Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

27 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 582 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Найти значение матричного многочлена f(A ):

1.1.12.

/(х)

= Зх3 + х2 + 2, Л =

1.1.13.

/( * )

= 2х3 -

Зх2 + 5 , А =

^ .

(

0 \

1.1.14.

/(х )

= Зх2 -

5 х + 2, А =

- 1 .

\—2

}{х) = х3 -

6х2 + 9х + 4, А =

0 \

1.1.15.

- 1 .

4 У

Проверить, коммутируют ли матрицы А и В:

1.1Л6.

- 4 = ( >

Д ) , В = ( Д

f ) .

1 .1 .П .

л = ( _ \

г ) . в = 0

I 1)

/ - 3

1.1.18.

Л =

[ О

- 3

О I

и .В =

О .

\ 0

О 2/

и В =

3 \

1.1.19.

Л =

[ О

3 I

1 —1

- 4 .

- 2

4 /

V 4

1 .1 .20 .

Транспонировать матрицу А =

О Записывая первую и втсвторую строки матрицы А как пер

вый и, соответственно, второйр< столбец матрицы АТ, получим-

матрицу Ат

")■

■ е

1 .1 .21 .

Транспонировать матрицу А =

в)

Так как у матрицы Л две строки и три столбца, то у ма-

трицы Атбудет три строки и два столбца: Лт = I 2

5 I . •

Транспонировать следующие матрии,ы:

1.1.22.

_°5) .

/ 1

О V

1 .1 .23 .

Л = - 3

- 1 ;

		( 1 \			( 4	л \
1 .1 .2 4 .	А =	2			( 4
1 .1 .2 4 .	А =	Q			1 .1 .2 5 . А = - 3	0 .
		О			V -2	V
					V -2	V
1 .1 .2 6 .	А = (' 1		2	1	3 \
		\	- 1	5	- 1 у
		V4
1 .1 .2 7 .	Привести к ступенчатому виду матрицу А с помощью элемен-
	тарных преобразований над строками:

А =

1	0
со	to
сл	1
сл	3
1

-1

1 1—1 0

- 1

О Первый этап. Сделаем нулевыми все элементы матрицы под крайним элементом первой строки. Для этого вычтем из второй строки первую, умноженную на 3, и запишем результат во вторую строку. После этого к третьей строке прибавим пер вую, умноженную на 5, и запишем результат в третью строку. Получим матрицу А\.

Второй этап. Теперь сделаем равными нулю все элемен ты матрицы под крайним элементом второй строки. Для этого умножим вторую строку на 3, третью строку — на 2, получив шиеся строки сложим и результат запишем в третью строку. Получим ступенчатую матрицу Д-2-

А =	/ 1	0	-	1	- г
А =	3	- 2 - 1				II — 3 •I ~
	\—5	3		2		III + 5 •I
					о
					-2	- 3	- 6 / 2 III + 3 - II
					3	- 3	- 6 / 2 III + 3 - II
		( 1		о	- 1	-Л
	~ А%—I 0			-2	2	3	— ступенчатая матрица. •
		\о		о	0	- 3 /

1 .1 .2 8 . Привести к ступенчатому виду матрицу А с помощью элемен тарных преобразований над строками:

0	- 1	- 1	- 3
А = 1	2	4	7
5	0	10	5

О А =		- 1	- 1		-3 '
О А =	/ °1 2		4		7	I f -ИЬ
	\5	0	1Q		5
				л		2	4	7 \
			'		- 1		- 1	- з	!
			'		0	0	10	ь )
				V5		0	10	ь )
				1	2		4	7	'
				0	- 1		- 1	- 3
				О	--10		-1 0	-3 0
		в =		Л	2		4	7 \
		в =		0	- 1		- 1	- 3	ступенчатая матрица.
				Vo	0		0	0 /

1 .1 .29 .	Привести к ступенчатому виду матрицу
									/з		4	- 5	7 \
								Л_		2	3	3	- 2
								Л	—	4	11	-13	16
									V		-2	1	з	/
/3	4	- 5		7 \		3 •II -			2 •I		/ з	4	- 5	7 \
2	3	3	- 2			3 •II -			2 •I		0	1	19	--20
4	И	-1 3		16		3 I I I - 4 -				1 ~	0	17	-19	20	III - 1 7 - 1 1
V - 2		1		Ч		3 •IV —7				I		- 34	38	-- 4 0 /	IV + 2 •III
				/3			4	- 5			7 \
					О		1	19		- 2 0		— ступенчатая матрица.
					О		0 -3 4 2			360		— ступенчатая матрица.
					О		0 -3 4 2			360
				\ 0			0		0	0	/
Привести к ступенчатому виду матрицы:
	/2	3	-2 \							1 .1 .31 .
1 .1 .30 .	3	1	1		■					1 .1 .31 .
	3	5	1		■
	V I	5	" 5 /
	/ 1		- 3	-	1		13 \
1 .1 .32 .	3		1	-	7			9		1 .1 .33 .
1 .1 .32 .	- 1		2		0		- 1 0			1 .1 .33 .
	- 1		2		0		- 1 0
	\ 2		1	-	5			5	/
	п	1	1	1		1			7 \
1 .1 .34 .	3	2	1	1		-	3	-	2	1 .1 .35 .
1 .1 .34 .	0	1	2		2		6		23	1 .1 .35 .
	0	1	2		2		6		23				\3	- 1 - 2	1 - 1 /
	V5	4	3		3	-	1		1 2 /				\3	- 1 - 2	1 - 1 /
	V5	4	3		3	-	1		1 2 /

Дополнительные задачи

Найти линейные комбинации матриц:

1.1.36.	3A - W , A = ( l				42) , В =		( ;	Д	) .
1.1.37.	2В - 5.4, .4 =			( Д	\	о ) , В = ( _ '				О	5	10\
										15	10	0 Г
1.1.38.	А - Х Е , А = ( ^				Д ) .
				/1	- 2 5		3\				/ 0	2	7	- 5
1.1.39.	4 А - 7 Я ,		А =	2	0	- 3	1	, В =			- 8	1	3	0
				\5	- 1 0		4/				\ 4	2 - 2		5
					/	1	- 2	0\			/	5	1	-2>
1.1.40.	5 А - З В + 2С,			А =		3	5	1	,	В =		- 3	2	7
					\—1		2	4/			\ 4		0	- 1 ,
	/ - 5		3	1\
	С = I	2	0	5 .
	V	6	4	2/

Найти произведения матриц АВ и В А (если это возможно):

, 1 , , , = ( ; - ■ ) .

		/ 5 \
	1.1.42. A = ( l - 2 3 0 ) , В =	- 3
	1.1.42. A = ( l - 2 3 0 ) , В =	- 4
		- 4
		1 )

1.1.44. А -G

	/ - 2	3	1 \	Л	- 2	-3
1.1.45. А =	5	4	0	, в = °	- 3	1
	V 2	- 1	- 5 /	V4	- 4	5

Найти произведения матриц (АВ) •С и А - (ВС):

, 1 , 6 .

, = ( Д

• > * - ( * - / ) '

1Л.47.

Л = ( ‘

^ ) , В = ( - 25

Д ) , С = ( ‘

f ) .

1 .1 .4 8 .

А ■

- 2

- 3

0 >

( !

- з ) , - в = ( ; |

_°1) , с = ^

- 2

4 ;

(~Ь

3 \

1 .1 .49 .

А =

- 1

- 3

Э - ( з ) '

\ 1

3 /

Найти матрицу Ап:

1 .1 .50 .

л = ( j

; ) .

/ !

1.1.51.

Л =

О О 0 .

О/

/о

1 .1 .52 .

Л =

\о

о;

Найти значение матричного многочлена f{A):

1 .1 .53 .	/(х )	= 2х2 - Зх + 1, Л =		^
1 .1 .54 .	f{x) = З г2 + 2х + 5, Л =			^	~ 3^.
1 .1 .55 .	/(х )	= 2х3 - х2 + 3, Л =
1 .1 .56 .	/(х )	= 4х3 -	2х2 + Зх -	2, Л = ^~2			3^.
	f(x)			1	- 3	°\
1 .1 .5 7 .	f(x)	= х2 -	Зх + 2, Л =	0	2	1	•
				3	- 3	1	•
				3	- 3	У
				/2	3	- 3 ’
				0	1	4
				0	- 2	1
				\5	- 2	1
				\5
				'1	0	А
				3	- 1	0 .
				0	0	2 /

/ 2	- 3	4 >
1.1.60. f(x) = 2х3 - х 2 + 3х - 2 , Л = [ 0	5	- 1
\—2	- 1	3 у

Проверить, коммутируют ли матрицы А и В :

1 .1 .6 1 .	А = ( 1		2 3 ) ,В =
1 .1 .6 2 .	А =		5 ,В =
1 .1 .6 3 .	.4 =		- 3	В =
1 .1 .6 3 .	.4 =		О	В =
			О
	А =		- 1	0\			/ - 2		1		О '
1 .1 .6 4 .	А =		2	5 уВ = 1 - 3					- 2		5
			- 2	7			1 - 4		2	- 7
		(а	О	О			(а		0	0	0\
1 .1 .6 5 .	А =	О	Р	О	О	,В	=	О	Ь	0	0
1 .1 .6 5 .	А =	О	О	7	О	,В	=	О	0	с	0
		О	О	7	О			О	0	с	0
		\о	О	О	Ч				0	0	d )
		Л	2	3\			( - 1	2		-з\
1 .1 .6 6 .	А = 4		5	6 ,В =			- 4	5		-6
		\7	8	9 /			1 - 7	8		- 9 /

			( - 6		5
1 .1 .6 7 .	А =	, в =	2		1
1 .1 .6 7 .	А =	, в =	8		7
			8		7
			И		- 3
		- 6	1	\
1 .1 .6 8 .	А =	В = - 5
		6 - 3	-3>

Найти матрицу АТ

4	3	\
0	- 9
- 6	5
2	l	)

1 .1 .6 9 .	(\	2\	1 .1 .7 0 .	{	1	_ 2	0
1 .1 .6 9 .	А = (	.	1 .1 .7 0 .	А =	3	5	- 7
	\з	У		1 - 4		1	2
				1 - 4		1	2
1 .1 .7 1 .	Л = ( 1	2 3 4).
Найти произведения матриц АА?			и АТА:
1 .1 .7 2 .	Л		1 .1 .7 3 .	Л = ( 1		2 3 4).
1 .1 .7 4 .			1 .1 .7 5 .	А =

1 .1 .7 6 . А =

1 .1 .7 7 . А =

Привести матрицу А к ступенчатому виду:

1 .1 .7 8 .	А -G : 3								1 .1 .7 9 .	А =
	п		- 2			3		1>
1 .1 .8 0 .	А =	\|3 2				- 4		2	1 .1 .8 1 .	А=
	15		- 2			2		4у
	1 1		-	1	5	-	3	4	\
1 .1 .8 2 .	А =	1	2	-	7	0		7	1 .1 .83 .	А=
1 .1 .8 2 .	А =	2	-			1 2			1 .1 .83 .	А=
		2	-			1 2			3 - 1 1
	Vl		0		1	- 2		5	У
	/	1	5			3		-1 0 \
1 .1 .8 4 .	А =	3	-			1	1	10	1 .1 .8 5 .	А =
1 .1 .8 4 .	А =	2		1	-	1		0	1 .1 .8 5 .	А =
		2		1	-	1		0
	\7		10			6		- 1 0 /			/ 1 0		2
	/1			2		- 1		0\			/ 1 0		2
1 .1 .8 6 .	А =	3	-		1	2	2		1 .1 .8 7 .	А =	3	- 2	0
1 .1 .8 6 .	А =	2		5	-	1	0		1 .1 .8 7 .	А =	2	2	10
		2		5	-	1	0				2	2	10
	Vl		- 1			0		2 /			VI - 2 - 4
Контрольные вопросы и более сложные задачи
1 .1 .8 8 .	Если матрицы А и В								можно умножать, следует ли из этого,
	что их можно складывать?
1 .1 .8 9 .	Если матрицы А и В можно складывать, следует ли из этого,
	что их можно умножать?
1 .1 .9 0 .	Можно ли умножить квадратную матрицу на неквадратную?
1 .1 .9 1 .	Может ли произведение неквадратных матриц быть квадрат
	ной матрицей?
1 .1 .9 2 .	Может ли при умножении ненулевых матриц получиться ну
	левая матрица?
1 .1 .9 3 .	Могут ли совпадать матрицы А и Ат ?
1 .1 .9 4 .	Как выглядит матрица (Ат )т ?
1 .1 .9 5 .	Верно ли равенство (А + В)Т = Ат+ В т ?
1 .1 .9 6 .	Верно ли равенство (А + Е)(А —Е) = А2 —E l
1 .1 .9 7 .	Верно ли равенство (А + Е ) 2 = A2 H- 2А + Е?
1 .1 .9 8 .	Верно ли равенство (А + В)(А — В) = А2 — В 2?
1 .1 .9 9 .	Верно ли равенство (А + В ) 2 = А2 + 2АВ + В 2?
1 .1 .1 0 0 .	Могут ли быть эквивалентными матрицы с различным коли
	чеством строк? столбцов?
1 .1 .1 0 1 .	Обязательно ли существует произведение В А, если A B = E l

1 .1 .1 0 2 .	Может ли нулевая матрица быть эквивалентной ненулевой ма
	трице:
1 .1 .1 0 3 .	Может ли произведение матриц быть числом?
1 .1 .1 0 4 .	Как изменится произведение матриц А и Æ, если переставить
	г-ю и jf-io строки матрицы А?
1 .1 .1 0 5 .	Как изменится произведение матриц А и Н, если к г-й строке
	матрицы А прибавить j -ю строку, умноженную на число с?
1 .1 .1 0 6 .	Как изменится произведение матриц А и Н, если переставить
	г-й и j-й столбцы матрицы В ?
1 .1 .1 0 7 .	Как изменится произведение матриц А и Н, если к г-му столбцу
	матрицы В прибавить j-й столбец, умноженный на число с?

1 .1 .1 0 8 * .Найти все квадратные матрицы А размера 2 x 2 , если Â2 = Е . 1 .1 .1 0 9 * .Найти все квадратные матрицы А размера 2 x 2 , если А2 —

	нулевая матрица.
1 .1 .1 1 0 * . Найти матрицу Ап~1, если А —						квадратная матрица n-го по
	рядка		1	0	0	0	0\
		( 1	1	0	0	0	0\
		0	1	1	0	0	0
	=	0	0	1	1	0	0
	=
		1о	0	0	0	0	V
1. 1. 111* .	cos а		—sin а'		Г
	sin а		cos а		j

1 .1 .1 1 2 * . Найти все матрицы, коммутирующие с матрицей А -С9

1 .1 .1 1 3 * . Доказать, что если Ап В — квадратные матрицы n-го порядка, то суммы всех элементов главной диагонали у матриц АВ и В А равны.

1 .1 .1 1 4 * .Матрица называется стохастической, если сумма элементов любой ее строки равна 1. Доказать, что произведение стохасти ческих матриц — тоже стохастическая матрица.

§2. О П Р Е Д Е Л И Т Е Л И
	( ац	а\2	ain\
Любой квадратной матрице n-го порядка А =	а21	а 22	“2п
Любой квадратной матрице n-го порядка А =

\Ûln 0>2п ..• аппJ можно поставить в соответствие выражение, которое называется

определителем (детерминантом) матрицы А, и обозначается так:

ац	Û12	ain
А = а21	Û22	0>2п или \А\ или det А.
Ûln	Û2п	йпп

Определитель 2 -го порядка задается равенством:

Оц	о12 = ацагг + (—а12 O2 1 ).
Û21	022

Таким образом, определитель 2-го порядка есть сумма 2 = 2! слагае мых, каждое из которых представляет собой произведение 2-х сомножи телей — элементов матрицы А> по одному из каждой строки и каждого столбца. Одно из слагаемых берется со знаком «+ », другое — со знаком

^Определитель 3-го порядка задается равенством:

ап	012	Û13
a-2i	022	023	— ац а 22Лзз + O12 O23O31 + о130 210 32 +
031	Û32	азз
	+	( - ^ 13022031) + ( - 012021033) + ( - 011023032)* (2.1)

Таким образом, определитель 3-го порядка есть сумма 6 = 3! слагае мых, каждое из которых представляет собой произведение 3-х сомножи телей — элементов матрицы Л, по одному из каждой строки и каждого столбца. Одна половина слагаемых берется со знаком «+ », другая — со знаком « —». Правило, по которому выбираются эти знаки, задается с помощью формулы (2.1) или другими методами, приведенными ниже.

Определитель n-го порядка задается равенством:

Оц	012	Oln
021	022	02п = £ ( ± a Hl •a2i2	* ûmn) ‘
Оп1	Оп2	а пп

Указанная сумма состоит из п! слагаемых, каждое из которых пред ставляет собой произведение п сомножителей — элементов матрицы А, по одному из каждой строки и каждого столбца. Одна половина сла гаемых берется со знаком «+ », другая — со знаком « —». Правило, по которому выбираются эти знаки, в настоящем издании не используется и здесь не приводится. Методы вычисления определителей n-го порядка приведены ниже.

Методы вычисления определителей

1. Правило «треугольников» (правило Саррюса) вычисления опреде лителей 3-го порядка: первое из трех слагаемых, входящих в сумму (2.1) со знаком «+ », есть произведение элементов главной диагонали, вто рое и третье — произведения элементов, находящихся в вершинах двух

треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали. Три слагаемых, входящих в сумму (2.1) со знаком « - » , определяются анало гично, но относительно второй (побочной) диагонали:

«+ »

«—»

2.Разложение определителя 3-го порядка по первой строке:

det А = оц «22	«23	— «1 2	«21	«23	+ «13	« 2 1	« 2 2	(2.2)
«32	«33		Û31	«33		«31	«32

При таком способе вычисления определителя каждый из трех элементов d\j первой строки умножается на определитель 2-го порядка, составлен ный из элементов матрицы А, оставшихся после вычеркивания 1-й стро ки и j-ro столбца. При этом слагаемое с множителем aij умножается на число (—1)1+^:

— «Г2— «тз					1*11	*42	«13
det А = ( - 1 ) 1_и •аи с,21	«22	«23 +	( - 1 ) 1+2	•Cli2	d'2i	1'22	«23
4з1	«32	азз			«31	<-32	«33
		+	( - 1 ) 1+ 3	-а ,з	«21	«22	<23
					«31	Û32	4зз

Таким образом, вычисление определителя 3-го порядка сводится к вы числению 3-х определителей 2-го порядка. В общем случае можно вы числять определитель n-го порядка квадратной матрицы А, сводя его к вычислению п определителей (п — 1)-го порядка.

3. Разложение определителя п-го порядка по первой строке. Анало гично последней формуле, имеем

t r t t - - Q t t -		« 13— ~----- «171
<'21	«22	«23	«2 n
det А = (—1)1+1 •ац С31	«32	«33	«3 n +

< ni Ûn2 «лЗ

«nn

<<< < Предыдущая 12 / 582 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202318.91 Mб55Сборник задач и примеров по резанию металлов и режущему инструменту..pdf
#
12.11.20232.54 Mб33Сборник задач и примеров по технологии машиностроения..pdf
#
12.11.202313.31 Mб18Сборник задач и упражнений по импульсной технике..pdf
#
20.11.202310.44 Mб2Сборник задач по аналитической геометрии.-1.pdf
#
12.11.20238.94 Mб9Сборник задач по аналитической геометрии..pdf
#
19.11.202327 Mб25Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс..pdf
#
19.11.202346.05 Mб2Сборник задач по высшей математике. 2 курс.pdf
#
20.11.202318.36 Mб4Сборник задач по курсу математического анализа.-1.pdf
#
12.11.202319.54 Mб35Сборник задач по курсу математического анализа..pdf
#
19.11.202328.16 Mб3Сборник задач по курсу физики с решениями..pdf
#
20.11.20237.63 Mб16Сборник задач по общей физике.-1.pdf