Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

27 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 584 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

1 .2.61.	ху2	у2				1 .2 .62 .	а	За
							Р	3/?

1 .2 .6 3 .	COS р		sin P			1 .2 .64 .		х	х -		1
	sin p		cos p				х 2 4- х 4- 1			х2

Решить уравнения:
1 .2 .65 .	2х — 3		4	= 0.		1.2.66.	х 4- 3 х 4-1			= 0.
	- х		- 3				х —1 х - 2
1.2 .67 .	3 — х		х 4- 2	=	6.	1.2.68.	х -	2	т/4-3	=	- 4 .
	х 4-1 х - 1						1 - т / х - 2
1.2 .69 .	х -	2	т/ 4- 3	=	-3 4 .	1.2.70.	sin 2х		— sin Зх		= 0.
	7 — т/		х 4- 4				cos 2х		cos Зх

Вычислить определители 3-го порядка разложением по первой строке:

	1	1	1			1 1		0
1.2.71.	2	3 3			1 .2 .72 .	2	3 1
	4	6	7			0	2	3
	- 2		3	5		а	Ь	с
1 .2 .73 .	4		1	- 2	1 .2 .74 .	Ь с а
	1		- 3	2		с	а	b

Вычислить определители с помощью «правила треугольников»:

	а	0	0			0	1	1
1 .2 .75 .	0	р	0		1 .2 .76 .	1 0 1
	0	0	7			1	1	0
	cosa		cos/?	0		0	X	0
1 .2 .77 .	cos а		0	cos 7	1 .2 .78 .	X	1	X
		0	cos/3	cos 7		0	X	0

Вычислить определители разложением по какой-нибудь строке или столбцу:

	2	3	5		1	2	0
1 .2 .79 .	0	- 1	0	1 .2 .80 .	3	4 0
	6	7	8		5	6	7
	1	2	3		X	У	Z
1 .2 .81 .	4 5 6			1 .2 .82 .	0 У Z
	7	8	0		X	0	Z
	cosa		COSP	cos 7
1 .2 .83 .		1	1	0
		1	0	1

Решить уравнения и неравенства:

	- 3		2	1				2	0		- 1
1 .2 .8 4 .	х — 1	0		7	0.		1 .2 .8 5 .	1 ж+ 5 2 — х
	2	- 1		3				3	- 1		2
	х + 2 4			- 1					- 3	х - 1	1
1 .2 .8 6 .	- 2	2	X —1 = 0.				1 .2 .8 7 .	х + 2		2	3 = 6.
	1	3		0					0	1	X
	3		2		—1
1 .2 .8 8 .	х + 2		0	X	1	< 0.
	- 2	3	-	X	1

Не вычисляя определителей, проверить, что они делятся на а —Ъ, Ь —с,

с — а:

	1	а	а2			1	а	Ъс
1 .2 .8 9 .	1	b Ъ2			1 .2 .9 0 .	1 Ъ са
	1	с	с2			1	с	ab
	1	1	1
1 .2 .9 1 .	a	b	c
	а3	Ь3	с3
Вычислить, используя свойства определителей:
	sin а		cos а	sin(a + Æ)		a	a2 +		l	(a +	1)2
1 .2 .9 2 .	sin/?		cos/?	sin(/? -f S) .	1 .2 .9 3 .	b	62 +		l	(6 +	1)2
	sin 7		cos 7	sin(7 + £)		c	c* +		l	( c + 1 ) 2

Вычислить определители разложением по строке или столбцу:

	X		a	b	0	c		0	5	2	0
	0		У	0	0	d
								8	3	5	4
1 .2 .9 4 .	0		e	z	0	f	1 .2 .9 5 .
								7	2	4	1
	0		0	0	0	V
								0	4	1	0
	9		h	k	и	l

	5		а	2	- 1			3	2	2	2
1 .2 .9 6 .	4		6	4 - 3			1 .2 .9 7 .	9	- 8	5	10
	2		с	3	- 2			5 - 8		5	8 *
	4		d	5	—4			6	- 5	4	7
	7		3	2	6			3	6	5	6	4
								5	9	7	8	6
	8	-	9	4	9
1 .2 .9 8 .							1 .2 .9 9 .	6 12		13	9	7
	7	-	2	7	3
								4	6	6	5	4
	5	-	3	3	4
								2	5	4	5	3

Вычислить определители приведением к треугольному виду:

1	1	1	1	1
1	- 1	2	2	2
1	1	- 1	3	3
1.2.100.
1	1	1	- 1	n - -1
1	1	1	1	- 1

—п 1 - n 2 — n					_ 2 - i
1 —п		2 — 71	3 —n		—1	0
2 — п 3 - n 4 - n					0	0
1.2. 101.
- 2		- 1	0		0	0
- 1		0	0		0	0
X	ai	Û2	Ûn—l	1
ai	X	a2	an_i	1
ai	a>2	X	an_i	1
1.2.102.
ai	Û2	Û3	X	1
ai	a-2	a3	an	1
1 — n		1	1	1	\
1 — n		1	1	1
1.2.103.		1 — п	1			п.
1.2.103.						п.
			1 — п
ао	ai	а,2	On—1		@п
—х	х	О	О		о
1.2.104. О	—х х		О		о

ОО О —х

Вычислить определители методом рекуррентных соотношений:

1 0		0	0	О 1		5 6 0 0 0					О О
						4	5 2 0 0				О О
1	oi	О О		О	О	0	1 3 2			0	О О
1	1	о2	О	О	О
						1.2.106. 0	0	1 3		2	О О
1.2.105. 1	О	1	оз	О О
1 0 0			0	1 оп		0	0	0	0	0	3	2
						0	0	0	0 0		1	3

Контрольные вопросы и более сложные задачи

1 .2 .1 0 7 .	Всегда ли определитель суммы матриц равен сумме их опреде
	лителей?
1 .2 .1 0 8 .	Привести пример двух таких матриц, что определитель их сум
	мы равен сумме их определителей.
1 .2 .1 0 9 .	Привести пример двух таких матриц, что определитель их сум
	мы равен сумме их определителей, причем ни один из трех
	определителей не равен нулю.

1.2.110. Могут ли все алгебраические дополнения некоторой матрицы

1.2.111.	А = (a,jj) быть равны соответствующим минорам (Ац = М у)?
1.2.111.	Могут ли все алгебраические дополнения некоторой матрицы
	А = (aij) быть равны соответствующим элементам (Ау = ау )?
1.2 .112. Может ли определитель 2-го порядка принимать значение
	большее, чем определитель 5-го порядка?
1 .2 .1 1 3 .	Может ли определитель изменить знак на противоположный
	при транспонировании матрицы?
1 .2 .1 1 4 .	Дана квадратная матрица n-го порядка А = (ау). Чему равна
	п
	сумма Y J aij Aij ?
1 .2 .1 1 5 .	ij= 1
1 .2 .1 1 5 .	Можно ли вычислять миноры, дополнительные к элементам
	неквадратной матрицы?
1 .2 .1 1 6 .	Как изменится определитель 3-го порядка, если его строки пе
	реставить следующим образом: первую — на место второй, вто
	рую — на место третьей, третью — на место первой?
1 .2 .1 1 7 .	Как изменится определитель 7г-го порядка, если его строки пе
	реставить следующим образом: первую — на место второй, вто
	рую — на место третьей, . . . , (п — 1)-ю — на место n-й, п-ю —
	на место первой?
1 .2 .1 1 8 .	Сколько всего миноров у квадратной матрицы n-го порядка?
1 .2 .1 1 9 .	Сколько всего миноров у матрицы размера т х п ?
1.2.120.	Могут ли все алгебраические дополнения некоторой ненуле
	вой матрицы А = (ciij) быть равны соответствующим минорам
	(Aij = Mij)?

1.2.121. Могут ли все алгебраические дополнения некоторой ненулевой

матрицы А = (ау) быть равны соответствующим элементам

(А^ = d(j)?

1 .2 . 122. Вычислить определитель приведением к треугольному виду:

1	X	X2	X3	х "
dll	1	X	X2	х " -1
d2 l	Û22	1	X	х п-2

dni Оп2 &n3 dnA

1 .2 .1 2 3 * . Дана квадратная матрица п-го порядка А = (ау ). Чему равна сумма а\\ •А2\-Ь ai2 * А22 + •••+ a>in-i Ain-x + сцп *

1 .2 .1 2 4 * .Доказать, что если все элементы определителя 3-го порядка равны 1, то значение определителя — четное число.

1 .2 .1 2 5 * . Доказать, что если числа а, 6, с — действительные, то уравне

ние ° £ Х с __ т = 0 имеет действительные корни.

1 .2 .1 2 6 * .Числа 255, 391, 578 делятся на 17. Не вычисляя значение опре-

2	5	5
делителя	9	, доказать, что он тоже делится на 17.
	7

1 .2 .1 2 7 * .Как изменится сумма всех алгебраических дополнений к эле ментам матрицы, если ко всем элементам матрицы прибавить одно и то же число?

1 .2 .1 2 8 * .Вычислить определитель n-го порядка методом рекуррентных

соотношений:
1	2	0	0	0	0	0
3	4	3	0	0	0	0
0	2	5	3	0	0	0
0	0	2	5	3	0	0
0	0	0	0	0	5	3
0	0	0	0	0	2	5

§3. РАНГ МАТРИЦЫ

^Минором к-го порядка произвольной матрицы А называется определитель, составленный из элементов матрицы, располо женных на пересечении каких-либо к строк и к столбцов.

В матрице А =			1	2	3	Г
В матрице А =			4	5	6		можно указать, например, такие ми-
норы:			7	8	9
норы:
— 2-го порядка
1	2	^минор	ап		012!			4	4	минор	а 21	Û24
4	5	^минор	6121		0221		’	7	- 7	минор	Û31	Û34
					)		’
				2	3\|	(		а12		ûi3
				8	9	I минор		Û32		азз
— 3-го порядка
				1	2	1		2	3	1
				4	5	4	J	5	6	4
				7	8	- 7		8	9	- 7

— 1-го порядка

|2| (минор 1^1*21), |3| (минор |ai3 |), |-7| (минор |а341).

^Рангом матрицы А называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю.

Обозначения: г (Л), rang(.4).

^Базисньш минором называется любой из отличных от нуля ми норов матрицы А, порядок которого равен г (Л).

Для следующей матрицы Л ее ранг равен 1:

л = (о “о2 о )- ’•И> = 1-

Любой из миноров 2-го порядка матрицы Л равен пулю, и существует хотя бы один минор 1-го порядка, не равный нулю, например, |3| = 3. Базисным минором матрицы Л является каждый из ненулевых миноров 1-го порядка: |3|(= 3), |- 2|(= - 2 ) , |2|(= 2).

Для следующей матрицы А ее ранг равен 2:


■	с а-т(А) = 2 ,
так как существует минор 2-го порядка		= —6, не равный нулю, а

миноров 3-го порядка у матрицы Л нет. Единственный базисный минор

матрицы Л — минор	О	2
	3	О

Теорема 1.1. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не из меняется.

Теорема 1.2. Ранг ступенчатой матрицы равен количеству ее ненуле вых строк.

Метод элементарных преобразований нахождения ранга матрицы за ключается в том, что матрицу Л приводят к ступенчатому виду с помо щью элементарных преобразований; количество ненулевых строк полу ченной ступенчатой матрицы есть искомый ранг матрицы Л.

Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы Л состоит в следующем. Необходимо:

1)Найти какой-нибудь минор М\ первого порядка (т.е. элемент ма трицы), отличный от нуля. Если такого минора нет, то матрица А нуле вая и г(А) = 0.

2)Вычислять миноры 2-го порядка, содержащие Mi (окаймляющие Mi) до тех пор, пока не найдется минор Mo, отличный от нуля. Если

такого минора нет, то ?'(А) = 1, если есть, то г(А) ^ 2. И т.д.

к) Вычислять (если они существуют) миноры k-ro порядка, окаймля ющие минор Mk- 1 ф 0. Если таких миноров нет, или они все равны нулю, то r(A) = k —1; если есть хотя бы один такой минор Мк ф 0, то г(А) ^ к, и процесс продолжается.

При нахождении ранга матрицы таким способом достаточно на ка ждом шаге найти всего один ненулевой минор к-го порядка, причем ис кать его только среди миноров, содержащих минор Мк- 1 ф 0.

1.3.1 Найти ранг матрицы методом элементарных преобразований:

2 -	1 5	6^
1	1	3
1	- 5	1

О Приведем матрицу к ступенчатому виду с помощью элемен тарных преобразований:

2 - 1 5			6	'		' 2 - 1 5			б \
1	1	3	5	2	•II — I -	0	3	1	4
1	- 5	1	- 3	2	- III — I	О	- 9	- 3	- 1 2 / Ш + З- П
									(2	- 1	5	6>
									0	3	1	4
									(0	0	0	0)

Полученная ступенчатая матрица содержит две ненулевые строки, значит ее ранг равен 2. Следовательно, ранг исходной матрицы также равен 2. •

Найти ранг матрицы методом элементарных преобразований:

	1 2 3 0\					1	2	- 1	1 - з \
1 .3 .2 .	0 1 1 1 .				1.3.3.	3 - 1		1	6	11 '
						1 - 1		- 1	4
	1 3 4 1 /									- з /
	’ 1	1	3	—7	1 \	’ 1	1	3	- 7	1 \
						2	- 1	1	6	- 4
1 .3 .4 .	2 -	1	1	6	- 4 . 1.3.5.
						- 1	2	- 1	- 1 0	5
	- 1	2	- 1	-10	5 /
						2	- 1	2	5	“ 4 /

	л								1		1
		1	4 \						/2		1\
1 .3 .6 .	о	2	5			1.3.7.			1		1
1 .3 .6 .	0	3	6			1.3.7.			1		5
	1	14	32						1		5
	1	14	32						1		4
	М	32	7 7 /						1		4
	М	32	7 7 /						VI		V
1 .3 .8 .									VI		V
1 .3 .8 .	Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров и указать
	один из базисных миноров:
						/ 1	3	3	4
					.	4 = 0 0 1			2
						\2	6	1	- 2 )
	О Так как у матрицы А есть ненулевые элементы, то г (А) ^ 1.
	Найдем какой-либо ненулевой минор 2-го порядка (если он су-
	ществует). Таким минором является, например, Mo = 3												3
												О	1
	= 3 ^ 0 . Значит, г(.4)					^ 2.
	Вычислим миноры 3-го порядка, окаймляющие Mo:
			1	3	3	\|-
	M i	=	0	0	1	разложение				= - 1		= 0;
	M i	=	0	0	1	по 2-й строке				= - 1		= 0;
			2	6	1	■
		3	3	4		г
	м Р =		1	-2		разложение
	м Р =					по 1-му столбцу


	1	2	+6	3		= 3 - ( - 2 - 2 ) + 6 - ( 6 - 4 ) = - 1 2 + 12 = 0;
	= 3' 1 - 2		+6	1		= 3 - ( - 2 - 2 ) + 6 - ( 6 - 4 ) = - 1 2 + 12 = 0;
	Все миноры 3-го порядка, окаймляющие Mo, равны нулю, сле
	довательно, г(Л) < 3. Итак, г(А) = 2.
	Одним из базисных миноров является Мг =										3	3
	Одним из базисных миноров является Мг =										Q	j

Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров и указать какойлибо базисный минор:

1.3.9.	1		2	3\			1.3.10.	2	3
1.3.9.	2		4	5 .			1.3.10.	4	5
	7		8	9)				8	11
			- 2	3	Л		1.3.12.	- 2	3
1.3.11.	3		2	- 4	2 .		1.3.12.	2	- 4
	5		- 2	2	4 /			- 2	2	i -
	'2		- 1	3	- 2	4\		3	5
	'2		- 1	3	- 2	4\	1.3.14.	-1	- 3
1.3.13.	4	-	2	5	1	7 .		-1	- 3
1.3.13.	4	-	2	5	1	7 .		1	- 1
	2	-	1	1	8	2/		1	- 1
	2	-	1	1	8	2/		7	9
								7	9

Найтпи ранг матрицы при различных значениях параметра X:

	/1	2	- 1	0\
1.3.15.	3 - 1 - 2			2
1.3.15.	2	3	- 1	1.3.16.
	2	3	- 1	0
	\1	- 1	0	X)

Дополнительные задачи

Найти ранг матрицы методом элементарных преобразований:

	' 1 - 3 1 -14 22 >						(1 2 4 -3 ^
1.3.17.	- 2	1	3	3	- 9	1.3.18.	3	5	6		- 4
	1—4	- 3	11	-19 17}			i3	8	2		—19 J
	/3	- 1	3	2	5 V		/24	19	36			72	-38		\
1.3.19.	5	- 3	2	3	4	1.3.20.	49	40	73		147		-80
1.3.19.	1	- 3	- 5	0	- 7	1.3.20.	73 59		98		219		-118
	1	- 3	- 5	0	- 7		73 59		98		219		-118
	V - 5		1	4	Ч		\47	36	71		141			-72	/
												11
	8	6	- 7	4	2		24	-37		61		13		50
1.3.21.	4	3	- 8	2	7	1.3.22.	25	- 7		32		-18		-11
	4	3	1	2	- 5		31	12		19		-43		-55
	V»	6	- 1	4	- еУ		\42	13		29		-55		—68/

Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров и указать один из базисных миноров:

1.3.23.						1.3.24.	/ з	- 1	2\
1.3.23.						1.3.24.	4	- 3	3	•
							Vi	3	У
							/ 1	- 2	3	- 4	4 \
1.3.25.						1.3.26.	0	1	- 1	1	- 3
1.3.25.						1.3.26.	1	3	0	- 3	1
							1	3	0	- 3	1
							Vo - 7		3	1	- у
	/ 1 - 2		1	- 1	1 \		(2	1	- 1	- 1	i \
1.3.27.	2	1 - 1 2 - 3				1.3.28.	1 - 1		1	1	- 2
1.3.27.	3 - 2 - 1			1	- 2	1.3.28.	3	3	- 3	- 3	4
	3 - 2 - 1			1	- 2		3	3	- 3	- 3	4
	\2 - 5		1	- 2	2 /		V	5	- 5 - 5		Ч
Найти ранг матрицы при различных значениях параметра X:
	л	-3	2	°\		, „	/з	1	1	4\
1.3.29.	2 -3 -1 3					, „	а	4 10 1
1.3.29.	3	-6	-1	Л		1.3.30.	j	7	17	3
	Vi	-2	0	V			V2	2	4	У

	Л	1	1	я
1 .3 .3 1 .	1	л	1	я
	1	1	л	А2/

Контрольные вопросы и более сложные задачи

1 .3 .3 2 .	Может ли ранг матрицы быть равным нулю? меньше нуля?
	равным 2,5?
1 .3 .3 3 .	Ранг матрицы А равен г. Что можно сказать о г(2Л)? г (—Л)?
	г(0 •Л)?
1 .3 .3 4 .	Как может измениться ранг матрицы при транспонировании?
1 .3 .3 5 .	Как может измениться ранг матрицы при добавлении к ней
	одной произвольной строки? Одного произвольного столбца?
1 .3 .3 6 .	Как может измениться ранг матрицы при вычеркивании одной
	строки? одного столбца?
1 .3 .3 7 .	Доказать, что у матрицы ранга 1 все строки (и столбцы) про
	порциональны.
1 .3 .3 8 .	Ранг матрицы А равен r i , ранг матрицы В равен г2. Что можно
	сказать о г(Л + В)? г(Л — В )?
1 .3 .3 9 .	Как может измениться ранг матрицы при добавлении к ней
	одной (такой же как первая) строки?
1 .3 .4 0 .	Доказать, что каждая матрица ранга 1 может быть предста-
	/ м
	Ъ2
	вленав виде	(c i	С2	Сп) ♦
	\Ьп/	п	п	п	п\
		п	2	тг	71
1 .3 .4 1 .	Найти ранг матрицы	п	п	3	п
1 .3 .4 1 .	Найти ранг матрицы
		\п	тг	п	п)
					( 0	1	1	1\
					1	0	1	1
1 .3 .4 2 .	Найти ранг матрицы размера п х п				1	1	0	1
					V	1	1	0 /
1 .3 .4 3 * .	Доказать, что если С — квадратная невырожденная матрица,
	и существует произведение матриц С •А, то г(С •А) = г (Л).
1 .3 .4 4 * .	Доказать, что г(АтА) = г(ЛЛт ) = г(Л).
1 .3 .4 5 * .	Доказать, что если ранг матрицы А не изменяется от припи
	сывания к ней каждой строки некоторой матрицы В (с числом

столбцов, как у матрицы Л), то этот ранг не изменится от при писывания к матрице Л всех строк матрицы В .

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 584 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202318.91 Mб55Сборник задач и примеров по резанию металлов и режущему инструменту..pdf
#
12.11.20232.54 Mб33Сборник задач и примеров по технологии машиностроения..pdf
#
12.11.202313.31 Mб18Сборник задач и упражнений по импульсной технике..pdf
#
20.11.202310.44 Mб2Сборник задач по аналитической геометрии.-1.pdf
#
12.11.20238.94 Mб9Сборник задач по аналитической геометрии..pdf
#
19.11.202327 Mб25Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс..pdf
#
19.11.202346.05 Mб2Сборник задач по высшей математике. 2 курс.pdf
#
20.11.202318.36 Mб4Сборник задач по курсу математического анализа.-1.pdf
#
12.11.202319.54 Mб35Сборник задач по курсу математического анализа..pdf
#
19.11.202328.16 Mб3Сборник задач по курсу физики с решениями..pdf
#
20.11.20237.63 Mб16Сборник задач по общей физике.-1.pdf