Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

27 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 5821 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

5.3.46.Найти уравнения прямых, проходящих через точку (1; 1; 1) а) параллельно оси Oz\

б) перпендикулярно оси Oz.

5.3.47.Написать уравнение прямой, по которой плоскость х —2у+1 = О пересекает кооординатную плоскость Oxz.

§4. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ

Величина угла меоюду прямой (L) —			У - Уо	z -zn	и плос-
			п	р
костью (<2) Ax + By + Cz + D = 0 определяется по формуле
Sin ip =	\|Ат 4- Вп 4- Ср\				(4.1)
Sin ip =					(4.1)
\/т2 + п 2 + р 2 ■\М2 + В2 + С2
Условие параллельности прямой (L) и плоскости (Q) имеет вид
Ат 4- Вп + Ср = 0 ;					(4.2)
условие их перпендикулярности:
4	= ?	= 2			(4.3)
т	п	р

Для нахооюдения точки пересечения прямой и плоскости удобно вос пользоваться параметрическими уравнениями прямой

X— XQ 4“ TTÏ>£,

У= Уо + nt,

^= z0 +pt;

координаты точки пересечения находятся из системы уравнений

{ х = хо + mtyу = уо + nty z = Z Q + pt,	(4.4)
Ах + By 4- Сz + D = 0.

Условие, при котором прямая (L) лежит в плоскости Q:

{Ат + Вп + Ср = 0,

(4.5)

Ахо + Вуо + Cz0 + D = 0.

(Если Ат 4- Вп + Ср ф 0, то прямая пересекает плоскость; если Ат 4- 4- Вп 4* Ср = 0 и Ахо 4- Вуо 4- Czo 4- D ф 0 — прямая параллельна

плоскости.)

5.4.1.	Найти координаты точки, симметричной точке М\(3; 4; 5) отно
	сительно плоскости я - 2 т / 4- 2 - 6 = 0.

О Точка Mo, симметричная точке Mi относительно плоско сти, находится на перпендикуляре к плоскости и является кон цом отрезка Mi М2, для которого серединой будет точка N пе ресечения прямой М\Мо и плоскости. Направляющий вектор перпендикуляра к плоскости — это вектор-нормаль этой плос кости п = (1; —2; 1). Уравнение перпендикуляра к плоскости, проведенного через точку Mi, имеет вид

л: — 3 _т/ — 4	z - 5	х = 3 + 1 ,
		или < У =	4 — 2t,
Ï ~ - 2	(= *)
	1	2 =	5 + t.

Координаты точки N пересечения перпендикуляра с плоско стью находим, решая систему (см. (4.4))

I х = 3 + t, у = 4 - 2t, z = 5 + £,

[а; - 2 у + 2 - 6 = 0.

Из равенства (3-К) — 2(4—2£) + (5+£) —6 = 0 вытекает равенство 6£ - б = 0, т. е. t = 1. Следовательно, х = 3 + 1 = 4, у = 4 —2 = 2, z = 5 + 1 = б, т. е. 7V(4; 2; 6) — точка пересечения прямой и плоскости. А так как N — середина отрезка Mi М2, то

	ХМ, + Х м 2			УMi + УМ2				ZMi + Z M 2
	XN = --------------	2 --------------	» yN = ----------------		2	------------- *	ZN =	----------------2 -------------	*
	Имеем
	л _ 3 + хм2			0 _ 4 + ум2			п _ 5 + гм2
		2	’	“	2	’	Ь _	2
	Отсюда находим		хм2	= 5, ум2	=: 0» ^м2 = 7, т.е. точка М2
5.4.2.	имеет координаты (5; 0; 7).								•
5.4.2.	Найти координаты точки, симметричной точке М (2; 8; 0) отно-
	сительно прямой		т _ 1	7/ + 3		2 —3
	сительно прямой		_ ^	— =		_■ ^ .
5.4.3.	Составить	уравнение		плоскости,		проходящей через			точку
	М (2; —3; 0) и прямую

I 2 х + у - 6z + 3 = 0,

-у + 2 z - б = 0.

ООдин из способов решения этой задачи мы уже приводили (см. задачу 5.2.12). Рассмотрим другой подход к решению.

Составим уравнение пучка плоскостей, проходящих через

данную прямую: 2х + т/ — 6z + 3 + A(x — y + 2z —6 ) = 0 (см. (2.2)). Выделим среди них плоскость, проходящую через точку М (2; —3; 0), подставив ее координаты в уравнение пучка:

2 *2 — 3 — 6 - 0 + 3 + А(2 + 3 + 2*0 — 6) = 0.

2х + у - 6 z + 3 + 4(х - у + 2z - 6) = О,

т. е. 6 х —Зт/ 4- 2 z - 21 = 0.

•

5.4.4.Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую

i х 3у + 5 = 0,

[ 2 х + 7/4-2: — 2 = 0

и точку М(0; 1; 2).

5.4.5.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку

	М(4; —3; 6) перпендикулярно прямой		= 2LZL1 =
5.4.6.	Найти величину угла между прямой х ^					— = _ 2 и
	плоскостью 4х —2у —2z — 3 = 0.
	О Применяя формулу (4.1), находим
	_____	I 4 - 1 - 2 - 1 - 2 - (-2)\| _	—	6	.	_ 1
	Sin W	——	—		.	—
		%/1 + 1 - М - V16 + 4 + 4	%/б - л/24			2
	Значит, ц>=					•

5.4.7.Найти величину острого угла между прямой

{х - у + z = 0 ,

2х + у - z —3 = 0

иплоскостью 2х + у + 2z — 5 = 0.

5.4.8.Установить взаимное расположение прямой и плоскости:

'х = 2 - At,

1)	< У = t,	и 5х — + 2z — 10 = 0;
	сZ = —3 + 21
2)	^	н З а ;у _ 4Z _ 15 = о.
О	1) Имеем s =	(—4; 1; 2), п = (5 ;- 6 ; 2). Как видно коор

динаты направляющего вектора s прямой и нормального век тора п плоскости не пропорциональны: прямая не перпенди кулярна плоскости (см. (4.3)). Найдем значение выражения

Ат + Вп + Ср:

Ат + Вп + Ср = 5 •( -4 ) - 6 •1 + 2 •2 = -2 0 - 6 + 4 = -2 2 ф 0.

Условие (4.2) параллельности прямой и плоскости не выпол няется. Значит, прямая пересекает плоскость.

Здесь

= (3; —1; 2),

п =

(3 ;1 ;-4 ),

М0( - 1 ;2 ;- 4 ),

Ат + Вп + Ср = 3 •3 +

1 •( - 1 ) —4 - 2

= 9 — I —8 =

0. Сле

довательно, данная прямая параллельна плоскости или лежит

на ней. Проверим условия (4.5) принадлежности прямой плос

кости:

Ахо + Ву0 + Czo + D = 3 •( - 1 ) + 1 •2 - 4 •( - 4 )

- 15 = 0.

Условия (4.5) выполняются, поэтому прямая лежит в плоско

сти.

•

5 .4 .9 .

Установить взаимное расположение прямой L и плоскости Q:

х — у + 4z —6 = 0,

(L) и

Зх -

у + 6 z - 12 = 0 (Q);

2х + ?/ — 2 + 3 = 0

2 )% = Ц ^ = ^ ( Ь ) » 5 х - г = 4 (а ).

Дополнительные задачи

5.4.10.

Написать

уравнение

плоскости,

проходящей

шрез

прямую

х - 0,5

у + 3

_ 2 + 2,5 и

перпендикулярной к плоскости

- 2

5.4.11.

Зх + 4у —5z — 6 = 0.

Написать уравнение плоскости, проходящей через параллель

ные прямые х + 1 _

У -

1 _ г + 2 „ х — 2 _

У+ 3 _

- 2 "

" - I й - 2 ”

" - Г

5.4.12.

Найти координаты точки пересечения прямой х

с плоскостью Зх — у + 2z + 5 = 0.

5 .4 .13 .

Найти координаты проекции точки М (2 ;2 ;—2)

на плоскость

5.4 .14 .

Зх — у + 2 — 13 = 0.

Найти координаты проекции точки Л /(—3; 0; 2) на прямую

х — 5 —

< У=

2*,

= 3*.

5 .4 .1 5 .

При каком значении т прямая х

^ 2

~ = Z—~Ь паРал“

лельна плоскости 5х — Ъу + 42 — 1 = 0?

5 .4 .1 6 .

При каких значениях С и D прямая х ^ ^ =

= у лежит

в плоскости 2х — у + Cz + D = 0?

5 .4 .1 7 . Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки М (1; 1; 6) на прямую

х = —1 + 3£,

У = 21 ,

z —t.

1 ж 4 -2 з/-г4 -2 = 0,

|3ж - y + z - 5 = 0

параллельно прямой

ж = 1 — t,

iу — —2 4- 2£, z = 1 + 2£.

5.4.19. Найти расстояние от точки М(3; 5; 5) до прямой ^ ~ 2 = 4 == f *

5.4.20.Прямая L проходит через точку М (3; - 4 ; 0) и точку пересече

ния прямой Ц = У

z - с плоскостью ж4-т/ —z4 -2 = 0.

Найти величину угла, образованного прямой L с плоскостью 2х 4- у 4* 2 z — 5 = 0.

5.4.21.Найти уравнение плоскости, проходящей через ось Ох и обра зующей с плоскостью \f2 x 4- T/ - Z 4-2 = 0 угол, равный

5.4.22. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую

2х — т/Ч-2 — 3 = 0,

я + 2 / - З л - 1 = 0

и отсекающей на оси Оу отрезок, равный 3.

5.4.23.Найти расстояние d между параллельными прямыми:

	f* + z = 1,		Гх + « = 1,
	\|T/ + 2Z = 0		\|Î/4 -2 Z = 1;
	о\ х _ У - 5 _ z — 1 и ж - 2 _ У 4-3 _ z 4-1
	^ Т “ - 2 “ - 3 И 4				“* - 8 ~ - 12-
5.4.24.	Плоскость а проходит через точки М\(—6; 1; —5), Мг(7; —2; —1),
	Мз(10; - 7 ; 1). Найти точку, симметричную точке (3; - 4 ; - 6) от
	носительно плоскости а.				прямыми х 7Г-/Р
5.4.25.	Найти	расстояние		между	прямыми х 7Г-/Р	=	^	= * 7^- и
	ж4- 5 _	У 4- 5 _	2?—1		- 6			1
	ж4- 5 _	У 4- 5 _	2?—1
	3 ~	2 ”	- 2	*
Контрольные вопросы и более сложные задачи
5.4.26.	Найти уравнение проекции прямой ^					=	~Z~%на плос
	кость, заданную уравнением 2ж - 3?/4- 2 - 4 = 0.
5.4.27.	Записать уравнение плоскости, проходящей через данную точ
	ку параллельно двум данным прямым.
5.4.28.	На плоскости ж — 2 у 4- 4z -				28 = 0 найти точку			Mo, сумма

расстояний от которой до точек M i(4; 2; 1) и М з(-1; 1; 1) была бы наименьшей.

5 .4 .2 9 .	Найти уравнения плоскости, проходящей через линию пересе
	чения плоскостей	fх + 5т/ + z = О,
		fх + 5т/ + z = О,
	\у - z + 4 = 0
	и образующей угол ip =	^ с плоскостью х - Ay - Sz 4- 12 = 0.
5 .4 .3 0 * .	Доказать, что кратчайшее расстояние между прямыми f =
	= г1 4- Si £ и f = Vo 4- 52^ может быть вычислено по формуле
	.	1(^2 - f i ) s i g 2\|
		\si х 521
5 .4 .31 .	Можно ли через прямую			провести плос
	кость параллельно плоскости 1 2 х —у 4- 1 0 z - 3			= 0?
5 .4.32.	Каково уравнение прямой, проходящей через точку 0(0; 0; 0)
	перпендикулярно к плоскости х + у + z + 1 = 0?
5.4.33.	Лежит ли прямая у =	^ = —j y в плоскости Sx + 2t/ 4- 2 = О?
	А в плоскости Зх 4- 2т/ 4- 2 — 1 = 0?
5.4.34.	При каких значениях р и В прямая		х ~	=- г - 3
	перпендикулярна плоскости 6х 4- 2?2/ _			Р
	перпендикулярна плоскости 6х 4- 2?2/ _		4-1 = 0?
5.4 .35 .	При каком значении А плоскость Ах — 2?/ 4- 4z 4* 5 = 0 парал-

лельна прямой

U -z = 0, х 4- 2/ = 0?

§ 5. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Если в пространстве R3 ввести прямоугольную систему координат

Oxyz, то	каждая поверхность определяется некоторым уравнением
F {x,y,z)	— 0, (x,y,z) — координаты любой точки поверхности. Если

F (x , ?/, z) — многочлены не выше второй степени относительно совокуп ности переменных х, у, z, то уравнение F(x,y,z) = 0 называется урав нением второго порядка, а поверхность, изображаемая этим уравнением называется поверхностью второго порядка.

Если поверхность имеет специфическое расположение относительно системы координат (например, симметрична относительно некоторых ко ординатных плоскостей, или имеет вершину в начале координат и пр.), то ее уравнение имеет достаточно простой вид, который называется ка

ноническим.

Канонический вид уравнений поверхностей второго порядка. Геометрическое изображение

1)Сфера радиуса R с центром в начале координат (рис. 56)

х2 + у2 + z2 = R2

Рис. 56

Уравнение (х —хо)2 + (у —уо)2 + {z — zo)2 = R2 изображает сферу радиуса R с центром в точке Mo(xo,yo,zo).

2)Эллипсоид с полуосями a, b, с и центром в начале координат

(рис. 57)

X2		у 2		Z2
___ L ___ \|----- — 1
а2	'	о*2	'	с 2

При а = b = с = R эллипсоид превращается в сферу радиуса R.

Рис. 57

Рис. 58

3)Однополостный гиперболоид с полуосями a, b, с и осью Oz (рис. 58)

а2 +	Ь2	с2 "
Сечения гиперболоида горизонтальными плоскостями z = Л являют-
ся эллипсами	Г	,	Л2
я2
9 "Ь ^2		““ ^	•>•
ОТ	о		с

Сечения гиперболоида вертикальными плоскостями х = h или у = h являются гиперболами.

ь2 с~°	а "°	или	с2	62
		а 2

4)Двуполостный гиперболоид с полуосями а, 6, с и осью Oz (рис. 59)

-	+	^	-	- = - 1
а 2	+	Ь2		с2
Сечения гиперболоида горизонтальными плоскостями z = h, \|Л > с
ЯВЛЯЮТСЯ эллипсами	2		2	» 2

Û2 + Ь2 " с2

Сечения гиперболоида вертикальными плоскостями х = h или т/ = h являются гиперболами.

Г	- 1 или		л2
Ъ2		7 '	1.
			ь2

Рис. 59

Рис. 60

5) Параболоид эллиптический с параметрами о, Ь, р и вершиной в начале координат (рис. 60)

= 2pz.

Л2 ^

Сечения параболоида горизонтальными плоскостями z = h (h > О при р > 0, h < 0 при р < 0) есть эллипсы

= 2ph.

Сечения параболоида вертикальными плоскостями х = h или у = h являются параболами.

у2 п	К2	х2	0	Н2
72 = 2 P Z - —		ИЛИ —	= 2 p z -	- J .
о-	а	а		6

6) Параболоид гиперболический с параметрами а, 6, р и вершиной в начале координат (рис. 61)

оГ = 2pz.

Ь2

Рис. 61

Рис. 62

Сечения параболоида горизонтальными плоскостями z = h предста вляют собой гиперболы

..2

У~ = 1.

2 arph 2 b~ph

Сечения вертикальными плоскостями х = h и у = h являются пара

болами	у2	х2	х2	h2
	72 = ~ 2Р2 + —		и —	= 2рг + - J .
	о	а	а	о
7)	Конус эллиптический с вершиной в начале координат и осью Oz
(рис. 62)

LО2 С_2 U*

Если а = Ь, то конус круглый или круговой. Пересечение конуса горизонтальными плоскостями являются эллипсами

х2	2/2	л2
а2		“ с2

(при h = Оэллипс вырождается в точку).

Сечения конуса вертикальными плоскостями х = h ny = h являются

гиперболами
			тт	при	Нф О,
			о~
или парой пересекающих прямых
У2	Z2 л	X2	Z2	при	.
7 7	----т = 0	и —	----- ô = 0	при	/г = 0.
и	С“	ОТ	С~

К поверхностям второго порядка относятся цилиндры, направляю щие которых — линии второго порядка. Мы ограничимся перечислени ем цилиндров, направляющие которых расположены в плоскости Оху, а образующие — прямые, параллельные оси Oz.

8)Цилиндры:

(1)Эллиптический (рис. 63)

Х“

а"

Рис. 63

Рис. 64

Если а = b = R, то цилиндр — круговой х2 + у 2 = R.

(2)Гиперболический (рис. 64)

2	2	_
аг _ Г		_

2L2 ~ А*

ао

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 5821 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202318.91 Mб55Сборник задач и примеров по резанию металлов и режущему инструменту..pdf
#
12.11.20232.54 Mб33Сборник задач и примеров по технологии машиностроения..pdf
#
12.11.202313.31 Mб18Сборник задач и упражнений по импульсной технике..pdf
#
20.11.202310.44 Mб2Сборник задач по аналитической геометрии.-1.pdf
#
12.11.20238.94 Mб9Сборник задач по аналитической геометрии..pdf
#
19.11.202327 Mб25Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс..pdf
#
19.11.202346.05 Mб2Сборник задач по высшей математике. 2 курс.pdf
#
20.11.202318.36 Mб4Сборник задач по курсу математического анализа.-1.pdf
#
12.11.202319.54 Mб35Сборник задач по курсу математического анализа..pdf
#
19.11.202328.16 Mб3Сборник задач по курсу физики с решениями..pdf
#
20.11.20237.63 Mб16Сборник задач по общей физике.-1.pdf