книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс

Aj и A.2 (размеров т х т и п х п соответственно) невырождены,

1 .4 .7 7 * . Доказать, что для любой (возможно, не квадратной) матрицы А уравнение АХ А = А имеет решение.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Вариант 1

1. Найти значение матричного многочлена f(A ):

Д х ) = - х 3 + 2х2 - х + 3, А = ^ ^ 2^ •

2. Найти ранг матрицы приведением к ступенчатому виду. Указать

4.Найти матрицу, обратную к матрице

5.Решить матричное уравнение

(-3

Вариант 2

1. Найти значение матричного многочлена Д А ):

Д я ) = х 3 - Зх2 + 2х - 2, А = (g Д ) .

2. Найти ранг матрицы приведением к ступенчатому виду. Указать

Вариант 3

1. Найти значение матричного многочлена f(A):

2. Найти ранг матрицы приведением к ступенчатому виду. Указать базисный минор.

5.Решить матричное уравнение X

Вариант 4

1.Найти значение матричного многочлена f{A):

f{x) = х3 + Зх2 + 2 х - 1 , А = ( Д Д ) .

□

Глава 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

§1. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА-КАПЕЛЛИ. МЕТОД ГАУССА

^Пусть задана система из тп линейных уравнений с п неизвест­ ными Х\УХ2 , •.. ,х п:

а>1 1 ^ 1 + Û12 ^ 2 + •••+ CLinXn = b i ,

a2lXl + Ü22x 2 + •••+ 0>2nXn = bo,

(î.i)

^CLmlXl “h CLm2 X2 H" •••H" Ûmn^n = bn

где числа ац (i = 1 ,2 ,..., m; j = 1 ,2 ,..., n) называются ’коэф­ фициентами системы, a числа b\, . . . , bm — свободными чле­ нами.

каждое из уравнений системы обращается в тождество.

Если система (1.1) имеет хотя бы одно решение, она называет­ ся совместной; система, не имеющая ни одного решения, назы­ вается несовместной. Система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Две системы линейных уравнений с одинаковым числом не­ известных называются эквивалентными, если множества всех решений этих систем совпадают.

Теорема 2.1 (Кронекера-Капелли). Система линейных уравнений (1.1) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы:

г(А) = г(А\В).

Исследовать систему линейных уравнений означает определить, со­ вместна она или нет, а для совместной системы — выяснить, определенна она или нет. При этом возможны три варианта:

1) Если г (А) < г(А\В), то система несовместна.

2)Если г{А) = г(А\В) = п (где п — число неизвестных), то система совместна и определенна.

3)Если г(А) = г(А\В) < п, то система совместна и неопределенна. Для исследования систем линейных уравнений и нахождения их ре­

шений можно использовать, например, метод Гаусса:

С помощью элементарных преобразований над строками приведем расширенную матрицу системы (А|В) к ступенчатому виду (А'\ВГ):

где в г-ой строке (г = 1 , 2 , . .. , г) самый левый ненулевой элемент обозна­ чен через aiki •

Полученной расширенной матрице (АГ\В') соответствует система ли­ нейных уравнений, эквивалентная системе (1.1). При этом г(А ') = г{А)) r{A,\Bt) = г(А\В), и утверждения о том, что полученная система со­

вместна (несовместна) и определенна (неопределенна) верны и для си­ стемы (1.1).

= г(А'\В') = г, где г — число ненулевых строк матриц А1 и (А'|Б'). Если

г= п (где п — число неизвестных), то система определенна, в противном случае (если г < п ) система неопределенна.

Базисным минором матриц А' и (А'\В') является, например, минор, составленный из элементов этих матриц, расположенных в первых г строках и столбцах с номерами 1, &2, &з, •••i кг. Назовем базисными (или главными) г переменных x i, Xk2, Хк3, . . . , Xkr , a остальные n —r перемен­ ных назовем свободными. Без ограничения общности можно предполо­ жить, что главными переменными являются х\, хо, т з ,. . . , х г, а свободны­ ми — т г+1, ... ,т п. Тогда матрица (А'\В') (в случае когдаг(А;)=г(А '|Б')) запишется в виде:

Запишем систему уравнений, соответствующую расширенной матрице {А'\В') в следующем виде — перенесем все слагаемые со свободными переменными x r+ i ,. . . ,жп в правую часть:

йцЯ?! “I" ^12*^2 + •••+ 0>Yr Xr == bj . . . Ü in Xn i

i l , . .. ,i n_ r . Тогда из последнего уравнения системы (1.2) переменная хг однозначно выражается через i i , . . . , tn- r:

Xr — Xr ( t i y . . . , in—г) = “ 7 (br — a.rr+l^l ~~ * * * Ûrntn_ r ).

° r r

Подставляя это значение ær в предпоследнее уравнение системы (1.2), получим выражение, однозначно задающее хг~\ через i i , . . . , £n-r*

Xr—1 — 3?r—1 (ii >•••Î in—r)*

Продолжая подставлять полученные значения x r ,x r_ i , . .. в уравнения системы (1.2), получим выражения, однозначно задающие х\,х2, . ••}хг через t \ , . . . , t n - r . Таким образом, каждому фиксированному набору зна­

чений свободных переменных x r+i = £ i , . .. ,x n = £„_г соответствует единственное решение системы (1.2) и системы (1.1):

( Х\ (t\ , . . . ,

Q Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований:

Ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы си­

значит, система совместна. Количество неизвестных также

значит, система определенна, т.е. имеет единственное реше­ ние. Запишем систему уравнений, соответствующую получен­ ной расширенной матрице:

{х г - х 2 = - 1 , Зх2 = 9.

Из второго уравнения Х2 = 3 ; подставляя это значение в первое уравнение, получим х\ = 2.