1 .4 .16 .
/1 |
2 |
з\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
6 |
4 • |
|
1 .4 .18 . |
-14 |
|
--бу |
|
||
\3 |
10 |
8/ |
|
|
|
|
||||
/1 |
2 |
- 3 |
4 \ |
|
2 |
3 |
- 2 |
4\ |
||
5 |
6 |
7 |
-2 |
|
б |
2 |
|
1 |
0 |
|
1 .4 .20 . |
0 |
-1 |
1 |
2 |
||||||
- 1 |
0 |
1 |
2 |
|||||||
|
4 |
0 |
|
5 |
- 4 |
|||||
\з |
4 |
5 |
6 / |
|
|
|||||
|
- 4 |
-1 |
-1 |
8/ |
||||||
|
|
|
|
|
||||||
Методом элементарных преобразований найти матрицу, обрат ную к данной матрице размера п х п:
|
|
|
|
|
Л |
1 |
1 |
|
1\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Л |
|
1 |
1 |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\1 |
1 |
1 |
|
oj |
|
|
|
|
|
|
/1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
о\ |
|
|
|
|
1 0 1 |
|
1 0 1 0 |
0 I I - I |
||||||
О Г = |
(А\Е) = |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
III- I |
|
|
|
|
VI |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
V |
(п) - I |
|
/1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
|
° \ I + I I + .. -+(п) |
||
|
0 |
- 1 |
0 |
|
0 |
- 1 |
1 |
0 |
|
0 |
|
|
■Г! = |
0 |
0 |
- 1 |
|
0 |
- 1 |
0 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\о |
0 |
0 |
|
-1 |
- 1 |
0 |
0 |
1 |
1/ |
|
|
/1 |
0 |
0 |
|
|
0 |
2 —71 |
1 |
1\ |
|
|
||
0 -1 |
0 |
|
|
0 |
-1 |
|
1 0 |
0 II •(-!) |
||||
0 |
0 |
-1 |
|
|
0 |
-1 |
|
0 |
1 |
0 |
III •(-!) ~ |
|
\о |
0 |
0 |
|
|
-1 |
-1 |
|
0 |
0 |
У |
(п)-(-1) |
|
/ 1 0 |
0 |
0 2 — 71 |
1 |
1 |
|
1 \ |
||
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
- 1 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
- 1 |
|
0 |
^0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
- У |
|
|
|
|
|
||||
|
|
/ 2 - т г |
1 |
1 |
|
1\ |
||
|
|
|
1 |
- 1 |
0 |
|
0 |
|
Итак, Л -1 |
= |
1 |
0 |
- 1 |
|
0 |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
|
~У |
|
Найти матрицу, обратную к данной матрице размера п х п , используя метод элементарных преобразований:
|
/1 |
0 |
0 |
0 |
°\ |
|
п |
1 |
0 |
°\ |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
1 .4 .2 2 . |
0 |
1 1 |
0 |
0 |
1 .4 .2 3 . |
0 0 |
1 |
0 |
||
|
\о |
0 |
0 |
1 |
У |
|
\0 |
0 |
0 |
У |
|
/1 |
0 |
0 |
0 \ |
|
|
/1 |
1 |
1 |
1\ |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 .4 .2 4 . |
1 1 1 |
0 |
|
1 .4 .2 5 . |
0 0 |
1 |
1 |
|||
|
|
1 |
1 |
V |
|
|
V0 |
0 |
0 |
У |
1 |
- 1 |
0 |
0 |
о \ |
|
- 1 |
2 |
- 1 |
0 |
0 |
|
0 |
- 1 |
2 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
2 |
- 1 |
|
\ 0 |
0 |
0 |
- 1 |
2 |
/ |
1 .4 .2 7 . Решить матричное уравнение: |
|||||
|
|
( ï |
|
|
■ .) |
О Запишем данное матричное уравнение в виде АХ = В. Его решением является матрица X = А~1В (если существует ма трица Л ” 1).
1)Найдем определитель матрицы А:
det А = |
- 1 |
2 |
2 |
- 3 = - 1 ^ 0 . |
Значит, обратная матрица А~ 1 существует, и исходное уравне ние имеет (единственное) решение.
2) Найдем обратную матрицу
|
|
|
= 0 -6 |
о |
|
|
3) Найдем матрицу |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
( ? |
Л И |
З |
9 |
• |
1 .4 .28 . Найти матрицу X , удовлетворяющую уравнению: |
|
|
||||
G 9 - |
( ? |
з М |
* |
= 9 |
|
|
О Запишем данное матричное уравнение в виде АХ С = |
В. |
|||||
Его решением является матрица X = А~1 ВС ~1 (если матрицы
А~ 1 и С ” 1 существуют).
1)Найдем определители матриц Л и С:
det А = J |
О |
= 2 ^ 0 , |
det С = |
- 1 |
- 2 |
= 1 ^ 0. |
2 |
2 |
3 |
Матрицы А и С невырождены, значит, существуют обратные матрицы А~1 и С " 1, и исходное уравнение имеет (единствен ное) решение.
2) Найдем обратные матрицы А” 1 и С ” 1:
А” 1 = ------- •À = |
- |
• |
(_21 l ) — ( —1/2 |
det Л |
2 |
|
( Г 1 =
det С ’ ^ = 1
3)Найдем матрицу
х = л - в с - = ( . ; /2 , « , ) ( ; : * ) ( _ 32 д ) =
- G =9 (Л -О - с? 9
Решить матричные уравнения:
1.4.29. |
( - 1 } ) |
* |
= |
( Д |
“) . |
1.4.30. |
А- ( - 1 |
; ) |
= |
( д |
“) . |
1 .4 .3 1 .
1 .4 .3 2 .
(-2 21) |
Л ~ (о |
З1)' |
(о1 0 - |
(о |
= |
|
' 1 |
2 |
- З у |
1 |
- 3 |
1 .4 .3 3 . |
X 3 |
2 - 4 |
2 |
2 |
|
|
к2 |
- 1 |
О , |
- 1 |
- 2 |
1 .4 .3 4 . |
|
|
|
|
|
1 .4 .3 5 . |
|
|
|
|
|
|
1 |
- 2 |
- 1 \ |
/ 1 |
|
1 .4 .3 6 . |
- 3 |
2 |
2 \ X = 2 |
|
|
|
3 |
- 1 |
- 2 / |
V -3 |
|
Дополнительные задачи
Найти (методом присоединенной матрицы) матрицу, обратную к данной:
1 .4 .3 7 . |
/ - 1 |
0 |
°\ |
|
/ 1 |
1 |
0 |
0 |
2 Г |
1 .4 .3 8 . |
8 |
3 |
|
|
0,5 |
|
1 —4 |
- 1 |
||
|
\ о |
0 / |
|
|||
1 .4 .3 9 . |
Л |
|
|
1 .4 .4 0 . |
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
\4 |
|
|
|
|
|
1 .4 .4 1 . |
/ з |
|
|
1 .4 .4 2 . |
|
|
U4 |
|
|
|
|
||
|
|
0 ; |
|
|
|
Найти (методом элементарных преобразований) матрицу, обратную к данной:
|
/ 1 |
- 1 |
- 1 ' |
1 .4 .4 4 . |
|
1 .4 .4 3 . |
| - 1 |
2 |
1 |
||
|
|||||
|
1 - 1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
( 1 |
2 |
- 2 |
|
|
1 .4 .4 5 . |
2 |
6 |
1 |
|
|
3 |
0 |
1 |
|
||
|
|
||||
|
1 - 1 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
/1 |
|
0 0 |
0 |
о |
0\ |
|
|
|
а |
|
1 О |
0 |
0 |
0 |
|
|
1.4 .4 6 . |
О |
|
а 1 |
0 |
0 |
0 |
(размер п хп). |
|
О |
|
0 о |
1 |
0 |
0 |
|||
|
\0 |
|
ОО |
0 |
a |
l ; |
|
|
|
л |
а |
а2 |
а3 |
|
ап \ |
|
|
|
0 |
1 |
а |
а2 |
|
ап~1 |
|
|
1 .4 .47 . |
0 |
0 |
1 |
а |
|
а”" 2 |
(размер (п + 1) |
|
|
\о |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
J |
|
|
/1 |
2 |
3 |
4 |
п —1 |
71 |
\ |
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
71 — 2 |
71 — 1 |
||
1.4 .48 . |
0 |
0 |
1 2 |
7 1 - 3 7 1 -2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
2 |
|
|
\о |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
У |
|
/0 |
1 |
1 |
|
1\ |
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
|
1 |
|
|
|
1.4.49. |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
(размер 71 х п). |
||
|
|
|
|
|
||||
|
11 |
1 |
1 |
|
о) |
|
|
|
Решить матричное уравнение: |
|
|
||||||
1.4.50. |
X |
( ' |
f ) |
= ( " |
J ) . |
|
|
|
1.4 .51 . |
х |
( д |
_’4) = |
( j |
; ) . |
|
|
|
1 .4 .5 2 . |
( ; ; ) - х = ( 2 ) . |
|
|
|
||||
!.4 .5 з . |
( ; |
; ) |
х = ( 2 ) . |
|
|
|
||
— |
G |
з')-х |
G |
9 - G з1)- |
|||
|
G |
З1) - |
(-4 |
32) = G З1)- |
|||
|
х |
/1 |
0 |
0\ |
/0 |
0 |
1\ |
1 .4 .56 . |
о 2 0 = |
0 |
|
2 о . |
|||
|
|
\о |
о з / |
\з |
о |
о / |
|
1.4.57. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ 1 - 2 |
3 |
\ |
|
/ 1 2 |
3\ |
/1 |
2 |
3\ |
|
1 .4 .5 8 . |
2 |
3 |
- 1 |
X |
4 5 6 = |
4 5 6 . |
||||
|
\0 |
- 2 |
1 |
) |
|
\7 8 |
0 / |
\7 |
8 |
О/ |
Контрольные вопросы и более сложные задачи
1 .4 .5 9 . |
Если матрица А не квадратная, может ли существовать такая |
||||
|
матрица В , что: |
|
|||
|
а) В Л = В ? |
|
|
||
|
б) АВ = Е ? |
|
|
||
1 .4 .6 0 . |
Доказать, что если для квадратной матрицы Л найдутся две |
||||
|
такие матрицы В и С, что В Л = АС = В , то В = С, |
||||
1 .4 .6 1 . |
Верно ли, что: |
|
|||
|
а) |
(2Л )” 1 = 0 ,5 -Л -1 ^аналог числового равенства ^ |
|||
|
б) (Л + В ) " 1 = А- 1 + В - 1? |
|
|||
|
в) |
(—В ) -1 = |
—Е ^аналог: —L = |
—l j ? |
|
|
г) |
(Л В ) - 1 = |
А- 1 В - 1 (аналог: ^ |
= J ± ) ? |
|
|
д ) |
(Ат) ~ 1 |
= (А~1)Т ? |
|
|
|
е) |
(Л2) -1 |
= |
(Л - 1 )2 (аналог: 4j- = |
j |
1 .4 .6 2 . |
Верно ли, что: |
|
|||
|
а) если|Л| = 0, то |Л-"11= 0 ? |
|
|||
|
б) если |Л| = 2, то |Л~11= - 2 ? |
|
|||
|
в) если |Л| = 2, то |Л~11= 0,5? |
|
|||
|
г) |Л|.|Л-Ч = 1? |
|
|||
1 .4 .6 3 . |
Верно ли, что матрица Л 1 имеет те же размеры, что и матри |
||||
|
ца Л ? |
|
|
|
|
1 .4 .6 4 . |
Следует ли второе утверждение из первого (если матрицы Л и |
||||
|
В произвольные): |
|
|||
|
а) |
Л В = В ; ВА = Е ? |
|
||
|
б) АВ = 2В ; В Л = 2 В ? |
|
|||
|
в ) |
Л Л = В ;Л = В или Л = —В ? |
|||
1 .4 .6 5 . |
Следует ли второе утверждение из первого (если матрицы Л и |
||||
|
В квадратные): |
|
|||
|
а) Л В = В ; В Л = В ? |
|
|||
|
б) Л В = 2В ; В Л = 2 В ? |
|
|||
1 .4 .6 6 . |
Может ли матричное уравнение Л Х = В иметь: |
||||
|
а) одно решение? |
|
|||
|
б) два решения? |
|
|||