книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс

т. е. (6 + A(c — 6)) •(с —6) = 0. Получаем 6 -(с — 6) + А*(с — 6)

= 0,

откуда находим Л = —

. Найденное значение Л подста-

| с-Ь Г

вляем в выражение для вектора /г:

/1 =

6 +

6 •(6 -

с)

( с- 6) .

| c -6 'f

3.2.13.

Единичные

векторы

ej,

е2,

ёз

удовлетворяют условию

ëi + ё2 + ёз = 0. Найти ëi •ё2 + ё2 ■ёз + ёз •ëi.

3.2.14.

Дано: |а| =

3, |6| = 2,

|с| =

5, (а, 6) =

(6, с) =

векторы а,

6 и

влетворяет условиям х •а = 9, х •6 = —4, где а

= (3; —1; 5),

5 = ( 1 ;2 ; - 3 ) .

Дополнительные задачи

3 .2 .1 6 .

Показать,

что

четырехугольник

с

вершинами

Л (—5; 3; 4),

В (—1; - 7 ; 5), С(6; - 5 ; - 3 ) и D(2; 5; —4) есть квадрат.

3 .2 .1 7 .

Доказать, что вектор d = с •(6 •а) — а •(6 •с) перпендикулярен

вектору 6.

3 .2 .1 8 .

Найти вектор 6, коллинеарный вектору й = i + 2j —3к и удо­

влетворяющий условию 6 •а = 28.

3 .2 .1 9 .

Дано: а = 4г — j —2fc, 6 = (2; 1; 2). Найти:

а) а •6;

б) (<С%

в) nps Ъ;

г ) прь-о.

3 .2 .2 0 .

Какую работу производит сила F =

(2; —1; —4), когда точка ее

приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из точки

А(1; - 2 ; 3) в точку Б(5; - 6 ; 1).

F\ = i —j + к и F 2 =

3 .2 .2 1 .

Найти работу

равнодействующей

сил

= 2i + j+ 3 k

при перемещении ее точки приложения из начала

координат в точку М (2; — 1; — 1).

3 .2 .2 2 .

При каком значении Л векторы 6 = Аг — 5j + Зк и с = г + 2j — Лк

взаимно перпендикулярны?

3 .2 .2 3 .

В треугольнике АВС вершины имеют координаты А (1 ;1 ;—1),

В (2; 3; 1), С7(3;2; 1). Найти:

а) длины сторон;

б) внутренние углы;

в) острый угол между медианой BD и стороной АС.

3 .2 .2 4 .

Найти углы между осями координат и радиус-вектором точки

М ( - 2 ;3 ;1 ) .

3.2.25.

Доказать, что длины векторов а и 6 равны, если векторы 5 + 6

и 5 - 6 перпендикулярны.

3.2.26.

Найти проекцию вектора 5 = (\/2; —3; —5) на ось, составляю­

щую с координатными осями Ох и Oz углы а = 45° и 7 = 60°,

а с осью Оу — острый угол 0.

3.2.27.

Даны точки А(3;4; - 2 ) и В (2; 5; - 2 ) . Найти проекцию вектора

АВ на ось, составляющую с осями Ох и Оу углы а = 60° и

0 = 120°, а с осью Oz — тупой угол 7 .

3.2.28.

Векторы АВ = 25 — 66, ВС = а + 76, СА = —За — 6 образуют

треугольник АВС', векторы а и 6— взаимно перпендикулярные

орты. Найти углы треугольника АВС.

3.2 .29 .

Зная, что 5 + 6 + с = 0, |ô| = 3, |6| = 1, |с| = 4, вычислить

а *6 + 6 *с + с*а.

3.2.30.

Найти угол между биссектрисами углов Оху и Oyz.

3.2.31.

Какой угол образуют единичные векторы 5 и 6, если известно,

что векторы т = 5+26 и п = 55—46 взаимно перпендикулярны.

3 .2.32.

Векторы 5, 6, с имеют равные длины и попарно образуют рав­

ные

углы. Найти координаты вектора с, если 5 = ( 1 ;1 ;0 ) ,

6 =

(0; 1 ;-1 ) .

3.2.33.

Доказать, что точки Л (-3 ; —7; —5), В(0; —1; —2) и С (2;3;0) ле­

жат на одной прямой, причем точка В расположена между точ­

ками А и С.

3.2 .34 .

Даны радиус-векторы трех последовательных вершин^парал­

лелограмма ABCD: га = 2 г + 2 j + к, гв = г + 3j + 5А:, гс =

= 7i + 9j + 11к. Определить радиус-вектор четвертой верши­

ны D.

3 .2 .35 .

К вершине куба приложены три силы, равные по величине 1,

2, 3 и направленные по диагонали граней куба, проходящим

через эту вершину. Найти величину равнодействующей этих

трех сил.

Контрольные вопросы и более сложные задачи

3.2 .36 .

Доказать, что для любых четырех точек А, В, С \\D простран­

ства имеет место равенство АВ •CD + АС •DB -Ь ВС •AD = 0.

3 .2 .37 .

Определить геометрическое место концов переменного вектора

х, если его начало находится в точке А и вектор х удовлетво­

ряет условию х •а = а, где а — данный вектор и а — данное

число.

3 .2 .38 .

Найти угол между биссектрисами двух плоских углов правиль­

ного тетраэдра, проведенными из одной его вершины.

3 .2 .39 .

В треугольной пирамиде ABCS: АВ JL CS, АС J. B S . Дока­

зать, что ребра AS и ВС также перпендикулярны.

Используя единичные векторы ëj, е2, ез, доказать, что для вся­

кого треугольника АВС справедливо неравенство

cos .4 + cos В + cos С ^ 3

2'

3.2.41.

Следует ли из равенстваа-е = b-е, где е — единичный вектор,

равенство векторов а и 5?

3.2.42.

Каков геометрический смысл равенства (а + by + (а — Ь)“ =

3.2.43.

= 2 (а2 + Ь2)?

Доказать, что —аб ^ а •6 ^ аб; в каких случаях здесь имеет

3.2.44.

место знак равенства?

Пусть а, 5 il с — ненулевые векторы. При каком их взаимном

3.2.45.

расположении справедливо равенство: (а •6) •с = о •(6 •с)?

Можно ли говорить о скалярном произведении трех векторов?

3.2.47.

Коллинеарны ли векторы с\ = 2а+46 и с-2= 36—а, построенные

3.2.48.

по векторам й =

(1; - 2 ; 3), 6 = (3; 0; —1)?

Равносильны ли следующие два равенства:

а)

й =

6 и ай =

аб;

б)

ô =

6 и а •с =

6 •с;

в) а = 6 и а + с = 6 + с?

3.2.49.

Какова длина отрезка МАГ, если MN 2 = 16?

3.2.50.

Какой угол образует вектор а = (cos a; sin а) с вектором г?

3.2.51.

Как расположены прямые АВ и ЛС, если (АВ + АС) 2 =

= (ÆB - АС)2?

\с\= \а\•\Ь\•sirup,

</? = (а,б);

(3.1)

1.

а х b =

— (Ь х а) (антиперестановочность);

2.

Л

(а х

b) =

Ай х b = й х Л6 (сочетательность по отношению к

скалярному множителю);

3.

â x

(b + с) = â x b + â x c (распределительность);

4.

а х b = 0 если а |b (или й = 0 или b = 0). В частности: ix i = j x j =

= k x k = 0.

Если

векторы й и Ь заданы своими координатами й =

(ax;a y;a z),

6 = {bx\by\bz), то

axb

ау

&z

0>х

<2-

ах

ау

(3.2)

=

о,»

или ахб = ^ Ь у

Ъ- )

ьх

bz J

Ъх

by

и 6 применяется формула

-

(3.3)

S — |о х 6|.

Векторное произведение может быть выражено формулой

a xb = S •е,

(3.4)

где е — орт направления а х

Ь.

3.3 .1 .

Даны два вектора a и Ь, для которых |а| = 2, \Ь\= 6,

= (а, 6) =

= ^7Г. Найти

о

а)

й х 5;

б)

|(2й + 3S) х (й — 46)|.

О

а) По формуле (3.1) находим модуль векторного произве­

дения: |й х Ь\= |й| •|Ь •sin(â, b) = 2 •б •^ = 6. По формуле (3.4)

получаем й x b = б •ё, где ё — единичный вектор направления

й х

Ь;