книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс

'xi

=

- 1 ,

Хо

=

1,

< Хз

=

1,

f х\ 4- х 2 4- . . . 4- хп =

тг,

2

.1

.22.

2xi

+

2х 2 4 - ... 4- 2х„ =

2п,

wnXi

+

71X2 4 - ...

4- пхп =

п2.

Х\ +

х 2 4- . . . 4- хп =

тг,

2xi

4- 2х 2 4 - ...

4- 2х„

=

2тг,

2 .1 .23 .

(гг -

l)x i

4- (тг -

1)х2 +

. .. 4- (тг 4- 1)яп =

(тг - 1)п,

nxi 4- пх2 4- . . . 4- пх„ = 0.

"xi

4- х 2 +

хз 4- Х4 4 - ...

4- x n_i

4- хп =

гг,

Х\

4- Хз 4- Х4 4 - ...

4- x n_i 4- хп =

п —1,

2 .1.24 .

^ xi

4- х 2

4- Х4 4- ••. 4- х „_1 4“ хп =

п —2,

х\ + х 2 -f х 3 4- х 4 4- . . .

4- х п = 2,

^xi 4- х 2 4- Хз 4- Х4 4-. •. 4- хп-\

.=

1.

X i

4- 2х 2 4" Зхз 4* 4x4 4- . . . 4" (тг — l) x n_ i

4- тгхп = 7г,

—Xi

4- Зхз 4- 4x4 4 - ... 4- (тг — l)x n_i 4- тгхп = —тг,

—Xi — 2 х 2

4” 4x4 4 " ... 4* (тг

l)xn —i 4" тгхп

тг,

—xi

— 2х 2 — Зхз — 4x4 — . .. — (тг — 2)хп_ 2 4- тгхп =

—тг,

w- x i

-

2х2 - Зх3 - 4х4 -

~

(тг -

l)xn-i

=

-тг.

АЪх\ — 28^2434хз —52x4 =

9,

36xi —

23x2429хз —43x4 =

3,

2.1.45. < 35xi —

21x2428хз —45x4 =

16,

47xi —

32x24Збхз —48x4= —17,

27xi —

19x2+ 22хз —35x4 =

6.

"6xi

4- 4 x 2 4- 5х3 4- 2 x4 4- Зх5 =

1,

^ 3xi

4- 2х2 4- 4х3 4-

х 4 4- 2х5 =

3,

2.1.46.

4“ 2x2 ~ 2хз 4-

Х4

=

—7,

3xi

к9х\

4" 6x 2 4-

Хз 4" 3x4 4" 2x5

=

2.

xi

4-

Х2 4-

Зхз -

2x44- Зхз = 1,

^ 2xi

4- 2

х 2 4-

4хз -

Х44- Зх5= 2,

2.1.47.

5хз — 2 x44- ЗХ5 = 1,

3xi 4- 3x2 4-

^2xi

4- 2x 2 4-

8х 3 -

Зх44- 9х5= 2.

'x i

4 -

2

х 2

4 - Зх3 4 -

. . . 4 - пхп = 1 ,

2.1.48.

2xi 4 -

4х2 4 -

6х3 4

- . . .

4 -

2пхп =

2,

кпх 1 4 -

2 п

х 2

4 - Зпхз 4 - .

. .

4 - п2х„ = п.

Х\ - х2 4- хз - х4 4 - . .

.

4 - ( - 1 ) п 1 хп = 1,

2xi ~ 2x2 4- 2хз -

2 x4

4-...

4- 2 •( - 1 )п_1х п = 2,

2.1.49.

(п -

l)x i

-

(гг -

1)х 2 4- . .

. 4- (гг - 1) •( - l ) n_1x n = п - 1,

nxi

— пх2 4- ггхз — ПХ4 4 -

... 4- гг •(—1)п” 1хп = 0.

'X I 4-X 2 4-

4 -xn_i

=

1,

£ I 4-X2 4 - .............................

4-х п_2

4- х п =

2,

о - I

X I

4 - X 2 4 - ..........................

4 - х т г _ з

4 - x n _ i 4 - x n =

3 ,

*.1 .51). <

Xl

+

ХЗ + .............

Xyi — 71

1)

.Xi + Х 2 +

Хз + .............

+ х„ =

0.

'

Xi -

Х2

=

1,

— XI + 2 х 2 —

= - 1,

2 .1 .51 .

-

Х 2 +

2 х з -

Х 4

=

0,

■х п_2

2xn- i

х п —

0,

х 71—^ ■}* 2х„ —

1.

Х\ 4"

Х2

= 0,

Х\ +

3^2 + 2 х з

= 4,

Х2 + Зх3 + 2X4

= 6,

2 .1 .5 2 . <

Х 3 + 3x4 4- 2xs

= 6,

Х п—3 4” 3XJ2_2 4“ 2х п_1

= б,

Xu-2

4~ 3xn_i 4- 2хп = 8,

V

Xfi—1 4~ 3Xfi — 7.

2 .1 .5 3 .

2xi - Х2 = А,

2 .1 .5 4 .

Axi - 4х2 = 2,

Axi 4- Х2 = 2.

X1

Ахз — 1.

2 .1 .5 5 .

Axi — 4x2 = 2,

2 .1 .5 6 .

I Xi 4- 2x2 4" Зхз =

6,

Х\ — Лх2 — 1.

[2 x i

4" 3x2 — Зхз =

А.

Axi 4- х 2 4- х 3 =

3,

Axi + х 2 4-Хз 4-Х 4

=

4,

^ Xi 4“ Ах 2 4“ Х3 4" Х4

=

4,

2 .1 .5 7 .

< xi + Ах 2 + х 3 = 3,

2 .1 .5 8 .

xi + х 2 4- Ах3 4- х 4 = 4,

^Xi 4" Х 2 “f* Ахз =

3 .

wXi 4- Х2 4- Х3 4- Ах4

=

4.

2 .1 .5 9 .

К системе линейных уравнений с п неизвестными дописали

произвольное уравнение с п неизвестными. Как при этом из­

менится множество решений системы?

2 .1 .6 0 .

Из несовместной системы линейных уравнений удалили какое-

то одно уравнение. Будет ли полученная система совместной?

2 .1 .6 1 .

Множества решений двух систем линейных уравнений совпа­

дают. Равны ли расширенные матрицы этих систем? Равны ли

ранги этих матриц?

2 .1 .6 2 .

Могут ли быть эквивалентными две системы линейных урав­

нений с одинаковым числом неизвестных, но с разным числом

уравнений?

2 .1 .6 3 .

Существует ли такая

система линейных уравнений, что

(1; 2; 3) — ее решение, а

( - 1 ; - 2 ; - 3 ) — нет? Если существует,

что можно сказать о всех таких системах?

2 .1 .6 4 .

Что можно сказать о множестве решений системы линейных

уравнений, если ранг г(А) матрицы этой системы и ранг г(А\В)

расширенной матрицы равны нулю?

'х\х2 х\ —2,

<xï x2xî = 4,

х\х2 Х$ =

2.

2 .1 .7 6 .

Система

ау + Ьх =

с,

с.т ■+■az =

Ь,

bz + су = а.

имеет единственное решение. Доказать, что abc ф 0, и решить

систему.

2 .1 .7 7 .

Система линейных уравнений записана в матричной форме:

АХ = В. Известны два частных решения этой системы Х\ и

' х + у + Z = 1 ,

ах + у + z = а,

2 .1 .7 8 * . < ах + by + cz = d,

2 .1 .7 9 * . < æ +

by + 2 =

Ь,

а2х + Ъ2у + c2z = d2.

х +

у + cz =

с.

где

А = (aij)

— матрица коэффициентов

системы размера п х п,

/ х Д

fbi\

X =

Х2

столбец неизвестных, В =

h

—

— столбец свободных

\ х п /

V W