книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс
..pdf2 . 3 . 4 .
2 . 3 . 6 .
2 . 3 . 8 .
2 . 3 . 1 0 .
2 . 3 . 1 2 .
2 . 3 . 1 4 .
2 . 3 . 1 6 .
2 . 3 . 1 7 .
2 . 3 . 1 8 .
x i + х 2 = О,
2 . 3 . 5 .
Xi - Х2 = О.
2х - 3у = О,
4 х — 6 у = 0 .
x i |
- |
у Д х 2 |
= О, |
у/Зхх — |
Зх2 = О, |
||
—у/2х\ |
+ |
у /б х 2 |
= О, |
к |
2 x i - V Ï 2 X 2 = 0. |
|||
х\ + х 2 |
— |
Хз — О , |
||
~Х\ — х 2 |
+ |
Хз = 0 . |
||
' Xi - |
Хз |
= |
О, |
|
х 2 — Х4 |
= |
О , |
||
^Х\ + Хз - х 5 = О,
—Х2 + Х4 - Х 6 = О,
- Х з + £ 5 = 0 ,
^“ £4 4“ XQ— 0.
2х\ |
— |
|
х 2 + |
£ |
3 |
= |
О , |
||
< 4 £ I |
- |
2 |
£ |
2 |
+ 2 |
£ |
з |
= |
О , |
б £ 1 |
- |
3 |
£ |
2 |
4 “ 3 |
£ |
з |
= |
0 . |
2 . 3 . 7 .
2 . 3 . 9 .
2 . 3 . 1 1 .
2 . 3 . 1 3 .
2 . 3 . 1 5 .
Х\ + |
2 £ 2 + |
|
4 £ з — |
3 £ 4 = О , |
|
|||
3£i + 5£2 + |
|
б£3“ 4£4 = О, |
||||||
4 £ I |
+ |
5 х 2 — |
|
2 х з + |
3 £ 4 = О , |
|
||
к 3 £ х + |
8 х 2 + |
2 4 £ з - 1 9 £ 4 = |
0 . |
|
||||
£ 1 “ |
х 2 - 2 х з + |
3 £ 4 = О , |
|
|||||
^ £1 + 2£2 |
|
- 4£4 = О, |
|
|||||
2 £ х + |
£ 2 4 " 2 £ з |
£ 4 = 0 , |
|
|||||
к £ l — 4 £ 2 + Хз + 10£4 = о. |
|
|||||||
Г 3 £ 1 + |
4 £ 2 + Хз + 2 £ 4 |
4 - 3 £ |
б — О , |
|||||
5 £ I |
4 - |
7 х 2 + |
|
Хз 4 - 3 £ 4 |
4 - 4 £ |
5 = О , |
||
4 £ I |
+ |
5 £ 2 4 - 2 £ |
3 |
+ |
£ 4 |
4 - |
Ъхъ = О , |
|
j £ l |
+ |
1 Û £ 2 4 - |
|
Хз 4 - б £ 4 |
4 - 5 £ |
5 = 0 . |
||
Xi + Х 2 = О,
—Х\ —£ 2 = 0 .
Xi + х 2 - х 3 = О ,
Х\ — х 2 + Хз = 0 .
2£I |
— |
£2 = |
О, |
||
< —у/8 хг |
|
|
у/ 2 х2 — О, |
||
4£I |
— |
2£2 = |
0. |
||
Х\ + 2 |
£ 2 |
+ 3 £ з = О, |
|||
4 £ I + 5 |
£ 2 |
+ б £ з = |
О , |
||
7 £ 1 4 " 8 х 2 + 9 £ з = |
0 . |
||||
£1 - 2£ |
2 + 3£з = О, |
||||||||
— Х\ + 2 |
£ |
2 |
— 3 £ |
з = О , |
|||||
2 £ I — 4 |
£ |
2 |
+ б £ |
з = |
О , |
||||
^ S x i + б £ |
2 |
|
— 9 £ |
з = |
0 . |
||||
£ 1 |
4- 2 £ |
2 + |
|
З £ |
3 = |
О , |
|||
< 4xi |
4- 5£ |
2 |
+ |
б£з = О, |
|||||
7xi 4* 8 £ |
2 |
+ |
10£з = |
0. |
|||||
Х\ + Хо — З х з = О , |
|
8xi + Х2 + 4хз = О, |
2 .3 .1 9 . < Хх — 2хо — хз = О, |
2.3.20. |
Axi - Х2 + хз = О, |
2xi + 11x2 — 2Ахз = 0. |
|
A2xi + Зх2 + 2хз = 0. |
В задачах 2.3.21-2.3.25 вектором р будем называть упорядоченный ко нечный набор чиселр = (pi;P2î •••\Vn)i в этом случае числаР и Р г , •••, Р п будем называть компонентами вектора р (подробнее — см. Главу 3).
Даны:
1) неоднородная система уравнений;
2) набор из трех векторов й\, â2,
3) несколько систель векторов — В\. Требуется:
а) Проверить, какие из трех векторов — й\, й2, аз — являются реше ниями данной неоднородной системы уравнений.
б) Выбрать те системы векторов В{, которые образуют фундамен тальную систельу решений соответствующей однородной систелт уравнений.
в) Используя ответы к пункталг а) и б), записать общие решения дан ной неоднородной системы и соответствующей ей однородной систелт уравнений.
I |
X i |
- |
Х 2 + |
Х з |
= |
2 , |
|
|
|
2 .3 .21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 2 х х |
- |
2 x 2 + |
2 х з |
= |
4 . |
|
|
||
а х |
= |
( 1 ; |
—2] 3 |
) , |
Ü 2 = |
( 1 ; |
0 ; 1 ) , |
а з = ( 5 ; 2 ; “ 1 ) ; |
|
Bi = { ( - 4 ; - 2 ; |
2 ) , ( 2 ; 1 ; - 1 ) } , |
В2 = { ( 2 ; 1 ; - 1 ) , ( 1 ; 1 ; 0 ) } . |
|||||||
О а) Подставляя в систему уравнений компоненты вектора |
|||||||||
ai = |
(1; —2;3), получим два неверных равенства: |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ 2 + 3 = 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 -1 + 2- 2 + 2- 3 = 4. |
||
Значит, набор значений (1; —2; 3) не является решением данной системы.
Теперь убедимся, что компоненты вектора â2 = (1; 0; 1) да ют решение системы:
11 + 0 + 1 = 2,
[2 * 1 + 2 - 0 + 2 -1 = 4.
Аналогично, компоненты вектора аз = (5 ;2 ;—1) также представляют собой решение данной неоднородной системы уравнений (проверьте самостоятельно!).
б) |
Сначала выясним, из скольких решений состоит фунда |
|||||
ментальная система решений однородной системы уравнений, |
||||||
соответствующей заданной неоднородной системе: |
||||||
|
|
|
xi - |
х2 + х 3 = О, |
|
|
|
|
|
2xi ~ 2x2 + 2хз = 0. |
|
||
Найдем ранг матрицы А этой системы, для чего приведем ее к |
||||||
ступенчатому виду: |
|
|
|
|
||
|
Л |
- 1 |
Л |
Л |
- 1 |
Л |
|
\ 2 |
-2 |
2 j ï L - 2 - I ~ \0 |
0 |
0) |
|
Значит, г(А) = |
1, и п — г(А) — 3 — 1 = |
2, откуда следует, что |
||||
любая фундаментальная система состоит из двух решений. Нетрудно увидеть, что решениями указанной однородной
системы уравнений являются все четыре вектора из систем В\ и Во, (проверьте самостоятельно!).
Два решения указанной однородной системы будут образо вывать ее фундаментальную систему решений тогда и только тогда, когда они линейно независимы, т.е. матрица, составлен ная из их компонент, имеет ранг 2.
Составим хматрицу из компонент векторов системы В\ и
приведем ее к ступенчатому виду: |
|
|
|
|
( —4 |
- 2 2 \ |
/ - 4 |
- 2 2\ |
|
\ 2 |
1 - i ; 2 -И + 1 ~ ^ 0 |
0 |
0) |
|
Ранг этой матрицы равен 1, значит система В\ не является фундаментальной системой решений однородной систвхмы урав нений.
Исследуем систему векторов Вг. Составим матрицу из ком понентов векторов из #2 и приведем ее к ступенчатому виду:
'2 |
1 |
- Л |
(% |
1 |
- Л |
Д |
1 |
0 ) 2 •II - 1 ~ |
VO |
1 |
1 ) |
Ранг этой матрицы равен 2, значит векторы из В2 линейно не зависимы и образуют фундаментальную систему решений од
нородной системы уравнений. |
|
|||
|
в) |
Общее решение однородной системы может быть запи |
||
сано в виде линейной комбинации векторов Ь\ = |
(2; 1; —1) и |
|||
62 = |
(1; 1; 0), т.е. суммы вида |
|
||
h |
•b\ + t%2 •62 = h |
•(2; 1; —1) -f £2 •(1; 1; 0) — |
|
|
|
|
= (2^i ; |
; —£1) 4- (£2; h] 0) = (2ii + Д1 + |
£2; —£1), |
где t\ и t<i — произвольные действительные числа.
2 .3 .2 2 .
2 .3 .2 3 .
Общее решение неоднородной системы уравнений может быть записано в виде суммы одного (частного) решения этой системы и общего решения соответствующей однородной систе мы уравнений. Так как и вектор й2 и вектор а3 являются реше ниями неоднородной системы, то ее общее решение мы можем записать двумя способами:
а2 + £i&i + ^2^2 — (1; 0; 1) 4* (2t\ 4- t2]tx 4 -t2\—ti) —
|
= |
(1 4- 2ti 4- t2 \£1 -f t2\1 —ti) |
или |
|
|
â3 4- t\b\ + |
^2^2 — (5; 2; —1) 4- (2ti |
4- ^2 ; ^1 + £2 ; —£1) — |
|
— (5 4" 2ti 4" t2 52 4- £1 4 -12; —1 —t\). |
|
)твет a) |
и ^3’ ^ 2’ в) °^щее решение однородной систе- |
|
ы ( 2 1 4- te; te + te; -te ); общее решение неоднородной системы
L 4-2 t î + teî 11+ *2;1 ” 11^ИЛИ (5 + 2te + *2 ; 24-11 4-12; -1 - te ). •
Xi 4- 2X2 55 4}
—2 x\ - 4x2 = |
*“8. |
|
||||
1 = |
fû* 2)i ^2 = |
(“ 2 ; 3), ô3 = (2 ; - 1); |
B3 = {(2; 1)}. |
|||
S1 J |
{(2 ;1 ). (2; - 1 ) } . -B2 = {(2; - 1 ) } , |
|||||
2 х1 |
+ ю - '4хз = 0’ |
|
||||
|
-f- 5 2 -2 — |
|
— 8, |
|
||
. _ |
. |
5a;#2 - |
6x3 ~ L |
|
||
|
|
|
a;3 = !• |
|
||
/ 3. 2; _ 1 )J “2 = (0; 0; 0), o3 = (1; 2; 1); |
||||||
: {(o’?0;0)}. s 2 = {(1 ;2 ;1 )}, B3 = |
{(13; 2; 7)}. |
|||||
2 .3 .2 4 .
2 .3 .2 5 .
— 12 3:3 ~
-■j,3X2 " X3 =
-f- 2^2X ~~" 2®3X = 2"’
. 1-1), o>2 = (0;0; 1), S3 = (0; 1;0);
n ’1; 2), (0; 1; 1), (2; - 1 ; 0 )}, B2 = {(1 ;0 ; 1), (0; 1; 1)}, j ^ l î l U - W ) } .
X 2 —3x3 + 2 x4 — ~ 1)
52:2 - |
6 x3 + 3x4 = |
2, |
7 x2 |
~~9^3 + 6x4 = |
3. |
V - 2 ; |
1; 2), Sa = (2; - 2 ; 5; 2), ô3 = ( - 4 ; - 2 ; - 3 ; 2); |
|
3; 0; |
4; |
0), (1; - 2 ;4 ; - 3 ) } , B2 = { ( - 1 ; - 1 ; - 1 ; 3 )}, |
3; 0; |
4; 0 )}. |
|
2xi |
- |
= |
О, |
|
2.3.26. |
|
|
|
|
-4xi 4- 2х2 = 0. |
||||
Зх 4- 4 |
у = 0, |
|
||
2.3.28. |
3 |
у = 0. |
|
|
4х - |
|
|||
2х — |
|
у - |
z = 0 , |
|
2.3.30. |
|
|
2z = |
0. |
4х — 2у - |
||||
3xi + 2х2 4- х3 = О,
2.3.32.t 2xi 4- 5х2 4- Зх3 = О, 3xi 4- 4х2 4- 2х3 = 0.
xi- 2х2 4- Зх3 = О,
2.3.34.- x i 4- 2х2 - Зх3 = О,
2xi —4х2 4- 6х3 = 0.
х\ - х3 4- х5 = О, Х2 —Х4 “1 XQ —Oj
Г х - л/3 у = О,
2.3.27.
| л /3 х - Зу = 0.
xi 4- 2х2 = О,
2.3.29.< —\/3xi —\/12х2 = О,
|
|
2xi 4- |
4х2 = 0. |
|||
2.3.31. |
2х - |
у - |
|
z = О, |
||
х 4- 2у 4- 3z = 0. |
||||||
|
||||||
2.3.33. |
XI - 2X 2 —3x3 = 0 , |
|||||
2 xi |
4- 3x |
2 |
4- Z3 = 0 , |
|||
|
5xi - 3x |
2 |
—8x 3 = 0 . |
|||
|
2 xi 4- x2 - |
^3 = 0 , |
||||
|
Xl - 2X 2 4- x3 = 0 , |
|||||
2.3.35.
Xl 4- 3x2 —2 x 3 = 0 ,
Xi 4- 8X 2 - 5x3 = 0 .
2.3.36. ^ Xi |
Х2 4“ Х5 XQ —0) |
Х2 - |
Хз 4- х6 = О, |
Xi |
Х4 “I- Х5 — 0. |
|
Xi + Х2 |
—Х3 + 2X4 = О, |
||
2.3.37. |
^ XI 4- Зх2 |
- Зх3 + 4X4= о, |
||
3xi + 2х2 4" х3 |
= О, |
|||
|
||||
|
, xi 4- Зх2 |
|
—5x4 = 0. |
|
2X I - 4 X2 + 5х3 4- 3x4 = 0,
2.3.38.< 3xi —6х2 4- 4х3 4- 2 x4 = 0)
^4xi - 8x 2 4- 17х3 + 11x 4 = 0.
5xi 4- 6х2 —2х3 4- 7 x44- 4x5 =
2 xi 4- Зх2 — х 3 + 4 x4 4" 2 x5 = О»
2.3.39.
5xi 4- 9х2 —Зх3 + Х4 + 6x5 = О,
,7xi 4- 9 х 2 - Зх3 4- 5 x4 4- 6x5 = 0.
X i -З х 2+ Т з - 2 X4 = 0 ,
2 . T i 4 - Хо 4 " З . Т 3 = |
О , |
3xi |
4- 2x2 |
4" 3x4= О, |
||
2 .3 .4 0 . < 4х\ — х2 |
4- 7.тз = |
О, |
||||
2 .3 .4 1 . |
|
|
||||
. T i 4 - ах2 |
4 - 2 т * з = |
0 . |
5xi 4- 6x2- 4х3— Х4= О, |
|||
к3xi |
4-5x2 - Ахз |
= 0. |
||||
|
|
|
||||
Контрольные вопросы и более сложные задачи
Ответы к задачам 2.3.42-2.3.56 проиллюстрируйте примерами.
2 .3 .4 2 . |
Может ли количество решений, составляющих фундаменталь |
|
ную систему решений, быть больше числа неизвестных? мень |
|
ше? равно? |
2 .3 .4 3 . |
Может ли частное решение однородной (неоднородной) систе |
|
мы линейных уравнений быть ее общим решением? |
2 .3 .4 4 . |
Может ли однородная система линейных уравнений иметь ров |
|
но одно решение? ровно два? ровно 17? |
2 .3 .4 5 . |
Фундаментальные системы решений двух однородных систем |
|
линейных уравнений совпадают. Равны ли матрицы однород |
|
ных систем? Равны ли ранги этих матриц? |
2 .3 .4 6 . |
У двух неоднородных систем линейных уравнений есть общее |
|
частное решение и у соответствующих им однородных систем |
|
совпадают фундаментальные системы решений. Равны ли рас |
|
ширенные матрицы неоднородных систем? Совпадают ли их |
|
общие решения? |
2 .3 .4 7 . |
Следует ли, что система линейных уравнений является одно |
|
родной, из того, что сумма любых двух решений системы также |
|
является ее решением? |
2 .3 .4 8 . |
Верно ли, что сумма (разность) двух любых решений системы |
|
линейных уравнений также является ее решением, если систе |
|
ма: |
|
а) однородна; |
|
б) неоднородна? |
2 .3 .4 9 . |
Может ли у неоднородной системы линейных уравнений быть |
|
фундаментальная система решений? |
2 .3 .5 0 . |
Может ли у однородной системы линейных уравнений не быть |
|
фундаментальной системы решений? |
2 .3 .5 1 . |
Верно ли, что произведение решения системы линейных урав |
|
нений на любое число также является ее решением, если си |
стема:
а) однородна; б) неоднородна?
2.3.52. |
Могут ли совпадать множества решений у двух различных си |
|||
2.3.53. |
стем линейных уравнений — однородной и неоднородной? |
|||
Система линейных уравнений (I) однородна, система (И) неод |
||||
|
нородна. Общее решение системы (II) может быть представлено |
|||
|
в виде суммы частного решения системы (II) и общего решения |
|||
|
системы (I). Совпадают ли матрицы систем (I) и (И)? Совпада |
|||
|
ют ли ранги этих матриц? |
|
|
|
2.3.54. |
Что можно сказать о множестве решений однородной системы |
|||
|
линейных уравнений, если оно не изменяется при вычеркива |
|||
|
нии одного любого из уравнений системы? |
|
||
2.3.55. |
Пусть даны две однородные системы линейных уравнений. Что |
|||
|
можно сказать о множествах их решений, если при добавлении |
|||
|
ко второй системе одного любого из уравнений первой системы |
|||
|
множество решений второй системы не изменяется? |
|||
2.3.56. |
При каких условиях на числа a i ,a 2, ... ,a n для любых реше |
|||
|
ний Х \, Х‘2 , • .., Х п неоднородной системы линейных уравнений |
|||
|
сумма а\Х\ 4- аоХо + |
4- OLnXn также будет решением этой |
||
|
системы? |
|
|
|
2 .3.57. |
При каких условиях в общем решении однородной системы |
|||
|
|
х 2 ~h (IXз 4" Ъх4 = |
О, |
|
|
^ —х\ |
4- сх3 4- dx4 = |
О, |
|
|
ах\ 4- сх-2 |
— ех\ = О, |
||
|
, |
4- dx2 4- ех3 |
= О |
|
|
в качестве свободных переменных можно взять хз и Х4? |
|||
КОН ТРОЛ ЬНАЯ РАБОТА Вариант 1
1. Исследовать систему уравнений на совместность и определенность,
не решая ее. Указать главные (базисные) и свободные переменные.
/
3xi — |
Х2 4- 2х3 4- |
Х4 |
= |
- 9 ; |
||
- 2 x i 4- |
х2 |
х3 4- 4х4 = - 2 ; |
||||
< —Xi 4- |
х 2 |
|
4" |
9x4 |
— —13; |
|
—9xi 4- |
4х2 |
— 5хз |
4- 11x4 = |
3; |
||
—15xi 4- |
6х2 |
- 9х*з |
4- |
9х*4 = |
21. |
|
2.Решить систему уравнений методом Гаусса. Указать общее и одно частное решения.
х\ — 2хо — |
хз 4- 3x4 |
= |
5; |
||
4xi |
4- х 2 4- |
х3 4- 2x4 |
= |
13; |
|
7xi |
+ 4х 2 4- |
Зх3 4- |
ха = |
21; |
|
c2xi |
4- 5х2 4- |
Зх3 - |
4х4 |
= |
3. |
3.Решить систему с помощью обратной матрицы и по формулам Кра
мера. |
|
|
—3xi + 4х2 ~h |
хз = |
17; |
2 xi + х 2 - |
х 3 = |
0; |
—2 х\ + Зх2 + 5хз = |
8; |
|
4. Решить однородную систему уравнений. Указать общее решение и фундаментальную систему решений.
х\ + 5х2 — Зхз — 2x4 = 0;
^ - 2 x i |
+ х3 + |
4х4 = 0; |
|
xi — Зх2 |
+ 5хз + |
2x4 = |
0; |
k 5xi - Х 2 |
+ бхз — 2 X 4 = |
0. |
|
Вариант 2
1.Исследовать систему уравнений на совместность и определенность, не решая ее. Указать главные (базисные) и свободные переменные.
2xi ~ X2 + |
Зхз + |
5 X 4 = |
“ 3; |
- 2xi + 3x2 |
- |
X4 = |
8; |
7xi — 3x2 +
-x i - 2 X 2 +
—2xi — 2 X 2 -b
2 x 3 + |
H |
II |
0; |
|
4x3 + |
|
7X4 = |
■-14; |
|
llx 3 + |
■18X 4 = |
■-23 . |
||
2.Решить систему уравнений методом Гаусса. Указать общее и одно частное решения.
' 3xi + 2х2 - |
хз 4- 2x 4 |
= |
—3; |
|
^ —xi — Зх2 |
+ 2x4 |
= |
- 3 ; |
|
xi |
- |
4хз + Х4 = |
0; |
|
k Xi - |
Х2 + Зхз + 3X4 = |
6. |
||
3. Решить систему с помощью обратной матрицы и по формулам Кра мера.
Г x i |
+ 2 х 2 — Зхз = |
—3; |
|
< - 2 x i |
+ 6х2 + |
9хз = |
—11; |
[ - 4 x i |
— Зх2 + |
8хз = |
—2. |
4.Решить однородную систему уравнений. Указать общее решение и фундаментальную систему решений.
2xi + 6х2 - 2хз - 4x4 = 0;
—5xi — 2 х 2 - хз + 5x4 = 0;
-4 x i + 14х2 - 8x3 —2x4 = 0;
k —xi + 10х2 - 5хз - 3x4 = 0.
2. Решить систему уравнений методом Гаусса. Указать общее и одно частное решения.
Х\ — 2x2 |
+ 2хз |
— |
4x4 |
— —2; |
||
- 5 x i + 8х2 |
- |
4хз |
+ |
12x4 |
= |
—4; |
4xi - 7x2 |
+ 5хз |
— |
12x4 |
= |
- 1 ; |
|
k—2xi + 3x2 |
— |
хз |
+ |
4x4 |
= |
“ 3. |
3.Решить систему с помощью обратной матрицы и по формулам Кра
мера.
3xi |
+ |
х 2 - х 3 |
= |
10; |
—3xi |
+ 3x2 + 2хз = |
8; |
||
5xi |
+ |
2 х 2 + 8x 3 |
= —1. |
|
4. Решить однородную систему уравнений. Указать общее решение и фундаментальную систему решений.
|
- x i + |
3x2 |
+ |
Зх3 - Х4 = |
0; |
|
^ |
2xi - |
2x2 |
+ |
хз + 3x4 = |
0; |
|
|
—5xi + 1 1 x2 |
+ 8x3 —6x4 |
= 0; |
|||
, |
3xi - |
Х2 |
+ 5хз + 5x4 |
= 0. |
||
□