Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

27 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 583 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

т. e.

CL22 a23

O32 Û 33

det A = an

Ûn2 On3

021 023

Û3 1 0 3 3

— 012

O/Il опз

		В Т Г -- O t 2		-
		021	022	023
+ ( - 1)1 +n	, Clin	031	O32	Û33
		O71I	Оп2	О п з
a>2n
0371
Onn
02п	021	Û22	024
Оз71	Û31	Û32	O34
+ 013
0/171	Onl	Отг2	On4

021 022

0 3 1	Û32
. . . + ( - 1 ) 1+пащ •
Onl	а П2

-------- É* Т 1

£'271

с'З п

с' T i l l

а>2п

Озп

Оптг

02тг-1

ОЗп-1

• (2.3)

Onn—1

Аналогично задаются другие способы вычисления определителя n-го по рядка — «разложение» по произвольной строке или произвольному столбцу — (2.4), (2.5).

Определителем (детерминантом) 1 -го порядка квадратной матрицы

А = (an ) называется значение ац : det А = ац .

Дополнительным минором Mij к элементу а^ квадратной матрицы А называется минор, составленный из элементов А, оставшихся после вычеркивания г-й строки и j-ro столбца.

( 1	2	3\
Например, в матрице 4	5	б I минором М21 является определи-
\7	8	ОУ

тель, составленный из элементов матрицы, оставшихся после вычерки-

2	3>
вания 2-й строки и 1-го столбца: [ ’ll— 5—	6- ).
8	О

Таким образом, М21 =	2	3	'
Таким образом, М21 =	0	п	= 2 •0 - 3 •8 = —24; соответственно,
	о	1 )

алгебраическим дополнением А21 будет число А21 = (—1)2+1 А/21 = = (—I)3 (—24) = 24. В новых обозначениях, аналогично формуле (2.2), записывается формула «разложение определителя 3-го порядка по пер вой строке»:

	з
det А = ац •Ац -I- ац •А ц 4- ац Ац =	aij •A\j.
	j= 1

Аналогично формуле (2.3) записывается формула «разложение опреде лителя п-го порядка по первой строке»:

	п
det А = ац •Ац 4- ai2 •А ц 4- •••4- ain -i A i^-i 4- а\п •А\п =	a\j •Aij.

j = 1

4.Разложение определителя п-го порядка по i-ü строке:

п
det А = ац •Ац 4- а,2 Аг-2 4--------h а гп_ 1 Агп_1 4- ajn •Ain = ^	ay •Ajj,
i=i
Vz = l,n .	(2.4)

5. Разложение определителя п-го порядка по j -му столбцу:

det А — ûij •Aij 4“ a2j * A2j 4" * * * 4* ац—ij •Ал—ij 4~ ûnj * Aлj — ^ ^a ij •A^* i=l

V i = lTn.

(2.5)

6.Метод приведения к треугольному виду заключается в приведе нии определителя (с помощью элементарных преобразований) к такому виду, когда все элементы, расположенные по одну сторону одной из диа гоналей, равны нулю.

7.Метод рекуррентных соотношений состоит в том, что определи

тель п-го порядка выражают через определители того же вида, но более низкого порядка, используя элементарные преобразования и разложение по строке или столбцу.

Свойства определителей

1.Если у определителя какая-либо строка (столбец) состоит только из нулей, то определитель равен 0.

2.Если какие-либо две строки (два столбца) определителя пропор циональны, то определитель равен 0.

3.Если какую-либо строку (столбец) определителя умножить на про извольное число, то и весь определитель умножится на это число.

4.Если две строки (два столбца) определителя поменять местами, то определитель изменит знак.

5.Если к какой-либо строке (столбцу) определителя прибавить ка кую-либо другую строку (столбец), умноженную на произвольное число, то определитель не изменится.

6. Определитель произведения матриц равен произведению их опре делителей.

Матрица, определитель которой равен 0, называется вырожденной; матрица, определитель которой не равен 0, называется невырожденной.

1.2.1.	Вычислить определитель второго порядка								1	2
1.2.1.	Вычислить определитель второго порядка								3	4
		1 2 = 1 - 4 - 2 - 3 = - 2 .
		3	4
Вычислить определители второго порядка:
1.2 .2 .	1	2				1.2.3.	- 3	5
1.2 .2 .	- 3	- 4				1.2.3.	о	о
	- 3	- 4					о	о
1 .2 .4 .	х	ху				1.2.5.	a	b
1 .2 .4 .	1	У				1.2.5.	с	d
	1	У					с	d
1.2.6.	COS if		sin ip			1.2 .7 .	Чч>		1
1.2.6.	—sin ip		cos <p			1.2 .7 .	-1	tgtp
	—sin ip		cos <p				-1	tgtp
Решить уравнения:
1.2 .8.	2x + 1 3 = 0.					1.2 .9 .	х + 3 х - 1				= 0.
	x + 5		2				7 - х		х -	1
1.2.10.	2x - 1 x + 1			=	- 6.	1 . 2 . 11.	х - 2		у + 3		= 0.
1.2.10.	x + 2		x - 1	=	- 6.	1 . 2 . 11.	—?/ — 3		х —2		= 0.
1.2 .12.	sin 2x		sin x	=	0.
1.2 .12.	cos x		cos 2x	=	0.
								3	2	1
1 .2 .13 .	Вычислить определитель 3-го порядка:							2	5	3
								3	4	2

О Вычисляя определитель разложением по первой строке, по лучим:

		5	3	2	5
		4	2	3	4
		= 3- (5 - 2 - 3 - 4) - 2- (2 - 2 - 3 - 3) + 1 •(2 - 4 - 5 -3 ) =
				= 3 •(-2) - 2 •(-5) + 1 •(-7) = -3 . •
Вычислить определители 3-го порядка:
	1	2	3			2	1	3
1.2.14.	4	,5	6 .	1.2.15.		5	3	2
	7	;8	9			1	4	3
	3	2	- 1			1	1	1
1.2.16.	- 2	2	3	1.2.17.		1	2	3
	4	2	- 3			1	3	6
	1	1	1			1	1	1
1.2.18.	4	5	9	1.2.19.		5	7	8
	16	25	81			25	49	64

1.2.20. Вычислить определитель с помощью «правила треугольников»

1 О О

0 2 0 .

0 0 3

ОИз шести слагаемых не равным нулю будет только одно:

+1 •2 •3 = 6.

•

Вычислить определители с помощью «правила треугольников»:

	0	0	1		0	X	0
1.2.21.	0 2		0	1.2.22.	У 0		0
	3	0	0		0	0	Z
	0	1	0
1 .2 .2 3 .	2	3	4 .
	0	5	0

1 .2 .2 4 . Вычислить определитель разложением по какой-нибудь строке

или столбцу:	6
5	6	3
0	2	0 .
7	- 4	5

О Удобнее всего вычислять определитель разложением по строке или столбцу, содержащим наибольшее количество ну-

лей. Разложим определитель по 2-й строке:
( - 1 ) 2+1-0 -	6	3	+ ( - 1 ),2+2 ,	5	3	+ ( - 1 ) 2+3-0 - 5	_64
	- 4	5		7	5
						= 2- (25 - 21) =	8. •
			3	2
1 .2 .25 . Вычислить определитель - 5				- 1
			6	3

О При разложении определителя 3-го порядка по строке или столбцу, знаки («+ » или « —») перед слагаемым ау •Му проще всего запомнить в следующем виде:

+	-	+
-	+	-
+	-	+

Разложим определитель по 2-му столбцу:

-0 + 3- 6 3 - О= 3 •(9 - 12) = - 9 .

Вычислить определители 3-го порядка разложением по какой-нибудь строке или столбцу:

	2	0	3					0	а	0
1 .2 .26 .	7 1 6						1 .2 .27 .	ь с d
	6	0	5					0	е	0
	1	2	3					2	1	- 3
1 .2 .28 .	0 0 1						1 .2 .29 .	0	1 -1
	4	5	6					3	- 2	1
	sin a		cos а		1
1 .2 .30 .	sin/?		cos/?		1
	sin 7		cos 7		1
Решить уравнения и неравенство:											-2
	2		0		3				- 1		-2
1 .2 .31 .	- 1		7	х - 3		= 0 .	1 .2 .32 .	2 — За:			5	> 0 .
	5	-	3		6				3		1
	- 1			О	2а:+ 3			6		3	1 - 1
1 .2 .3 3 .	3 - х			1		1	= 0. 1 .2 .34 .	2а;		1	0	= 0.
	2а: + 1 -1					2		4	1 + 2 2
1 .2 .35 .	Доказать равенство, используя свойства определителей:
					ai	k	ci + a i x + b ty	=	ai	bi	Cl
					Û2	Ь2	С2 + ага: + b3 y	=	Й2	Ь2	С2
					аз	Ъз	с3 + а 3х + Ь3у		аз	Ьз	Сз

О Так как третий столбец левого определителя можно пред ставить в виде суммы трех столбцов, этот определитель можно представить в виде суммы трех определителей:

ai	ь1	Cl	ai	h	а\х	а\	h	biy
0>2	Ьо	С-2 +	ао	h	а.2% +	Û2	i>2	ЪзУ
аз	Ьг	сз	а3	Ьз	азх	аз	Ьз	ЬзУ

Третий столбец во втором определителе пропорционален пер вому столбцу, а в третьем определителе — второму столбцу, следовательно, оба этих определителя равны нулю. Что и за вершает доказательство. •

Доказать равенства:

1 .2 .3 6 .

1 .2 .3 7 .

ai -	xb\	ai H- xb\
Û2 -	хЪ2	Ü2 + xb2
аз -	хЬз	аз + хЬз
ai + xb\		а \х + £>i
do + xb2		Ü2X + &2
аз + хЬз		а3х + Ьз

Cl	ai	h	Cl
С-2 = 2х ао		h	С-2 .
Сз	аз	Ьз	сз

Cl	О	ai	bi
С2	О	ао	Ы
С2	= (1 -- Х~)	ао	Ы
Сз		аз	Ьз

Вычислить, используя свойства определителей:

	sin2 а		cos2 a	1		sin2 a	cos2 a	cos 2a
1 .2 .3 8 .	sin2/?		cos2P	1	1 .2 .3 9 .	sin2 /?	cos2 P	cos2P
	sin27		cos27	1		sin27	cos27	cos 27
	1	a	b + с
1 .2 .4 0 .	1	Ь с + а
	1	с	a -f b

1 .2 .4 1 . Вычислить определитель 4-го порядка разложением по строке

или столбцу:	-	3	0	2
- 2
1	-	1	2	2
Д =		- 1	5	- 2
3
0	-	2	4	1

О Удобнее пользоваться разложением по строке или столбцу, содержащим наибольшее количество нулей. Разложим опреде литель по первой строке:

- 1 2 2			1	2	2	1 - 1 2
Д = ( - 2 ) - - 1	5 - 2 - ( - 3 ) - 3			5	- 2 + 0- 3		- 1	- 2
- 2	4	1	0	4	1	0	- 2	1

- 1

- 2 - 1 = - 2 •9 + 3 •31 + 0 - 2 •6 = 63.

- 2

При вычислении определителей 4-го порядка разложением по

строке или столбцу, знаки	(«+ »		или « —») перед слагаемым
dij •Mij проще всего запомнить в следующем виде:
+	-	+	-
-	+	-	+
4-	-	+	-
-	+	—	+

Аналогично, для вычисления определителя n-го порядка зна ки расположены следующим образом (в «шахматном» порядке, слева вверху знак «+ »):

+	-	+	-
-	+	-	+
+	-	+	-
-	+	—	+

1.2.42. Вычислить определитель 4-го порядка

	а	О	3	5
А =	0	0	6	2
А =	1	с	2	3
	0	0	0	d

ОРазложим определитель по 4-ой строке:

а	0	3	разложим определитель
А = (+d) 0	0	ь =	разложим определитель
1	с	2	по 2-ой строке
1	с	2	-
			= d •(—6)	а	О	= —d •6 •а •с. •
				1	с

Вычислить определители, используя разложение по строке или столб цу*

	1	0	2	а				0	—а	- 6	- d
1.2.43.	2	0	b	0			1.2.44.	а	0	—с	- е
1.2.43.	3	с	4	5			1.2.44.	6	с	0	0
	3	с	4	5				6	с	0	0
	d	0	0	0				d	е	0	0
	1	1	3	4				2	- 3	4	1
1.2.45.	2	0	0	8			1.2.46.	4	- 2	3	2
1.2.45.	3	0	0	2			1.2.46.	а	6	с	d *
	4	4	7	5				3	- 1	4	3
	3	-	5	2		- 4		1	2	3	4	5
	3	-	5	2		- 4		2	3	7	10	13
	- 3 4 - 5 3						1.2.48.	2	3	7	10	13
1.2.47.	- 3 4 - 5 3							3	5	11	16	21
1.2.47.	-	5	7	-	7	5		3	5	11	16	21
	-	5	7	-	7	5		2	- 7	7	7	2
	8	-	8	5	-	6		2	- 7	7	7	2
	8	-	8	5	-	6		1	4	5	3	10
								1	4	5	3	10

1.2.49. Вычислить определитель приведением к треугольному виду:

1	1		1	1	1
-	1	1	1	1	1
- 1 - 1 2				2	2
Dn = - 1	_	1	_	1 3	з
- 1	- 1 - 1 - 1				71 — 1

О Прибавляя к каждой строке определителя первую строку, получим:

	1	1	1	1		1
	0	2	2	2		2
	0	0	3	3		3	разложим по
Dn = 0		0	0	4		4	разложим по
Dn = 0		0	0	4		4	первому столбцу
							первому столбцу
	0	0	0	0		п
	2	2	2		2
	0	3	3		3		повторяем разложение по
= 1	0	0	4		4	=	повторяем разложение по
= 1							первому столбцу п - 2 раза
							первому столбцу п - 2 раза
	0	0	0		п
			п—1

= 1 2 •3 •... •(п — 1) •п = га!

1.2.50.Вычислить определитель га-го порядка:

0	0	0	- 1
0	0	- 1	0
Dn =
0	- 1	0	0
- 1	0	0	0

ОРазложим определитель по первой строке:

0	0	0	- 1
0	0	- 1	0
Dn = ( - l ) n+1 •(-1)			= ( - l ) n+2-P „ _
0	- 1	0	0
- 1	0	0	0

71— 1

Аналогично Dn-i = ( - l ) n+1 •Dn- 2 и т. д. Таким образом,

Dn = ( - 1 ) п+2 •( - 1 ) Л+1 •... •( - 1 ) 2+2 •Dx.

Учитывав, что
( - i ) n+2 = ( - 1 )" , (-1)»+» = ( - 1 ) п- \	( - i ) 2+2 = ( - 1 ) 2;
	( - i ) 2+2 = ( - 1 ) 2;
Di = - 1 ,
получим выражение для Dn:

Dn = { - l)n- ( - l)n_1	‘ ( -I)2 (-1)! =
=	(_1)1 +2+...+(п-1)+П =	#

Вычислить определители п-го порядка:

1 .2 .51 .

1 .2 .52 .

1 .2 .53 .

1 .2 .54 .

п		п	п
п	п —1		п
п		п	п - 2
п		п	п
п		п	п
п		п	п
1		2	3
- 1		0	3
- 1		- 2	0
- 1		- 2	- 3
1		2	3
2		3	4
3		4	5
п —1		п	п
п		п	п
3	2	2	2
2	3	2	2
2	2	3	2

пп п

п п п

3	п	п
п	2	п
п	п	1

0
п - 2	п —1	п
п - 1	п	п
п	п	п
п	п	п
п	п	п
	1.2 .55 .

2 2 2 3 1 1 1

1 .2 .56 . Вычислить определитель n-го порядка методом рекуррентных

соотношений:
2	1	0	0	0	0
1	2	1	0	0	0
Dn = 0	1	2	1	0	0

ОРазложим определитель по первому столбцу

2	1	О		0	0	1	0	0	0	0
2	1	О		0	0	1	2	1	0	0
1	2	1		0	0	1	2	1	0	0
1	2	1		0	0	0	1	2
А = 2 •					1	0	1	2	0	0
0	0	0		1	2	0	0	0	1	2
						0	0	0	1	2
		п—1							п-1
									п-1
			разложим второй
			определитель по
		2	первой строке				0
		2	1 0			0	0
		1 2		1		0	0	— 2 •Dn—i —Dn—2-
= 2 А - 1 - 1		1						— 2 •Dn—i —Dn—2-
		0	0	0		1	2

п - 2

Вычислим А» А и А:

		А		=	2	1	=	3;
					1	2
2	1	0	2	1			1	1
А = 1 2		1 = 2 -			- 1
			1 2				0 2 = 2 •3 - 1 •2 = 4;
0	1	2
		А = 2А - А = 2- 4 - 3 = 5.
Итак, А =	3, А = 4, А =				5. Докажем (по индукции), что
A = n +	1. По предположению						индукции, А - 2		= п — 1,
А -l = п.	Учитывая,		что		A		=	2А-1 — А-2»	получим
А = 2n — (n — 1) = п + 1, что и требовалось.									•

Вычислить определители методом рекуррентных соотношений:

	3	2	0	0	0	>		0	1	1	1
	1	3	2	0	0			1	Oi	0	0
1 .2 .5 7 .	0	1	3	0	0	>п.	1 .2 .5 8 .	1	0	CLo	0
	0	0	0	1	3	*		1	0	0	Üfi
Дополнительные задачи
Вычислить определители 2-го порядка:
1 .2 .5 9	2	-3					1 .2 .6 0 .	а	0
1 .2 .5 9	5	- 4					1 .2 .6 0 .	0	0	'
	5	- 4						0	0	'

зо

<<< < Предыдущая 1 23 / 583 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202318.91 Mб55Сборник задач и примеров по резанию металлов и режущему инструменту..pdf
#
12.11.20232.54 Mб33Сборник задач и примеров по технологии машиностроения..pdf
#
12.11.202313.31 Mб18Сборник задач и упражнений по импульсной технике..pdf
#
20.11.202310.44 Mб2Сборник задач по аналитической геометрии.-1.pdf
#
12.11.20238.94 Mб9Сборник задач по аналитической геометрии..pdf
#
19.11.202327 Mб25Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс..pdf
#
19.11.202346.05 Mб2Сборник задач по высшей математике. 2 курс.pdf
#
20.11.202318.36 Mб4Сборник задач по курсу математического анализа.-1.pdf
#
12.11.202319.54 Mб35Сборник задач по курсу математического анализа..pdf
#
19.11.202328.16 Mб3Сборник задач по курсу физики с решениями..pdf
#
20.11.20237.63 Mб16Сборник задач по общей физике.-1.pdf